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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.1.1指数与指数幂的运算(一


2.1.1 指数与指数幂的运算(第一课时)
(一)教学目标 1.知识与技能:理解 n 次方根与根式的概念;正确运用根式运算性质化简、求值;了解分 类讨论思想在解题中的应用. 2.过程与方法:通过与初中所学的知识(平方根、立方根)进行类比,得出 n 次方根的概 念,进而学习根式的性质. 3.情感态度与价值观:通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯;培养学 生认识、接受新事物的能力. (二)教学重点、难点 教学重点:根式概念的理解;掌握并运用根式的运算性质. 教学难点:根式概念的理解. (三)教学方法 本节概念性较强,为突破根式概念的理解这一难点,使学生易于接受,故可以从初中已 经熟悉的平方根、立方根的概念入手,由特殊逐渐地过渡到一般的 n 次方根的概念,在得出 根式概念后, 要引导学生注意它与 n 次方根的关系, 并强调说明根式是 n 次方根的一种表示 形式,加强学生对概念的理解,并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发 现,学生合作交流,自主探索的教学方法. (四)教学过程 教学 环节 情景 先让我们一起来看两个问题 (见教材 P48) . 在问题 2 中,我们已经知道 , ( ) 2 , ( ) 3 , …
2 2 2 1 1 1

教学内容

师生互动

设计意图

老师提出问题, 学生思考回答.

由 实 际问题引 入, 激发学 生的学习 积极性.

问题 引入 新课 那么,( ) 5730 , ( ) 5730 , ( )
2 2 2 1
6000

是正整数指数幂,它们的值分别为 , , , ….
2 4 8

1 1 1

1

10000

1

100000 5730

的意义是什么呢?

这正是我们将要学习的知识. 下面,我们一起将指数的取值范围从整数 推广到实数.为此,需要先学习根式的知识.

复习

什么是平方根?什么是立方根?一个数的 平方根有几个,立方根呢?

师生共同回顾初中所学过 的平方根、立方根的定义.

学 习 新知前的 简 单 复 习,不仅 能唤起学 生 的 记 忆,而且 为学习新 课作好了 知识上的 准备.

引入
2

归纳:在初中的时候我们已经知道:若
x ? a , x 叫做 a 的平方根.同理, x ? a , 则 若
3

则 x 叫做 a 的立方根. 根据平方根、立方根的定义,正实数的平 方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方根 为 ? 2 ,负数没有平方根,一个数的立方根只有 一个,如―8 的立方根为―2;零的平方根、立 方根均为零.

学习 新知

类比平方根、立方根的概念,归纳出 n 次 方根的概念. n 次方根:一般地,若 x ? a ,则 x 叫做 a
n

老师点拨指导,由学生观 察、 归纳、 概括出 n 次方根的概 念.

由特殊 到一般, 培养学生 的观察、 归纳、概 括 的 能 力.

的 n 次方根,其中 n >1,且 n∈N , 当 n 为偶数时,正数 a 的 n 次方根中,正 数用 n a 表示,如果是负数,用 ? n a 表示. 当 n 为奇数时,a 的 n 次方根用符号 n a 表 示,
n



a 叫做根式.其中 n 称为根指数, 为被开 a

方数.

深化 新知

类比平方根、立方根,猜想:当 n 为偶数 时,一个数的 n 次方根有多少个?当 n 为奇数 时呢?
? n为 奇 数 , a的 n次 方 根 有 一 个 ,为 n a ? a为 正 数 : ? n ? n为 偶 数 , a的 n次 方 根 有 两 个 ,为 ? a ?

让学生对 n 为奇偶数进行 充分讨论.通过探究得到: n 为奇数, a ? a ;
n n

通 过分 n 为 奇数和偶 数两种情 况讨论, 掌握 n 次

n 为偶数,
n

?a, a ? 0 a ? | a |? ? . ??a, a ? 0
n

? n为 奇 数 , a的 n次 方 根 只 有 一 个 ,为 n a ? a为 负 数 : ? ? n为 偶 数 , a的 n次 方 根 不 存 在 . ?

方 根 概 举出实例,加深理解. 念,培养 学生掌握 知识的准 确性、全

零的 n 次方根为零,记为 n 0 ? 0 举例:16 的次方根为 ? 2 ,
? 27的 5次 方 根 为 5 ? 27 等等, ? 27 的 4 而

面性,同 时培养学 生的分类 讨论的能 力

次方根不存在. 小结:一个数到底有没有 n 次方根,我们 一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还 要分清 n 为奇数和偶数两种情况. 根据 n 次方根的意义,可得:
(n a) (n a)
n

?a ? a 肯定成立, a 表示 an 的 n 次
n n n n

n

方根,等式 a ? a 一定成立吗?如果不一定 成立,那么 a 等于什么? 让学生注意讨论,n 为奇偶数和 a 的符号, 充分让学生分组讨论. 通过探究得到:n 为奇数, a ? a
n n n n

n 为偶数,
n

?a, a ? 0 n a ? | a |? ? ??a, a ? 0

如 3 ( ? 3) 3 ?
4 4

3

? 27 ? ? 3,

( ? 8) ? | ? 8 |? 8
n n

小结:当 n 为偶数时, a 化简得到结果 先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样就 避免出现错误

应用 举例

例题:求下列各式的值
(1) (2) (3) (4)
4 3

学生思考,口答,教师版 演、点评.

通过 例题的解

( ? 8)

3

例题分析:当 n 为偶数时, 答,进一
( ? 10)
2

应先写 a ?| a | ,然后再去绝
n n

步理解根 式 的 概 念、性质.

(3 ? ? ) (a ? b)

4

对值.
2

解: (1)
(2)

3

( ? 8) = —8;
3 2

课堂练习:1. 求出下列各式的值
( ? 10) =|—10|=10;
4

(1) 7 ( ? 2)

7


(3) (3 ? ? ) = ? ? 3
4 3

(2) 3 (3 a ? 3) ( a ? 1) (3) (3 a ? 3) .
4


(4) (a ? b) = a ? b
2

4

课堂练习
4

2.计算 3 ( ? 8) ?
3

(3 ? 2) ?
4

3

(2 ?

3)

3

1.解: —7; 3 a ? 3 ; (1) (2) (3) | 3 a ? 3 |
?3a ? 3 ? =? ?3 ? 3a ? a ?1 a ?1

.

2.解: 原式=—8+1+ 3 ? 2 = ?9 ? 3 . 归纳 总结 1 . N 次 方 根 、 根 式 的 概 念 先让学生独自回忆, 然后师 生共同总结. 通过小结 使学生加 强对知识
n 为偶数时, x ? ? n a ;

n为 奇 数 时 , x = n a ,

的记忆,
n

2.掌握两个公式: n为 奇 数 时 ,( n a ) ,
? a ( a ? 0) n n n为 偶 数 时 , a ? | a |? ? ? ? a ( a ? 0)

加深对数 学思想方 法 的 理 解.

课后 作业

作业:P59 习题 2.1 A 组 第 1 题

学生独立完成

巩固新知 提升能力


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