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2016年温州市重点高中高一自主招生考试模拟数学试题及参考答案

2016 年温州市重点高中高一自主招生综合素质笔试卷模拟试题 数学试题
注意事项:1、先将自己的姓名用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。考试结束后, 应将草稿纸和答题卷一并交回。 2、本试题总分共 150 分,考试时间 120 分钟。 3、所有选择题的答案都必须从四个选项中挑选一个答案,选对给分;不答、错答或多选, 均不给分。 4、所有答案用钢笔或圆珠笔写在答题卷上,注意字迹清楚,卷面整洁。 一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,每题只有一个正确答案) 1. 设 x ? a ? b ? c , y ? a ? c ? b , z ? b ? c ? a ,其中 a , b , c 为质数。如果 x 2 ?
z ? y ? 2 ,则 abc=(

y ,

) C.356 D.458
?? ? ? ?

A.561

B.423

2. 设 ? 、 ? 是方程 2 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 的两个实数根,则
2 3

的值是(
2 3



A.-1

B.1

C. ?

D.

3.已知 AD,BE,CF 为三角形 ABC 的内角平分线,D,E,F 在边上。若∠EDF=90°,∠BAC 的度 数为( ) A.120° B.135° C.150° D.165° 4.已知 x =1+ A.12
1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? ...... ? 1 100

,那么 x 的整数部分是( D.20



B.16
x
2

C.18

5.关于 x 的方程 | A.a>0

x ?1

| ? a 仅有两个不同的实根.则实数 a 的取值范围是(

)

B.a≥4

C.2<a<4 ) D.70

D.0<a<4

6. 若干个棱长为 2、3、5 的长方体,依相同方向拼成棱长为 90 的正方体,则正方体的一条 对角线贯穿的小长方体的个数是( A.64 B.66 C.68

2 7. 已知 a,b,c 为实数,函数 y 1 ? a x ? b x ? c , y 2 ? a x ? b ( a ? 0 ) ,当 ? 1 ? x ? 1 时,有

? 1 ? y ? 1 , y 2 有最大值为 2,试求由 y 1 ? a x ? b x ? c , y 2 ? a x ? b 所围成的封闭图形及其

2

内部的所有格点顺次连结所得图形的面积为( ) A.4 B.2 C.1 D.8 8.有( A.1 )组非负整数对 ( x , y , z ) 满足方程 2 ? 3 ? z 。 B.2 C.3 D.4
x y 2

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分)
9. 已知 p 、 q 均为正整数,且 p ? q , ( p ? q ) ? p ? q ? ( p ? q ) ? 可能值中的最大值是 .
p q ? 240 ,则 p ? q 所有

10. 已知二次函数 y ? a ( a ? 1 ) x ? ( 2 a ? 1 ) x ? 1 ( a ? 0 ) 的图像顶点为 A, 与 x 轴交点为 B、 C,则 tan∠ABC= 。
p q

2

11. 求所有的素数对(p,q) ,使得 pq|5 +5 .________________. 12. x、y 为实数,则使 ( x ? y ? xy ) ? c ( x ? y ) 成立的最大常数 c =
2 2 2 2



13. 已知:如图,以定线段 AB 为直径作半圆 O,P 为半圆上任意一点(异于 A、B) ,过点 P 作半圆 O 的切线分别交过 A、B 两点的切线于 D、C,AC、BD 相交于 N 点,连接 ON、NP.下 列结论:①四边形 ANPD 是梯形;②ON=NP;③PA 为∠NPD 的平分线.其中一定成立的是 ____________.

2 14. 若抛物线 y ? x ? a x ? 2 b ? 2 (其中 a 、 b 为实数)与 x 轴交于相异的两点,其中一点

的横坐标在 0 与 1 之间, 另一点的横坐标在 1 与 2 之间, 则

b? 4 a ?1

的取值是



2016 年温州市重点高中高一自主招生综合素质笔试卷模拟试题 数学答题卷
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,每题只有一个正确答案)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分)
学校 9._________________; 10._________________; 11._________________;

12.________________;

13._________________;

14._________________;

三.解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分,每题必须写出相应的解题过程,证明过程及演
算步骤) 姓名 15. (12 分) 关于的方程 2 x ? ( 2 ? m ) x ? ( m ? 2 ) x ? 2 ? 0 有三个实数根分别为 ? 、? 、x 0 , 其中根 x 0 与 m 无关。 (1)如 ( ? ? ? ) x 0 ? ? 3 ,求实数 m 的值。 (2)如 ? ? a ? b ? ? ,试比较:
4a ? m a ?1
2
3 2



4b ? m b ?1
2

的大小,并说明你的理由。

准考证号

考场座位号

16. ( 12 分 ) 实 数 x , y , z , w 满足 x ? y ? z ? w ? 0 , 且 5 x ? 4 y ? 3 z ? 6 w ? 100 , 求
x? y ? z ? w

的最大值和最小值.

