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陕西省宝鸡市2010年高三教学质量检测(一) 数学理


陕西省宝鸡市 2010 年高三教学质量检测(一)

数学试题(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷 15 题为选考题, 其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答案卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔记清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 ●以下公式供解题时参考: 样本数据 x1 , x 2 ,..., x n 的标准差 s = 其中 x 为样本平均数; 柱体体积公式 V = Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;

1 ( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + ... + ( x n ? x) 2 ] , n

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3 4 球的表面积公式 S = 4πR 2 ;球的体积公式 V球 = πR 3 ,其中 R 为球的半径。 3
锥体体积公式 V =

第Ⅰ卷

(选择题, 共分)

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的) : 1. 已知集合 A = {x | y = log 2 ( ? x 2 + x + 2), x ∈ R} , = {x | y = 1 ? x 2 , x ∈ R} , A I B B 则 ( B.[-1,2] C. (1,1] m+i 1 2.已知 m∈R,复数 ? 的实部和虚部相等,则 m 等于 1+ i 2 A. (-1,2) D. (-1,1) ( ) )

1

A. ? 1

B. ? 2

C.

1 2

D.2 ( D.340 (
2

3.已知等差数列 {a n } 满足, a 3 + a15 = 20 ,则 S17 等于 A.90 B.95 4.下列命题中错误的是
2



C.170



A.命题“若 x ? 3 x + 2 = 0 ,则 x = 1 ”的逆否命题“若 x ≠1,则 x ? 3 x + 2 ≠0” B.若 p 且 q 为假命题,则 p , q 均为假命题 C.对于命题 p :存在 x ∈ R ,使得, x 2 + x + 1 < 0 ,则 ?p 为:任意 x ∈ R ,均有

x 2 + x + 1 ≥0
D. x > 2 ”是“ x 2 ? 3 x + 2 > ”的充分不必要条件 “

? x + y ? 4 ≤ 0, ? 5.已知 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ≤ 0, 则目标函数 z = 4 x + y ? 10 取得最小值的最优解有 ?4 x + y ? 4 ≥ 0, ?
( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个 6.已知正四面体 A—BCD,设异面直线 AB 与 CD 所成的角为α,侧棱 AB 与底面 BCD 所 成的角β,侧面 ABC 与地面 BCD 所成的角为γ,则 ( ) A.α>β>γ B.α>γ>β C.α>β≥γ D.γ>β>α 7.某器物的三视图如图 1 所示,根据图中数据可知该器 物的表面积为 ( ) A. 4π B. 5π C. 8π D. 9π 8.已知双曲线

x2 y2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 与抛物线 y 2 = 8 x 2 a b

有公共焦点,且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为 1, 则该双曲线的离心率为 ( ) A. 2 C.2 B. 3 D.4

9 . 已 知 函 数 y = 2 sin(ωx + ? ) 在 区 间 [0, π ] 上 单 调 , 且

π 4 f ( ) = 0 , f ( π ) = 2 ,则 f (0) 等于 3 3

4 3

2

( A.-1 B. ?



3 2
2

C.-2
2

D.0

10.平移直线 x ? y + 1 = 0 使其与圆 ( x ? 2) + ( y ? 1) = 1 相切,则平移的最短距离为 ( A. 2 ? 1 B. 2 ? 2 C. 2 D. 2 ? 1 与 2 + 1 )

第Ⅱ卷
本卷包括必做题和选做题两部分,其中第 15 题为选做题,考生根据要求作答;其余题 为必做题,每个试题考生都必须做答。 二、填空题(本大题共 7 小题,11—14 题为必做题,15 题为选做题;考生作答 5 小题,每 小题 5 分,共 25 分) 11.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划 采用分层抽样法,抽样一个样本容量为 90 人的样本, 应在甲校抽取学生 人。 12.某算法流程图如图所示,则输出结果是 13.在 ( x ? 。 (用

