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北京市东城区普通示范校2015届高考数学模拟试卷(理科)(解析版)


1.设 U=R,集合 A={x|x>0},B={x∈Z|x ﹣4≤0},则下列结论正确的是( A. (?UA)∩B={﹣2,﹣1,0} B. (?UA)∪B=(﹣∞,0] C. (?UA)∩B={1,2} D.A∪B=(0,+∞) 2.双曲线 ﹣ =1(0<m<3)的焦距为( )

2

)

A.6

B.12
4

C.36

D.2

3.设二项式(x﹣

) 的展开式中常数项为 A,则 A=(

)

A.﹣6 B.﹣4 C.4 D.6 4.如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值,则判断框内不能填入( A.k≤17? B.k≤23 C.k≤28? D.k≤33? |x| 2 5.已知 f(x)=4 +x +a 有唯一的零点,则实数 a 的值为( ) A.0 B.﹣1 C.﹣2 D.﹣3 6.设 a,b,c,A,B,C 为非零常数,则“ax +bx+c>0 与 Ax +Bx+C>0 解集相同”是“ A.既不充分也不必要条件 C.必要而不充分条件 B.充分必要条件 D.充分而不必要条件
2 2

)

”的(

)

7.设集合 P={(x,y)|

}≠?,集合 Q={(x,y)|x﹣2y<2},若 P? Q,则实数 m 的取值范围

是(

) B. (﹣ ,+∞) C.[﹣ , ) D.[﹣ ,+∞)

A. (﹣∞, )

8.已知 f(x)= 取值范围是( A. (﹣2,0) 9.复数 ) B. (﹣∞,0) 的虚部为__________.

不等式 f(x+a)>f(2a﹣x)在[a,a+1]上恒成立,则实数 a 的

C. (0,2)

D. (﹣∞,﹣2)

10.已知某个几何体的三视图如图所示(正视图弧线是半圆) , 3 根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是__________cm . 11.如图,△ABC 内接于⊙O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 与⊙O 相切, 割线 DM 与⊙O 相交于点 M,N,若∠B=30°,AC=1,则 DM×DN=__________. 12.某市电信宽带私人用户月收费标准如下表:假定每月初可以和电信部门约定上网方案. 方案 类别 基本费用 超时费用 甲 包月制 70 元 乙 有限包月制(限 60 小时) 50 元 0.05 元/分钟(无上限) 丙 有限包月制(限 30 小时) 30 元 0.05 元/分钟(无上限) 若某用户每月上网时间为 66 小时,应选择__________方案最合算.

13.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 a1= ,2an+1+Sn=0,n=1,2,?,则数列{an}的通项公式为 an=__________.

14.圆 O 的半径为 1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长 为 1 的正方形(实线所示,正方形的顶点 A 与点 P 重合)沿圆 周逆时针滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的路 径的长度为__________. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 c=1,且 cosBsinC+(a﹣sinB)cos(A+B)=0 (1)求 C 的大小; 2 2 (2)求 a +b 的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的值.

16.如图,多面体 ABCDEF 中,DE⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°,四边形 BDEF 是正方 形. (Ⅰ)求证:CF∥平面 AED; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ECF 所成角的正弦值; (Ⅲ)在线段 EC 上是否存在点 P,使得 AP⊥平面 CEF,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.

17.设集合 S={1,2,3,4,5},从 5 的所有非空子集中,等可能的取出一个. (1)设 A? S,若 x∈A,则 6﹣x∈A,就称子集 A 满足性质 p,求所取出的非空子集满足性质 p 的概率; (2)所取出的非空子集的最大元素为ξ ,求ξ 的分布列和数学期望 E(ξ ) .

18.如图,已知椭圆 W:

+

=1 的左焦点为 F(m,0) ,过点 M(﹣3,0)作一条斜率大于 0 的直

线 l 与椭圆 W 交于不同的两点 A、B,延长 BF 交椭圆 W 于点 C. (1)求椭圆 W 的离心率; (2)若∠MAC=60°,求直线 l 的斜率.

19.已知定义在(1,+∞)上的函数 f(x)=x﹣lnx﹣2,g(x)=xlnx+x. (1)求证:f(x)存在唯一的零点,且零点属于(3,4) ; (2)若 k∈Z,且 g(x)>k (x﹣1)对任意的 x>1 恒成立,求 k 的最大值.

19.已知函数 f(x)=a(x﹣1)﹣2lnx(a≥0) . (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0,1)上无零点,求实数 a 的最大值.

(2015 海淀一模·理)已知函数 f ( x) ? a ln x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 (a ? 0) . x

(Ⅱ)若 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] (其中 b ? c ) ,求 a 的取值范围,并说明 [b, c] ? (0,1) .

(2015 西城一模·理)设 n ? N ,函数 f ( x) ?

*

ln x ex ,函数 , x ? (0, ??) . g ( x ) ? xn xn

(Ⅰ)当 n ? 1 时,写出函数 y ? f ( x) ? 1 零点个数,并说明理由; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 分别位于直线 l: y ? 1的两侧,求 n 的所有可能取值.

(2015 东城一模·理)已知函数 f ( x ) ? x ?

a ? ln x , a ? R . x

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (1,2) 上单调递增, 求 a 的取值范围; (Ⅲ)讨论函数 g ( x) ? f ?( x) ? x 的零点个数.

(2015 朝阳一模·理)已知函数 f ( x) ? a ln x ? (Ⅰ)当 a ? ?1 时, 求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)当 a ? 1 时, 讨论函数 f ( x ) 的零点个数.

x2 ? (a ? 1) x , a ? R . 2

(2015 丰台一模·理)设函数 f ( x) ? e x ? ax , x ? R . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证: f ( x) ? 0 ; (Ⅲ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值.

(2015 房山一模·理)已知 f ( x ) ? ?

1 2 ax ? x ? ln(1 ? x) ,其中 a ? 0 . 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在点 (3, f (3)) 处切线斜率为 0 ,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围.

(2015 顺义一模·理/文)已知函数 f ? x ? ? a2 x2 ? ax ? ln x . (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 设 g ? x ? ? a2 x2 ? f ? x ? ,且函数 g ? x ? 在点 x ? 1 处的切线为 l ,直线 l ? / / l ,且 l ? 在 y 轴上的截距为 1,求证: 无论 a 取任何实数,函数 g ? x ? 的图像恒在直线 l ? 的下方; (Ⅲ)已知点 A 1, g ?1? , Q x0 , g ? x0 ? ,且当 x0 ? 1 时,直线 QA 的斜率恒小于 2,求实数 a 的取值范围.

?

? ?

?

(2015 石景山一模·理)已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间;

1? a (a ? 0) . x

(Ⅲ)若存在 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.


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