17.(15 分)求最小实数 M,使得对一切实数 a,b,c 都成立不等式
| a b ( a ? b ) ? b c ( b ? c ) ? c a ( c ? a ) |≤ M ( a ? b ? c )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

18.(15 分)⊙O 过△ABC 顶点 A,C,且与 AB,BC 交于 K,N(K 与 N 不同) .△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于 B 和 M.求证:∠BMO=90° .

19.(20 分)已知抛物线 y (Ⅰ)若 a

? 3 ax

2

? 2 bx ? c

, 轴公共点的坐标;

? b ? 1 , c ? ? 1 ,求该抛物线与 x

(Ⅱ)若 a

? b ? 1 ,且当 ? 1 ? x ? 1

时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,求 c 的取值范围;

(Ⅲ) 若a

? b ? c ? 0

, 且 x1

? 0

时, 对应的 y 1

? 0

; x2

?1

时, 对应的 y 2

? 0

, 试判断当 0 ?

x ?1

时,抛物线与 x 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.

数学参考答案
一.选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,每题只有一个正确答案)
题号 答案 1 A 2 A 3 A 4 C 5 D 6 B 7 C 8 C

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,满分 36 分)
9.____

135_________;

10._________

1 2

________;

11. (2,3) , (3,2) , (2,5) , (5,2) , (5,5) , (5,313) (313,5) . 12.______1/2__________; 13.___ ①__③__ _______; 14._____
1 2 ? b?4 a ?1 ? 3 2

_;

三.解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分,每题必须写出相应的解题过程,证明过程及演
算步骤) 15. 解: (1)由 2 x ? ( 2 ? m ) x ? ( m ? 2 ) x ? 2 ? 0 得
3 2

? x ? 1? ? 2 x

2

? m x ? 2 ? ? 0 ,∴ x 0 ? ? 1 ,
2

2分

? 、 ? 是方程 2 x ? m x ? 2 ? 0 的根
?

? ? ? ?
4b ? m b ?1
2

m 2

,

( ? ? ? ) x 0 ? ? 3 ,所以 m ? 6

(2)设 T=



4a ? m a ?1
2

=

?b ? a ?

?a

2

? 1? ? b ? 1?
2
2

?4 ?

4ab ? m a ? m b ?

a ? b ,? b ? a ? 0 , 又 a ? 1 ? 0 , b ? 1 ? 0 ,?

2

?b ? a ?

?a
2

2

? 1? ? b ? 1?
2

>0

设 f ( x ) ? 2 x m x ? 2 ,所以 ? 、 ? 是 f ( x ) ? 2 x m x ? 2 与 x 轴的两个交点,
?2a ? ma ? 2 ? 0 ? f (a ) ? 0 , 即? 2 ? ? a ? b ? ? ? ? ? f (b ) ? 0 ? 2b ? m b ? 2 ? 0
?
2

2

m a ? m b ? 2 a ? 2b ? 4

2

2

? 4 ? 4ab ? m a ? m b ?

> 2(a ? b) ? 0

2

T>0,即

4b ? m b ?1
2

>

4a ? m a ?1
2

16. 解 设 z ? w ? a , y ? w ? a ? b , x ? w ? a ? b ? c ,则 a , b , c ? 0 ,且
x ? y ? z ? w ? 4 w ? 3a ? 2b ? c


3w ( ? a ) ? w 6

所以

1 0 0 ?

5 w ( ? a ? b ? c )?

4w ( ? a ? b )?

? 4 ( 4 w ? a 3 ? ? 1 8w ? 1 2 a ? b 9 ? c 5 ? 4( x ? y ? z ? w) ,

b 2 ? c )?

(w 2 ?b ?c )

所以 当x
? y ? z ? 25 3 ,w ? 0

x ? y ? z ? w ? 25


y ? z ? w

时等号成立,故 x ?

的最大值为 25.



