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粘性不可压流场数值模拟的无网格方法_图文

 

ISSN 100020054 清华大学学报 ( 自然科学版) 2004 年 第 44 卷 第 2 期   CN 1122223 N . 44, N o. 2 J T singhua U n iv ( Sci & T ech ) , 2004, V o l

37 38 2822285

粘性不可压流场数值模拟的无网格方法
仇 轶,  由长福,  祁海鹰,  徐旭常
( 清华大学 热能工程系, 煤的清洁燃烧国家重点实验室, 北京 100084)

摘   要: 采 用 无 网 格 伽 辽 金 法 ( elem en t free Ga lerk in m ethod, EFG ) 对二维不可压粘性流场进行了数值模拟, 主 要计算了几个经典的流体力学问题: 管道流、 绕台阶流以及 方腔驱动流。计算中采用标准的 Ga lerk in 离散, 使用规则分 割产生的背景网格来形成积分单元, 并与有限元、 有限差分 法计算所得的速度剖面图进行了比较, 结果相差很小。 更重 要的是, 与有限元法相比, 无网格虽然计算量比较大, 但是它 能够处理结点分布畸形甚至重合的情况, 从而为解决多相流 动直接数值模拟中网格重构的问题奠定基础。 关键词: 流体力学; 不可压缩粘性流体; 无网格 Ga lerk in 法
(EFG ) ; 有限元; 分步法

种 主 要 的 分 支, 诸 如 SPH [ 1 ] , R KPM [ 2 ] , D EM [ 3 ] , [4] EFG 等。 无网格方法目前主要应用于固体力学领域, 针 对大变形问题, 如冲压成型、 裂纹扩展等具有一定的 优越性[ 5 ]。 但是, 在流体力学研究领域该方法一直没 有得到很大的发展, 应用也比较少。 这主要在于目前 有限差分法以及有限元法可适用于多数流体力学问 题, 且发展得比较完善。 但是, 对于一些特殊的流体 力学问题, 如界面变化问题 [ 6 ]、 多相流动的直接数值 模拟问题, 如果采用网格法计算则需要不断地对网 格进行重构, 给计算增加了很大的负担。 对于这样的 问题, 如果采用无网格方法, 必然可以减少网格重构 的计算量, 从而有可能降低计算量。 本 文 应 用 无 网 络 Ga lerk in 法 ( elem en t free
Ga lerk in m ethod, EFG ) 于流体流动计算, 计算对象

中图分类号: O 357. 1 文章编号: 100020054 ( 2004) 0220282204

文献标识码: A

M eshless m ethod for the s i m ula t ion of v iscous, incom press ible f lows
QI U Yi, YOU C ha ngfu , Q I Ha iy ing , XU Xucha ng

( Sta te Key Labora tory of Clean Com bustion of Coa l, D epartm en t of Therma l Eng ineer ing, Tsinghua Un iversity, Be ij ing 100084, Ch ina ) Abstract: T h is p aper u ses the E lem en t F ree Galerk in (EFG) m ethod to sim u late viscou s, incom p ressib le 22 D flow s. Several classical p rob lem s in flu id m echan ics are p resen ted includ ing: flow in a p ip e, flow past a step , and flow in a square cham ber. T he con tro l equation s w ere discretized u sing standard Galerk in m ethod w ith regu lar background cells u sed fo r the quadratu re. T he flow field com p u ted u sing EFG com pared w ell w ith tho se com p u ted u sing FEM and FDM m ethod s. EFG is m o re expen sive com p u tationally than FEM , bu t it can deal w ith cases w here the nodes are poo rly d istribu ted o r even overlapped, so it can be u sed to reso lve rem esh ing p rob lem s in d irect num erical sim u lation s. Key words: flu id m echan ics; viscou s incom p ressib le flow s; elem en t free Galerk in (EFG) m ethod; fin it elem en t m ethod (FEM ) ; fract ional step m ethod

为二维不可压粘性流体。 推导了控制方程的无网格 计算方程并进行了计算。 对无网格法与有限元、 有限 差分法的计算结果进行了比较, 并分析了无网格法 和有限元法在流体力学中应用的优缺点。

1 EFG 的基本原理
以区域 8 中定义的函数 u ( x ) 为例来进行说明。 在区域 8 中, 取一组离散的结点 x I ( I = 1, 2, …, n ) , 并把与结点 I 相关联的函数值记为 u I。 大多数无网格方法的一个共同特点就是所用的 权函数具有紧支集特性, 也就是说, 它非零的子域要 比剩余的区域小很多。 与结点 x I 相关联的子域用 8 I 来表示, 通常也称为结点 x I 的影响区域。在二维 问题中, 常用的紧支子域是盘状或矩形, 如图 1 所 示。 可以看到, 子域之间有相互重叠的部分。
收稿日期: 2003206223