2 7 ) 的展开式中, x 3 的系数是 x

数字作答) 14.若函数 f ( x ) = ax + b 有一个零点是 1,则函数

g ( x ) = bx 2 ? ax 的零点是



15. (这里给出 3 道选做题,考生只能从中选做一道,多答时, 按序只评第 1 题。 ) · (集合证明选讲选做题)如图,AD 是○O 的切线,AC 是 · · ○O 的弦,过 C 做 AD 的垂线,垂足为 B,CB 与○O 相 交于点 E,AE 评分∠CAB,且 AE=2,则,AC= ; (坐标系与参数方程选讲选做题) 极坐标方程分别为 ρ = 2 cos θ 和 ρ = sin θ 的两个圆的 圆心距为 。
3

(不等式选讲选做题) 若不等式 | x +

1 则实数 a | ≥ | a ? 2 | +1 对一切非零实数 x 均成立, x

的最大值是 。 三、解答题 本大题共 6 小题,满分 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 12 分) 如图,为了计算渭河岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点, 现测得 AD⊥CD,AD=100m,AB=140m,∠BDA=60°,∠BCD=135°, 求两景点 B 与 C 的距离(假设 A,B,C,D 在同一平面内,测量结果保留整数;参考 数据: 2 = 1.414 , 3 = 1.732 , 5 = 2.236 .)

17. (本题满分 12 分) 某校积极响应《全面健身条例》 ,把周五下午 5:00~6:00 定为职工活动时间,并成立 了行政和教师两支篮球队,但由于工作性质所限,每月(假设为 4 周)每支球队只能组 织两次活动,且两支球队的活动时间是相互独立的。 (1)求这两支球队每月两次都在同一时间活动的频率; (2)设这两支球队每月能同时活动的次数为 ξ ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望。

4

18. (本题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC=BC,点 D 是 AB 的中点。 (1)求证:CD⊥平面 A1 ABB1 ; (2)求证: AC1 ∥平面 CDB1 。

19. (本题满分 12 分) 已知,等差数列 {a n } 的首项 a1 = 1 ,公差 d > 0 ,且第二项、第五项、第十四项分别是 等比数列 {bn } 的第二项、第三项、第四项。 (1)求数列 {a n } {bn } 的通项公式; (2)设数列 {c n } 对任意正整数 n 均有

c c1 c 2 c3 + + + ... + n = (n + 1)a n +1 成立,求数列 b1 b2 b3 bn

{c n } 的前 n 项的和 S n .

5

20. (本题满分 13 分) 已知平面上的动点 P ( x, y ) 及两定点 A(-2,0) ,B(2,0) ,直线 PA,PB 的斜率分别 是 k1 , k 2 ,且 k1 · k 2 = ?

1 。 4

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知直线 l : y = kx + m 与曲线 C 交于 M,N 两点,且直线 BM,BN 的斜率都存在 并满足 k BM · k BN = ?

1 ,求证:直线 l 过原点。 4

21. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = ln x ? (1)当 a = b =

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求 f (x ) 的最大值; 2 1 a (2)令 F ( x ) = f ( x ) + ax 2 + bx + , < x ≤3) (0 ,其图象上任意一点 P ( x0 , y 0 ) 处切 2 x 1 线的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2

(3)当 a = 0 , b = ?1 ,方程 2mf ( x) = x 2 有唯一实数解,求正数 m 的值。

6

参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 C 12.8 4 B 5 D 13.84 6 B 7 D 8 C 14.0 或—1 9 A 10 C

二、填空题: 11.30

15. (几何证明选讲选做题) 2 3 ; (坐标系与参数方程选做题) (不等式选讲选做题)3 三、解答题: (2′) 16.解:△ABD 中,设 BD = x , 则 BA 2 = BD 2 + AD 2 ? 2 BD · AD · cos ∠BDA, 即 140 2 = x 2 + 100 2 ? 2 × 100 · x · cos 60°, 整理得 x 2 ? 100 x ? 9600 = 0 (6′) 解之: x1 = 160 , x 2 = ?60 (舍去) 由正弦定理,得: ∴ BC =

