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2017高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第六节 变量间的相关关系与统计案例习题 理


第六节
[基础达标]

变量间的相关关系与统计案例

一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1. (2015·洛阳测试) 两个变量 y 与 x 的回归模型中,求得回归方程为 时 A.y 一定等于 2 C.y 小于 2 B.y 大于 2 D.y 的值在 2 左右

=lg(3x+10),当 x=30
( )

1.D 【解析】将 x=30 代入回归方程得 y=2,故 y 的值在 2 左右. 2.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数 据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为 正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( )

=0.85x-85.71,则下列结论中不
( )

C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 2.D 【解析】由回归方程为

=0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大,所以 y 与 x 具有正的

线性相关关系,由最小二乘法建立的回归方程的过程知

x+

x+

),所以回归直线过样本点的中心(

),利用回

归方程可以预测估计但不能作断定,所以 D 不正确. 3. (2015·大连二模) 对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得散点图 1;对变量 u,v 有观测数据(ui,vi)(i=1,2,?,10),得散点图 2.由这两个散点图可以判断 ( )

1

A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 3.C 【解析】由散点图可知,y 随着 x 的增大而减小,v 随着 u 的增大而增大,所以变量 x 与

y 负相关,u 与 v 正相关.
4. (2016·石家庄质检) 某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的支持态度”是否 有关,运用 2×2 列联表进行独立性检验,经计算 k=7.069,则认为“学生性别与支持活动有关 系”的犯错误的概率不超过 A.0.1% 附: B.1% C.99% D.99.9% ( )

P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

4.B 【解析】 因为 7.069>6.635,所以至少有 99%的把握认为“学生性别与支持活动有关系”, 即认为“学生性别与支持活动有关系”出错的概率不超过 1%. 5. (2015·邵阳联考) 为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样的 方法从该地区调查了 500 位老人,其结果如下表:

由K=

2

,

得 K2= 附表:

≈9.967.

P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001

2

k0

3.841 6.635 10.828

参照附表,可得出的结论是 A.在犯错的概率不超过 0.1%的前提下,认为“需要志愿者提供帮助与性别有关” B.在犯错的概率不超过 0.1%的前提下,认为“需要志愿者提供帮助与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”

(

)

5.C 【解析】由题意可得 K =9.967>6.635,所以有 99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮 助与性别有关”. 6. (2015·广西桂林十八中月考) 登山族为了了解某山高 y(km)与气温 x(℃)之间的关系,随 机统计了 4 次山高与相应的气温,并制作了对照表: 气温 x(℃)

2

18

13

10

-1

山高 y(km)

24

34

38

64

由表中数据,得到线性回归方程为 A.-10 B.-8

=-2x+
C.-6

∈R),由此估计山高为 72(km)处的气温为( D.-4 )必在回归直线方程上,可得

)

6.C 【解析】由题中数据可得 =10,

=40,根据中心点(

40=-2×10+

,解得

=60,即

=-2x+60,那么当 y=72 时,x=-6.

7.有人发现,多看电视容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果: 冷漠 多看电视 少看电视 总计 68 20 88 不冷漠 42 38 80 总计 110 58 168

3

附表:

P(K2≥k0) k0

0.050 3.841

0.010 6.635

则认为多看电视与人冷漠有关系的把握大约为 A.99% B.97.5% C.95% D.90%

(

)

7.A 【解析】可计算得 K2= 电视与人冷漠有关. 二、填空题(每小题 5 分,共 5 分)

≈11.377>6.635,因此有 99%的把握认为多看

8.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据, 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 3 4 2.5

4

3

由其散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程 是 8.

. =-0.7x+5.25 【解析】由表中数据求得 =2.5, =3.5,代入回归系数计算公式得

=-0.7,

-b =3.5+0.7×2.5=5.25,所以其线

性回归方程为

=-0.7x+5.25.

[高考冲关] 1.(5 分)某公司为了对一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得 到如下数据: 单位 x(元) 4 5 6 7 8 9

4

销量 y(件)

90 84 83 80 75 68

由表中数据,求得线性回归方程为 右上方的概率为 A. B.

=-4x+

.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线
( )

C.

D.

1.C 【解析】由表中数据可得

=80,则

80=-4×

=106,所以线性回归方程为

=-4x+106,则样本点中在回归直线右上方的

点有(6,83),(7,80),(8,75),则概率为

.