无网格的目的在于消除一部分或者全部的计算 网格, 而完全基于点的近似, 不需要将结点连成单 元。 该方法在以往 20 多年的发展过程中, 产生了几

基金项目: 国家自然科学基金资助项目 (10102009) 作者简介: 仇轶 (19782) , 男 ( 汉) , 湖南, 博士研究生。 通讯联系人: 由长福, 副教授, E 2 m ail: youcf@ te. tsinghua. edu. cn

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如下的权函数[ 7 ]:
ri w I (x ) =
2 2

rI + 1

1-

ri 2 rI

2

8

,

r I ≤ r i; r I > r i.

( 7)

0,

式中 r I= ‖x- x I‖, 代表 x 与 x I 的距离, r i 代表结 点 I 的影响半径。 结点 I 的影响半径 r i 应该足够小, 以减少计算 量, 同时也应该足够大, 以保证矩阵 A 可逆。在结点 均匀分布时, 可取 ( 8) ri = Α d,
图 1 二维问题中常用的紧支子域

在域 8 中, 数据 u 可拟合函数 u ( x ) :
u (x ) =

6

m T p j (x ) a j (x ) = p (x ) a (x ) ,

式中 d 根据分析类型的不同可取为积分背景网格的 最大边长或与点 x 距离最近的 4 个结点 ( 线性基) x I 中距离的最大值, Α是一个相对系数, 本文中 Α选为 1. 2≤Α ≤1. 5 即可取得较好的结果。
( 1)

j= 1

2 控制方程及离散化的实现
对于二维不可压粘性流场, 控制方程为 N 2S 方 程和质量守恒方程, 采用 Eu ler 显示格式, 可得到流 体运动方程组的时间离散方程:
ui
n+ 1

式中 p T ( x ) 是完备多项式基, 对二维域来说, 线性基 可写成 T p ( x ) = [ 1 x  y ],  m = 3, 式 ( 1) 是全局近似, 其对 a ( x ) 是系数, 它是 x 的函数。 应的局部近似为 θ) = u (x , x

= ui n+ 1 i

n

6

m

? t c j u i, j +
n n

1

θ ) a j ( x ) = p (θ p j (x x ) a ( x ).
T

( 2)

Θ

p,i

n+ 1

n (u n - Μ f i, j + u j , i ) , j -

, ( 9)

j= 1

  为确定 a ( x ) , 在局部范围内构造带权重的 L 2 范数 J ( x ) , 并使 J ( x ) 取得最小值
J (x ) =

u
[8]

n+ 1 i, j

= 0.

6

n

w (x -

x I ) [ u (x , x I ) -

uI ] =

2

I T x I ) [ p ( x I) a ( x ) -

6

n

w (x -

u I ]2 ,

( 3)

  采用分步方法 , 构造方程组 ( 9) 的分步格式, + 1 ζn 引入中间速度 u , 它满足略去该时间步压力项后 i 的动量离散方程 n+ 1 n n n n n+ 1 ζ (u n u i = u i - ? t [ c j u i, j - Μ f i ], i, j + u j , i ) , j ζ 不满足连续方程。 其中 u 用式 ( 9) 减去式 ( 10) , 得
n+ 1 i

I

( 10)

式中: x I 是 x 周围的结点, 共有 n 个, 称为 x 的插值 域内的点, 这 n 个结点不必连成单元。w ( x - x I) 是 权函数, 对插值域外的 x I, w ( x- x I) = 0, 对插值域 内的 x I, w ( x- x I) ≠0。u I 是 u 在 x I 处的值。 9J ( x ) 由 ( ) = 0 时, J ( x ) 最小, 可得 9a x ( 4) A ( x ) a ( x ) - B ( x ) u = 0, T T 式中 A ( x ) = P W ( x ) P , B ( x ) = P W ( x ) 。由此解出 ( 当 A - 1 ( x ) 存在时)
a (x ) = A
- 1

( x ) B ( x ) u.

( 5)

? t n+ 1 ( 11) p . Θ ,i   对上式两端取散度, 并代入连续方程 ( 9b ) , 可 得到压力 Po isson 方程 Θζn+ 1 n+ 1 ( 12) p , ii = u . ? t i, i n+ 1 n+ 1   由式 ( 10) 求出 ζ , 再由 u i 后由式 ( 12) 求出 p n+ 1 式 ( 11) 求出 u i 。这种分步法是一种迭代分离求解
ui
n+ 1

ζi = u

n+ 1

-

  每个局部近似式 ( 2) 中的 a ( x ) 都对全局近似式 ( 1) 有贡献, 将式 ( 5) 代入式 ( 1) 中有
T - 1 u ( x ) = P ( x ) A ( x ) B ( x ) u.