100 ? 1 8 w ? 1 2 a ? 9 b ? 5 c , ? 5 (x ? y ? z ? w)

? 5(4 w ? 3a ? 2b ? c ) ? (2 w ? 3a ? b )

所以 当x
? 20, y ? z ? w ? 0
2 2

x ? y ? z ? w ? 20


y ? z ? w

时等号成立,所以 x ?
2 2 2 2

的最小值为 20

17. 解: a b ( a ? b ) ? b c ( b ? c ) ? c a (c ? a )
? ? ( a ? b )( b ? c )( c ? a )( a ? b ? c )


1 3 (x ? y ? z ? s )
2 2 2 2

设 a ? b ? x, b ? c ? y, c ? a ? z, a ? b ? c ? s ,则 a 2 ? b 2 ? c2 ? 原不等式成为
M ( x ? y ? z ? s ) ≥ 9 | xyzs | ( x ? y ? z ? 0)
2 2 2 2 2





x, y, z

中两个同号而与另一个反号.不妨设 x, y ≥ 0 .则
2 2

| z | ? x ? y, x ? y ≥
2 2 2 2 2

1 2 3 2

(x ? y)

2

, ( x ? y ) 2 ≥ 4 x y .于是由算术-几何平均不等式
2 2 2

(x ? y ? z ? s ) ≥ (

(x ? y) ? s )

=( ( x ? y)2 ?
2

1

1 2

(x ? y) ?

2

1 2

(x ? y) ? s )

2

2

2

≥ (4

4

1 8

(x ? y) s ) ? 4

6

2

2

2 ( x ? y ) | s |≥ 1 6

3

2 | xyzs |

即M ?

9

2 32
?

时原不等式成立.
2, x ? y ? 1 , z ? ? 2

等号在 s

,即 a

:b: c ?(

2 ? 3) :

2 :(

2

? 3)

时达到,故所求

的最小的 M ?

9

2 32



18.证明:连接 OC,OK,MC,MK,延长 BM 到 G, ∵△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于 B 和 M, ∴∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK, 而∠COK=2?∠BAC=∠GMC+∠BMK=180° -∠CMK,

∴∠COK+∠CMK=180° , ∴C,O,K,M 四点共圆, 在这个圆中,由 OC=OK 得 OC = OK , ∴∠OMC=∠OMK,但∠GMC=∠BMK,

∴∠BMO=90° . 19. 解(Ⅰ)当 a 方程 3 x 2
? b ? 1 , c ? ? 1 时,抛物线为 y ? 3 x
2

? 2x ? 1



? 2x ? 1 ? 0

的两个根为 x 1

? ?1 , x2 ?

1 3


? ?

0?. ∴该抛物线与 x 轴公共点的坐标是 ? ? 1, 0 ? 和? , ?3

?1

(Ⅱ)当 a

? b ? 1 时,抛物线为 y ? 3 x

2

? 2x ? c

,且与 x 轴有公共点.
1

对于方程 3 x 2 ①当 c
? 1 3

? 2x ? c ? 0

,判别式 ?
? 2x ? 1 3

? 4 ? 12 c

≥0,有 c ≤ .
3 ? x2 ? ? 1 3

时,由方程 3 x 2

? 0

,解得 x 1


? , 0?. ?

此时抛物线为 y
1 3

? 3x

2

? 2x ?

1 3

与 x 轴只有一个公共点 ? ?
?

?

1 3

②当 c

?

时, , .
? ? 1 3

x 1 ? ? 1 时, y 1 ? 3 ? 2 ? c ? 1 ? c x2 ? 1

时, y 2

? 3 ? 2 ? c ? 5 ? c

由已知 ? 1 ?

x ?1

时,该抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为 x
? 1 ? c ≤ 0, ?5 ? c ? 0.



应有 ?

? y 1 ≤ 0, ? y2 ? 0.

即?

解得 ? 5 ? c ≤ ? 1 .

综上, c

?

1 3

或 ?5 ? c ≤ ?1 .
? 3 ax
2

(Ⅲ)对于二次函数 y 由已知 x 1 又a
? 0

? 2 bx ? c


? 3a ? 2b ? c ? 0

时, y 1

? c ? 0

; x2

?1

时, y 2



? b ? c ? 0 ? b ? 0

,∴ 3 a .而 b

? 2b ? c ? (a ? b ? c ) ? 2 a ? b ? 2 a ? b

. .

于是 2 a ∴a

? ?a ? c

,∴ 2 a

? a ? c ? 0

,即 a

? c ? 0

? c ? 0


2

∵关于 x 的一元二次方程 3 ax
? ? 4b
2

? 2 bx ? c ? 0

的判别式
2

? 12 ac ? 4 ( a ? c )

2

? 12 ac ? 4 [( a ? c )

? ac ] ? 0



∴抛物线 y

? 3 ax

2

? 2 bx ? c

与 x 轴有两个公共点,顶点在 x 轴下方.
b

又该抛物线的对称轴 x 由a
? b ? c ? 0 ? b ? ?a
b 3a ? 2 3
? 0

? ?

, ,

y

3a

,c , .

? 0

, 2a

? b ? 0

得 ?2a ∴
1 3

O

1

x

? ?

又由已知 x 1

时, y 1

? 0

; x2

?1

时, y 2

? 0

,观察图象,

可知在 0 ?

x ? 1 范围内,该抛物线与 x

轴有两个公共点.


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