2.(5 分) (2015·银川二中二模) 为了普及环保知识,增强环保意识,某大学从理工类专业的 A 班和文史类专业的 B 班各抽取 20 名同学参加环保知识测试.两个班同学的成绩(百分制)的茎 叶图如图所示:

按照大于或等于 80 分为优秀,80 分以下为非优秀统计成绩.以下判断正确的是 附:

(

)

P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0
3.841 6.635 10.828

A.A 班环保知识的测试成绩优于 B 班的可能性为 99% B.可以认为环保知识测试成绩的 95%由所学专业决定 C.有把握认为 A 班学生环保知识测试成绩优秀的概率为 95% D.有 95%以上的把握认为环保知识测试成绩与所学专业有关

5

2.D 【解析】由茎叶图建立 2×2 列联表,代入公式得 则有 95%以上的把握认为环保知识测试成绩与所学专业有关.

≈4.912>3.841,

3.(5 分)大学生小赵计划利用假期进行一次短期打工体验,已知小赵想去某工厂打工,老板 告知每天上班的时间(单位:小时)和工资(单位:元),如下表所示: 时间 x 工资 y 2 30 3 40 5 60 8 90 9 120 12

m

根据计算,小赵得知这段时间每天打工工资与每天工作时间满足的线性回归方程为

=11.4x+5.9,若小赵在假期内打 5 天工,工作时间(单位:小时)分别为 8,8,9,9,12,则这 5
天小赵获得工资的方差为 A.112 B.240 C.376 D.484 ),故 ( )

3.C 【解析】x 的平均值为

=6.5,而回归直线一定过点(

=11.4×6.5+5.9=80,所以

=80,故 m=140,则小赵工作 5 天的工资

的平均值为

=112,方差为 s2=

[(90-112)2×2+(120-112)2×2+(140-112)2]=376. 4.(5 分)下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;② 设有一个回归方程

=3-5x,变量 x 增加一个单位,y 平均增加 5 个单位;③回归直线

x+

必过(

);④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则有 99.9%的把握确

2

认这两个变量有关系.其中错误说法的个数是 本题可以参考独立性检验临界值表

.

P(K2≥k0) 0.5

0.40 0.25 0.15 0.10

6

k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706

P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

4.1 【解析】将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变,①正确; 设有一个回归方程

=3-5x,变量 x 增加一个单位,y 平均减少 5 个单位,②错误;回归直线

x+

必过(

),③正确;在一个 2×2 列联表中,由计算得 K =13.079,则有 99.9%的

2

把握确认这两个变量有关系,④正确. 5.(12 分)2015 年 9 月 20 日是第 27 个全国爱牙日.某区卫生部门成立了调查小组,调查“常 吃零食与患龋齿的关系”,对该区六年级 800 名学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,得 汇总数据:不常吃零食且不患龋齿的学生有 60 名,常吃零食但不患龋齿的学生有 100 名,不常 吃零食但患龋齿的学生有 140 名. (1)能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下,认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系? (2)4 名区卫生部门的工作人员随机分成两组,每组 2 人,一组负责数据收集,另一组负责数据 处理.求工作人员甲分到负责数据收集组,工作人员乙分到负责数据处理组的概率.

P(K2≥k0) 0.010 0.005 0.001 k0
6.635 7.879 10.828

附:K = 5.【解析】(1)由题意可得列联表: 不常吃零食 常吃零食 总计

2

不患龋齿 患龋齿 总计

60 140 200

100 500 600

160 640 800 7

因为 K2=

≈16.667>10.828,

所以能在犯错概率不超过 0.001 的前提下,认为该区学生常吃零食与患龋齿有关系. (2)设其他工作人员为丙和丁,4 人分组的所有情况如下表: 小组 1 2 3 4 5 6

收集数据 处理数据

甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 丙丁 乙丁 乙丙 甲丁 甲丙 甲乙

分组的情况总共有 6 种,工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据的情况有两 种, 所以工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据的概率是 P=

.

6.(13 分) (2015·银川一中期末考试) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程 中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)标准煤的几组对照数据:

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程

x+

.

(2)已知该厂技改前,100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方 程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 6.【解析】(1)由对照数据:计算得

xiyi=66.5,

=32+42+52+62=86,

=4.5,

=3.5,



=0.7,

8

=3.5-0.7×4.5 =0.35,


=0.7x+0.35.

(2)将 x=100 代入方程,得 y=100×0.7+0.35=70.35 吨, 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90-70.35=19.65(吨).

9


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