( 6)

  而权函数的选取对无网格法的计算精度有很大 的影响, 其应遵循的原则有: 满足非负性; 在点的 近处大, 远处小; 连续可导。在本文的计算中选用了

方法, 它把速度和压力的求解变为显式格式。 对式 ( 10) 、 ( 11) 、 ( 12 ) 采用标准的 Ga lerk in 法 离散, 并采用规则分割产生的背景网格来形成积分 单元, 可得到无网格的计算方程。

3 计算结果及讨论
本文采用 EFG 法对流体力学中的几个经典问

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清 华 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版)

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题进行了二维模拟, 并将计算结果与有限元和有限 差分法的结果进行了对比。 算例 1: 管道流。 管道长 1m , 宽 0. 5m 。空气参 3 数为 Θ = 1. 21 kg m , Μ = 14. 9×10- 6 m 2 s, 入口流 速为 V = 1. 0mm s。在求解域中均匀分布 101 ×51 的网格结点, 在有限元计算中, 需要将这些结点连成 单元, 本文采用的是三角形单元。 在无网格方法计算 中, 则不必将这些结点连成单元, 而完全基于点的 近似。 本文取 x = 0. 5m 为参考线, 比较了分别用有限 差分、 有限元和无网格法计算得出的在该线上 x 方 向的速度分布曲线, 如图 2 所示。 可以看到, 在这三 种方法当中, 有限元和无网格计算的结果相差很小 ( 图中, 有限元和无网格的曲线几乎完全重合) , 与差 分法的计算结果也相当接近。

图 4 绕台阶流 x = 2. 5m 处, u x 分布曲线

图。 如图 5 所示, 有限元和无网格法计算的结果仍然 十分接近, 但与有限差分的计算结果存在一个较小 的差距。

图 5 方腔驱动流 x = 0. 25m 处, u x 分布曲线 图 2 管道流 x = 0. 5m 处, u x 分布曲线

算例 2: 绕台阶流。 整个流场的计算域如图 3 所 示。空气参数、 入口流速同例 1。在计算域中均匀分 布 10 301 个结点。图 3 给出了计算速度矢量图的分 布情况, 可以看出: 台阶后面出现漩涡流动。

为了减少计算量, 本文采用了集中质量矩阵的 办法计算流体速度, 从而损失了一部分计算精度, 使 得在插值方式相同的情况下, 无网格方法和有限元 方法精度基本相当。 与有限元法相比, 无网格方法不 足之处在于其计算量大。 在结点数一样的情况下, 无 网格计算所需时间大约是有限元方法的 5 ~ 10 倍, 这是阻碍无网格方法发展的一个重要缺点。 然而, 在有限元法中, 一旦计算域中的网格结点 确定下来, 并且插值方式保持不变的话, 是没有办法 改善计算精度的, 除非在计算域中添加结点。 而由于 有限元法受到单元的限制, 如果在计算域中加入结 点, 那么需要进行部分或者全部的单元重构, 这势必 在编程和计算量上带来一定的麻烦。 而在无网格方法中, 要想提高计算精度, 并不一 定需要在计算域中添加结点。 在流动密集的区域适 当增加背景积分网格的数目、 增大结点紧支域覆盖 面积都可以实现提高精度这一目的。 而如果在流动 变化剧烈的区域添加一部分结点, 无网格法甚至可 以对程序不作任何改动就进行计算, 这与有限元法 相比是其很大的优点。

图 3 绕台阶流速度矢量图

取 x = 2. 5 m 为参考线, 可分别画出用有限差 分、 有限元和无网格法计算所得的 x 方向速度分布 图。 如图 4 所示, 有限元和无网格法计算的结果也非 常接近。 算例 3: 方腔驱动流。 取方腔尺寸为 0. 5 m × 0. 5m 。空气参数同例 1, 取雷诺数 R e = 400。在方 腔中均匀分布 51×51 个结点。 取 x = 0. 25m 为参考线, 可分别画出用有限差 分、 有限元和无网格法计算所得的 x 方向速度分布

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更加值得一提的是, 当计算域中结点分布不够 合理时, 用有限元对这些结点进行三角化可能产生 一些畸形的网格。 如果不对这些网格进行处理的话, 那么用有限元计算将带来很大的问题。

