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2013-2014高中数学专题复习:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数


2013-2014 高三数学
集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
一知识点梳理 1、 利用公式求导 (1) 、常见函数求导: ( x ) ? nx
n ' n ?1

.a ? c ? b

. b?c?a

. a?b?c

.b ? a ? c

选 .由对数函数 y ? log5 x 的图像,可得 0 ? log5 3 ? log5 4 ? 1,

? b ? (log5 3)2 ? log5 4 ,又 c ? log4 5 ? 1,?b ? a ? c .

(sin x) ? cos x
'

( c ox ? ? s )
'

sin x
1)

4、若曲线 y ? x 4 ? x 在点 P 处的切线垂直于直线 x ? 3 y ? 0 ,则点 P 的坐标是( . (1,0) . (0,?1) . (0,1) . (?1,0)



(e x ) ' ? e x

' (a x ) ? a x ? l a a ( n ?

x ? 0) (ln ')

1 x

( l o agx ' ? )

1 a ? 且a ? ( 0 x ln a
'

3 选 . y? ? 4 x3 ? 1 ,当 y? ? 3 时,即 4 x ? 1 ? 3 ,解得 x ? 1 ,此时点 P 的坐标为 (1,0) .

(2)求导法则:? f ( x) ? g ( x) ? ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ,
? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?
'

(3)利用导数几何意义(切线的斜率)解题——切点待定法(设出切点坐标,写 出切线表达式) (4) 曲线 y=f(x)在点 P(x0 ,f(x0))处的切线方程是: y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 ) 4、导函数与原函数图象关系( 1、f ?( x) ? 0 ? f ( x)是增函数 2、导数越大,函数变化越大 3、原函数看增减性,导函数看正负) 二,典型例题 1.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R}, N ? {x | y ? 2 ? x 2 } ,则 M ? N ? ( . [?1,??) . [?1, 2 ] . ) . ?

1 1 5、由直线 x ? , x ? 2, 曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积为( x 2 1 15 17 D. 2 l n 2 C. l n 2 A. B. 2 4 4 6.下列 4 个命题:



①命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , 则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 , 则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ” ; ② x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件; “ ③若 p ? q 为假命题,则 p 和 q 均为假命题; ④对于命题 p : ?x ? R , 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 . 则 ? p : ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ; 其中正确命题的个数是 ( ) A. 0 个 B.1 个 C.2 个 D. 3 个

[ 2 ,??)

7.设函数 f ( x) ? log3 . (?1, ? log3 2)

x?2 ? a 在区间 (1, 2) 内有零点,则实数 a 的取值范围是( ) x
. (0, log 3 2) . (log3

选 .由题意得 M ? { y | y ? ?1} , N ? {x | ? 2 ? x ?

2} ,所以 M ? N ? [?1, 2 ] .


2,1)

. (1, log 3 4)

2.命题“存在 x ? R , 使x2 ? ax ? 4a ? 0 为假命题”是命题“ ? 16 ? a ? 0 ”的( .充要条件 .充分不必要条件 .必要不充分条件 .既不充分也不必要条件
2

? 2? 选 . f ( x) ? log 3 ?1 ? ? ? a 在 (1, 2) 上是减函数,由题设有 f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,解得 a∈ (log 3 2,1) . x? ?

8.函数 y ? f (x) 在定义域( ?

3 , 3 )内可导,其图象如图所示,记 y ? f (x) 的导函数为 2

2 选 .依题意,“存在 x ? R , 使x ? ax ? 4a ? 0 为假命题”得 ? ? a ? 16a ? 0 ,解得 ? 16 ? a ? 0 ,

y ? f ' ( x) ,则不等式 f ' ( x) ? 0 的解集为(



所以命题“存在 x ? R , 使x ? ax ? 4a ? 0 为假命题”是命题“ ? 16 ? a ? 0 ”的充要条件.
2
2 3.设 a ? log5 4,b ? log5 3) c ? log45 ,则( ( ,



14.设函数

f ( x) ?

1 2 x x e . 2

(I)求函数

f (x ) 的单调区间;

(II)若当 x ? 9. .[ ?