5 ; 2

BC BD , (10′) = sin ∠CDB sin ∠BCD

160 ·sin30°=80 2 ≈113(m) 。 sin 135 o
2 C4 1 = ,(6′) 2 2 C4 C4 6

答:两景点 B 与 C 的距离约为 113m。 (12′) 17.解: (1)设这两支球队同时打球为事件 A,则 P ( A) = (2)设两队相遇的次数为 ξ , ξ =0,1,2,则(8′)

p (ξ = 0) =

2 C4 C 2 C 1C 1 2 C2 1 1 = , p (ξ = 1) = 4 2 2 2 2 = , p (ξ = 2) = 2 4 2 = .(10′) 2 2 3 C4 C4 6 C4 C4 C4 C4 6

所以,分布列如下:

7

ξ
p
故, Eξ = 0 ×

0

1

2

1 6 1 2 1 + 1 × + 2 × = 1 .(12′) 6 3 6

2 3

1 6

18.证明: (1)∵ ABC ? A1 B1C1 是三直棱柱, (2′) ∴平面 ABC⊥平面 A1 ABB1 ,∵ AC = BC , 点 D 是 AB 的中点, ∴CD⊥AB,平面 ABC I 平面 A1 ABB1 =AB, ∴CD⊥平面 A1 ABB1 。 (6′) (2)连结 BC1 ,设 BC1 与 B1C 的交点为 E, 连结 DE。∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴DE∥ AC1 ,∵ DE ? 平面 CDB1 ,

AC ? 平面 CDB1 , (10′)
∴ AC1 ∥平面 CDB1 。 (12′) 19.解: (1)由题意,得: ( a1 + d )(a1 + 13d ) = ( a1 + 4d ) 2 , 整理得: 2a1 d = d 2 ∵ a1 = 1 ,解得 d = 2 (∵ d > 0 ,∴舍去 d = 0 ). ∴ a n = 2n ? 1 , n =1,2,…) ( 由 b2 = a 2 = 3 , b3 = a5 = 9 ,易求 bn = 3 n ?1 。 n =1,2,3,…) ( (5′) (2) n = 1 时,

c1 = (1 + 1) · a 2 ,∴ c1 = 1 × 2 × 3=6. b1

8

当 n ≥2 时,

c c1 c 2 c3 + + + ... + n ?1 = n ? a n , (8′) b1 b2 b3 bn ?1

c c1 c 2 c3 + + + ... + n = (n + 1)a n +1 。 b1 b2 b3 bn
两式相减得:

cn = (n + 1)a n+1 ? ann = n(a n +1 ? a n ) + a n+1 = 2n + 2(n + 1) ? 1 = 4n + 1. bn
∴ c n = (4 n + 1)bn = ( 4n + 1)3 n ?1. ∴ cn = ?

?6,

(n = 1)

n ?1 (n = 2,3,4...) ?(4n + 1)3

(10′)

故当 n = 1 时, S1 = c1 = 6 , 当 n ≥2 时, S n = 6 + 9 × 31 + 13 × 3 2 + 17 × 3 3 + ... + ( 4n ? 3) × 3 n ? 2 + ( 4 n + 1) ? 3 n ?1 令 Tn = 9 × 31 + 13 × 3 2 + ... + ( 4n ? 3) × 3 n ? 2 + ( 4n + 1) × 3 n ?1 ,错位相消可得, ∴ Tn =

(4n ? 1) ? 3 n ? 9 2

(4n ? 1) ? 3 n ? 9 (4n ? 1) ? 3 n + 3 ∴ Sn = +6= 2 2
?6 ? 即 S n = ? (4n ? 1) ? 3 n + 3 ? ? 2
故 Sn =

(n = 1) ( n ≥ 2)

(4n ? 1) ? 3 n + 3 。 (12′) 2
y y 1 · ( , = ? , x ≠ ± 2)(2′) x+2 x?2 4

20.解: (1)由题意,

即 x2 + 4y2 ? 4 = 0.