结点重合的情况, 不需要删除多余的结点。 而在有限 元法中则必须进行删除结点的操作。

4 结 论
本文通过对无网格法和有限元法做比较, 结果 表明: 无网格法和有限元法在插值方式相同的时 候, 计算精度相当, 而无网格法更加耗时; 在结点数 不变的情况下, 无网格法能够调节计算精度, 有限元 法则不行; 在计算过程中添加结点时, 有限元法需 要进行部分或全部网格重构, 无网格则不需要; 在 处理结点分布畸形甚至重合的情况下, 无网格法有 着极强的适应性。 因此, 无网格作为一种数值计算方 法, 虽然有着计算量大的缺点, 但是由于它的上述优 点, 使其在处理很多复杂的流动问题 ( 如气固两相流 动的直接模拟、 界面流动问题等) 中前景非常广阔。

图 6 有限元计算中的畸形网格

如图 6 所示, 由于在计算域中结点分布的密度 变化太大, 形成了畸形网格。 本文发现, 由于出现了 这类网格, 用有限元计算结果很快就发散了, 必须采 用更小的时间步长才能保证计算收敛。 在同样的结点分布情况下, 本文又考察了用无 网格法计算的结果, 发现通过在计算域中结点密度 变化过大的区域加密背景积分网格和增大结点影响 域半径, 可有效地消除这种由于结点分布畸形所带 来的数值上的不稳定性。 并且, 本文发现通过采取这 些措施之后, 不需要减少时间步长也能保证收敛, 这 可以有效地减少计算时间。 如图 7 所示, 在管道流的 计算中某个结点附近出现了 4 个畸形分布的结点 ( 与结点距离过近, 使该点附近结点密度过大) , 计算 结果表明通过采取上述的措施, 这种畸形的结点分 布并没有对计算造成很大的影响。
[6]

参考文献   ( References)
[ 1 ] L ucy L B. A num erical app roach to the testing of the fission hypo thesis [J ]. T he A stron J , 1977, 8: 1013 1024. [ 2 ] L iu W K, J un S, Zhang Y F. R ep roducing Kernel particle m ethods [J ]. I n t J N um er M ethod s E ng , 1995, 20: 1081 1106. [ 3 ] N ayro les B , Touzo t G, V illon P. [J ]. C om p u t M ech , 1992, 10: 307 Generalizing the fin ite 318. elem en t m ethod: D iffu se app rox im ation and diffu se elem en ts [ 4 ] B elyt schko T , Gu L , L iu Y Y. F ractu re and crack g row th by elem en t 2free Galerk in m ethods [J ]. M od el S im u l M aster S ci
E ng , 1994, 2: 519

534.

[5]

宋康祖, 陆明万, 张雄. 固体力学中的无网格方法 [J ]. 力学 进展, 2000, 30: 55 65.
SON G Kangzu, LU M ingw an, ZHAN G X iong. M esh less m ethod fo r so lid m echan ics [J ]. A d vances in M echan ics, 2000, 30: 55 65. ( in Ch inese)

刘全, 水鸿寿, 张晓轶. 数值模拟界面流方法进展 [J ]. 力学 进展, 2002, 32 (2) : 259 274.
LI U Q uan, SHU I Hong shou, ZHAN G X iaoyi . A dvances in num erical si m u lation of in terfacial free2su rface f low s [J ].
A d vances in M echan ics,

2002,

32 (2) :

259

274.

( in Ch inese) [7]

骆少明, 蔡永昌, 张湘伟. 面向对象的无网格伽辽金法 [J ]. 机械工程学报, 2000, 36 (10) : 23 26.
LU O Shaom ing, CA I Yongchang, ZHAN G X iangw ei . O b ject 2 o rien ted elem en t free Galerk in m ethod [J ]. C h inese J
M ech E ng , 2000, 36 (10) : 23

26. ( in Ch inese)

[8]

江春波, 邢秀英, 张庆海. 用分步有限元法求解三维不可压 缩流动 [J ]. 清华大学学报 ( 自然科学版) , 2000, 40 (8) : 110
113. JI AN G Chunbo, XI NG X iuying, ZHAN G Q inghai .

图 7 有畸形分布的结点时, 无网格的计算结果

更深入的, 本文又以管道流为例, 研究了有结点 重合的情况。 计算表明, 无网格方法完全可以处理有

F ract ional step fin ite elem en t m ethod fo r th ree2d i m en sional incom p ressib le flow s [J ]. J T sing hua U n iv (S ci & T ech ) , 2000, 40 (8) : 110 113. ( in Ch inese)

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