?? 2,2?时,不等式 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
1 2 x 1 x x e ? e x( x ? 2) , 2 2

1 , 1] ? [2 , 3) 3

1 4 8 .[ ?1 , ] ? [ , ] 2 3 3 3 1 4 8 . (? , ? 1] ? [ , ] ? [ , 3) 2 2 3 3

【解析】 (1)

f ?( x) ? xe x ?

3 1 . [ ? , ] ? [1 , 2] 2 2



f ?( x) ? xe x ?

选 .依题意,当 f ' ( x) ? 0 时,函数 y ? f (x) 是减函数,由图象知,x∈[ ?

1 , 1] ? [2 , 3) . 3

1 2 x 1 x x e ? e x( x ? 2) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? ?2 , 2 2

? f (x ) 的单调增区间为 ( ??,?2) 和 (0,??) .


10.如图,正方形 ABCD 的顶点 A(0,

2 ) , B( 2 , 0) ,顶点 C、D 位于第一象限,直线 2 2


f ?( x) ? xe x ?

1 2 x 1 x x e ? e x( x ? 2) ? 0, ? 2 ? x ? 0 , 得 2 2

l : x ? t (0 ? t ? 2) 将正方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为
f (t ) ,则函数 s ? f ?t ? 的图象大致是(

? f (x ) 的单调减区间为 (?2,0) .
(2)? x ? ?? 2,2?, 令 f ?( x ) ? 0 ,得 x

? ?2或x ? 0 ,

又由(1)知, x ? ?2, x ? 0 分别是 f (x ) 的极大值点和极小值点,

?2 2 ) ?t , (0 ? t ? ? 2 选 .依题意得 S ? f (t ) ? ? ??(t ? 2) 2 ? 1, ( 2 ? t ? 2) ? ? 2 二、填空题
11. 根据定积分的几何意义,计算 12.已知 a ? 0, b ? 0 ,则

? f ( ?2) ?

2 , f ( 2) ? 2e 2 , f (0) ? 0 , 2 e

当 x ? ?? 2,2?时

f ( x) ? ?0,2e2 ? ,? m ? 2e2 . ? ?

?

1

0

2 x ? x 2 dx ?

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是_____________. a b
15. 已知函数

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d (a ? 0) 的图像如右。

因为

1 1 1 1 1 1 ? ?2 a b ?2 ?2 a b ?2 ( ? a b ) ?当 且 仅 当 ? , 且 4 a b a b ab ab
w.w.w. zxx k.c.o.m

1 ? ab , 即 ab

(1)求 c, d 的值; (2)若函数 f (x) 在

a ? b ? 1 时,取“=” 。

13. 已知函数 f(x)=alnx+x 在区间[2,3]上单调递增, 则实数

a 的取值范围是________.

x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f (x) 的解析式;
f ( x) ? 8a 有三个不同的根,求实数 a 的取值范围。

(3)若 x0 =5,方程

【解析】函数 f (x) 的导函数为 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a ? 2b (1)由题图可知,函数 f (x) 的图像过点(0,3),且 f ?(1) ? 0 ,

(2)当 b ? R 时,函数

y ? f ( x) ? m 有两个零点,求实数 m 的取值范围.

(3)是否存在这样的直线

l

,同时满足:

得?

?d ? 3 ?d ? 3 . ?? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0 ?c ? 0

① l 是函数 y ? f (x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线 ② l 与函数 y ? g (x) 的图象相切于点 P( x0 , y0 ), x0 ?[e ?1 , e] , 如果存在,求实数 b 的取值范围;如果不存在,请说明理由。 解: 1) x ? 0时, f ( x) ? ( x ? 2ax)e , (
2 x

(2)依题意可得 f ?(2) ? ?3且f (2) ? 5 ,得

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ,解得a ? 1, b ? ?6, ? 8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5 ?
所以 f(x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ? 3 . (3)依题意

? f ?( x) ? (2x ? 2a)ex ? ( x2 ? 2ax)ex ? [ x2 ? 2(1 ? a) x ? 2a]e x .
由已知得, f '( 2) ? 0, ? 2 ? 2 2 ? 2a ? 2 2a ? 0, 解得 a=1.
2 x 2 x ? f ( x) ? ( x ? 2 x)e ,? f ' ( x) ? ( x ? 2)e .