9

所求 P 点轨迹 C 的方程为

x2 + y 2 = 1 ( x ≠ ± 2) (6′) 4

(2)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,

? y = kx + m ? 2 2 2 联立方程 ? x 2 得, (k + 1) x + 8kmx + 4m ? 4 = 0 .(8′) 2 ? + y =1 ?4
所以 x1 + x 2 =

4m 2 ? 4 ? 8km , x1 x 2 = . 4k 2 + 1 2k 2 + 1

所以 y1 y 2 = (kx1 + m)( kx 2 + m) = k 2 x1 x 2 + km( x1 + x 2 ) + m 2 .(10′) 又 k BM · k BN = ?

y1 y2 1 1 =? . 即 · 4 x1 ? 2 x 2 ? 2 4

所以 x1 x 2 ? 2( x1 + x 2 ) + 4 + 2 y1 y 2 = 0 . 代入得, 4m 2 ? 4 ?

8km( 4km ? 2) + 4m 2 + 4 = 0. (11′) 4k 2 + 1

所以 m ( m + 2 k ) = 0 即 m = 0 或 m = ?2k .(13′) 当 m = 0 时,直线恒过原点;当 m = ?2k 时直线恒过(2,0)但不符合题意。 所以,直线恒过原点。 (14′) 21.解: (1)依题意,知 f (x ) 的定义域为(0,+∞) 当a = b =

1 1 2 1 时, f ( x ) = ln x ? x ? x , 2 4 2 1 1 1 ? ( x + 2)( x ? 1) f ' ( x) = ? x ? = (2′) x 2 2 2x

令 f ' ( x ) =0,解得 x = 1 .(∵ x > 0 ) 因为 g ( x ) = 0 有唯一解,所以 g ( x 2 ) = 0 当 0 < x < 1 时, f ' ( x) > 0 ,此时 f (x ) 单调递增; 当 x > 1 时, f ' ( x ) < 0 ,此时 f (x ) 单调递减。

10

所以 f (x ) 的极大值为 f (1) = ? (2) F ( x ) = ln x + 则有 k = F ' ( x0 ) = 所以 a ≥ ( ?

3 ,此即为最大值。 (5′) 4

a , x ∈ (0,3] , x

x0 ? a 1 ≤ ,在 x0 ∈ (0,3] 上恒成立, 2 2 x0

1 2 x0 + x0 ) max , x0 ∈ (0,3] (8′) 2 1 2 1 1 当 x0 = 1 时, ? x0 + x0 取得最大值 ,所以 a ≥ (10′) 2 2 2

2 (3)因为方程 2mf ( x) = x 有唯一实数解,

所以 x ? 2m ln x ? 2mx = 0 有唯一实数解,
2

设 g ( x) = x 2 ? 2m ln x ? 2mx , 则 g ' ( x) =

2 x 2 ? 2mx ? 2m . x
2

令 g ' ( x) = 0 ,得 x ? mx ? m = 0 . 因为 m > 0 , x > 0 ,所以 x1 =

m ? m 2 + 4m < 0 (舍去) , 2

x2 =

m m 2 + 4m , 2

当 x ∈ (0, x 2 ) 时, g ' ( x ) < 0 , g (x ) 在(0, x 2 )上单调递减, 当 x ∈ ( x 2 ,+∞) 时, g ' ( x ) > 0 , g (x ) 在( x 2 ,+∞)单调递增 当 x = x 2 时, g ' ( x 2 ) =0, g (x ) 取最小值 g ( x 2 ) .(12′) 则?
2 ? g ( x2 ) = 0, ? x 2 ? 2m ln x 2 ? 2mx 2 = 0, ? 既? 2 ? g ' ( x2 ) = 0, ? x 2 ? mx 2 ? m = 0. ?

所以 2m ln x 2 + mx 2 ? m = 0 ,
11

因为 m > 0 ,所以 2 ln x 2 + x 2 ? 1 = 0 (*) 设函数 h( x ) = 2 ln x + x ? 1 , 因为当 x > 0 时, h(x ) 是增函数,所以 h( x ) = 0 至多有一解。 因为 h(1) = 0 ,所以方程(*)的解为 x 2 = 1 ,

m + m 2 + 4m 即 = 1, 2
解得 m =

1 .(14′) 2

12


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