.. 分 ..1 ??2 分

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? (3a ? 2b) x ? 3(a ? 0),f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? 3a ? 2b,


当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( 2, ??) 时, f ?( x) ? 0 .

.. 分 ..3

f ?(5) ? 0,得b ? ?9a

① ②

所以当 b ? 1 时, f ( x) 在 (??, 0) , ( 2, ??) 上单调递增,在 (0, 2) 上单调递减.??4 分
2 (2)由(1)知,当 x ? (0, 2) 时, f (x) 单调递减, f ( x) ? ((2 ? 2 2)e ,0)

若方程 f ( x) ? 8a 有三个不同的根,当且仅当满足 f (5) ? 8a ? f (1) 由①②得 ?25a ? 3 ? 8a 所以,当

? 7a ? 3,解得

1 ? a ? 3, 11

2 当 x ? ( 2, ??)时 , f (x) 单调递增, f ( x) ? ((2 ? 2 2)e , ??) .

??????6 分

1 ? a ? 3 时,方程 f ( x) ? 8a 有三个不同的根. 11

要使函数 y ? f ( x) ? m 有两个零点,则函数 y ? f (x) 的图象与直线 y ? m 有两个不同的交点.
2 ①当 b ? 0 时,m=0 或 m ? (2 ? 2)e ;
2 ②当 b=0 时, m ? ((2 ? 2 2)e ,0) ;
2 ③当 b ? 0时, m ? ((2 ? 2 2)e , ??) .

a 16.已知函数 f ( x ) ? ln x ? . x

求函数 f (x) 的单调增区间;

.. 分 ..7 .. 分 ..8 .. 分 ..9

1 a x?a . 【解析】由题意, f ( x)的定义域为 (0,?? ), 且f ?( x) ? ? 2 ? x x x2
①当 a ? 0时, f ?( x) ? 0,? f ( x)的单调增区间为0,??) . ( ②当 a ? 0时, 令f ?( x) ? 0, 得x ? ?a,? f ( x)的单调增区间为?a,??). (

(3)假设存在, x ? 0 时,

f ( x) ? ( x 2 ? 2x)e x ,? f ' ( x) ? ( x 2 ? 2)e x

?( x 2 ? 2ax )e x , x ? 0 f ( x) ? ? , g ( x) ? c ln x ? b, 且x ? 2 是函数 y ? f (x) 的极值点。 17.已知 bx , x ? 0, ?
(1)当 b

? f (2) ? 0, f ' (2) ? 2e 2
函数 f (x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线 l 的方程为: y

? 2e 2 ( x ? 2),
?1

.. ..10 分

? 1 时,求 a 的值,讨论函数 f ( x) 的单调性;

? 直线 l 与函数 g (x) 的图象相切于点 P( x0 , y0 ), x0 ?[e , e] ,

c c , ? y0 ? c ln x0 ? b , g ' ( x) ? ,所以切线 l 的斜率为 g ' ( x0 ) ? x0 x
所以切线 l 的方程为 : y ? y 0 ? 即 l 的方程为: y ?

c ( x ? x0 ) x0
????11 分

c x ? c ? b ? c ln x0 x0

c ? ? c ? 2e 2 x 0 ? 2e 2 ? x0 得? ?? 2 ?b ? c ? c ln x0 ? 4e ?? c ? b ? c ln x0 ? ?4e 2 ?
2 得 b ? 2e ( x0 ? x0 ln x0 ? 2) 其中 x0

?[e ?1 , e]
?[e ?1 , e]

.. ..12 分

记 h( x0 ) ? 2e ( x0 ? x0 ln x0 ? 2) 其中 x0
2

? h' ( x0 ) ? 2e 2 (1 ? (ln x0 ? 1)) ? ?2e 2 ln x0
令? h' ( x0 ) ? 0得x0 ? 1 1 0 极大值 ? 2e 2
2

.. ..13 分

x0 h' ( x0 ) h( x0 )

(e ?1 ,1)
+

(1,e)

-

?1 2 2 又 h(e) ? ?4e , h(e ) ? 4e ? 4e ? ?4e

? x0 ?[e ?1 , e],? h( x0 ) ?[?4e 2 ,?2e 2 ]
所以实数 b 的取值范围的集合: {b | ?4e ? b ? ?2e }
2 2

????14 分


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