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2010全国高中数学联赛试题及答案

2010 年全国高中数学联合竞赛一试试卷

(考试时间:10 月 17 日上午 8∶00—9∶20)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.

1.函数 f ? x? ? x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是



? ? 2.已知函数 y ? a cos2 x ?3 sin x 的最小值为 ?3 ,则实数 a 的取值范围是



3.双曲线 x2 ? y2 ? 1的右半支与直线 x ?100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐

标均为整数的点)的个数是



4.已知?an? 是公差不为 0 的等差数列,?bn? 是等比数列,其中 a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,

3a5 ? b3 , 且 存 在 常 数 ? , ? 使 得 对 每 一 个 正 整 数 n 都 有 an ? log? bn ? ? , 则

??? ?



5.函数 f ? x? ? a2x ? 3ax ? 2 ( a ? 0 , a ?1)在区间 x ???1,1? 上的最大值为 8,则它在

这个区间上的最小值是



6.两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则

轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是



7.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的 9 条棱长都相等,P 是 CC1 的中点,二面角 B ? A1P ? B1 ? ? ,

则 sin? ?



8.方程 x ? y ? z ? 2010 满足 x ? y ? z 的正整数解( x , y , z )的个数是



二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.

9.(本小题满分 16 分)已知函数 f ? x? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ( a ? 0 ),当 0 ? x ?1时,

f '? x? ? 1,试求 a 的最大值.

10.(本小题满分 20 分)已知抛物线 y2 ? 6x 上的两个动点 A ( x1 , y1 )和 B ( x2 , y2 ),

其中 x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大
值.

11.(本小题满分 20 分)证明:方程 2x3 ? 5x ? 2 ? 0 恰有一个实数根 r ,且存在唯一的严

? ? 格递增正整数数列

an

,使得 2 ? r a1 ? r a2 ? r a3 ? 5



1

解答

1. [?3, 3] 提示:易知 f (x) 的定义域是 ?5,8?,且 f (x) 在 ?5,8?上是增函数,从而

可知 f (x) 的值域为[?3, 3] . 2. ? 3 ? a ? 12 提示:令 sin x ? t ,则原函数化为 g(t) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即 2 g(t) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .

由 ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , ? at(t 2 ?1) ? 3(t ?1) ? 0 , (t ?1)(?at(t ?1) ? 3) ? 0 及

t ?1 ? 0 知 ? at(t ?1) ? 3 ? 0 即

a(t 2 ? t) ? ?3.

(1)

当 t ? 0,?1 时(1)总成立;

对 0 ? t ? 1,0 ? t 2 ? t ? 2 ;对 ?1 ? t ? 0,? 1 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? 3 ? a ? 12 .

4

2

3. 9800 提示:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k(k ? 1,2,?,99) 与

双曲线右半支于 Ak ,交直线 x ? 100于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而 在 x 轴上方区域内部整点的个数为
99
? (99 ? k) ? 99? 49 ? 4851 .
k ?1
又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为 2? 4851? 98 ? 9800. 4. 3 3 ? 3 提示 :设{an } 的公差为 d,{bn} 的公比为 q ,则

3 ? d ? q,

(1)

3(3 ? 4d ) ? q 2 , (2)

(1)代入(2)得 9 ?12d ? d 2 ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 .

从 而 有 3 ? 6(n ? 1) ? l o?g9n?1 ? ? 对 一 切 正 整 数 n 都 成 立 , 即 6n ? 3 ? (n ?1) log? 9 ? ? 对一切正整数 n 都成立.
从而
log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? ,
2

求得 ? ? 3 3, ? ? 3 ,? ? ? ? 3 3 ? 3.

5. ? 1 4
递增的.

提示:令 a x ? y, 则原函数化为 g( y) ? y 2 ? 3y ? 2 , g( y) 在 (? 3 ,+?) 上是 2

当 0 ? a ? 1时, y ?[a, a ?1 ] ,

所以

g( y)max

?

a?2

? 3a?1

?

2

?

8?

a?1

?

2

?

a

?

1 2



g( y)min

?

(1)2 2

?

3?

1 2

?

2

?

?

1 4



当 a ? 1 时, y ?[a ?1, a] ,

g( y)max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,

所以

g( y)min

?

2?2

? 3? 2?1

?2

?

?1. 4

综上 f (x) 在 x ?[?1,1]上的最小值为 ? 1 . 4

6. 12 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为 21 ? 7 ,从而先投掷人的

17

36 12

获胜概率为

7 ? ( 5 )2 ? 7 ? ( 5 )4 ? 7 ? ? ? 7 ? 1 ? 12 .

12 12 12 12 12

12 1? 25 17

144

7. 10 提示:解法一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点,OC 4
所在直线为 y 轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则

B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0, 3,1) ,从而,

BA1 ? (?2,0,2),BP ? (?1, 3,1),B1A1 ? (?2,0,0),B1P ? (?1, 3,?1) .

设分别与平面 BA1P 、平面 B1 A1P 垂直的向量

z

A1

是 m ? (x1, y1, z1) 、 n ? (x2 , y2 , z2 ) ,则

??m ? ?

BA1

?

?2x1

?

2z1

?

0,

??m ? BP ? ?x1 ? 3y1 ? z1 ? 0,

B1 A

O

B 3
x

C1 P

C

y

??n ?

?

B1

A1

?

?2x2

?

0,

??n ? B1P ? ?x2 ? 3y2 ? z2 ? 0,

由此可设 m ? (1,0,1),n ? (0,1, 3) ,所以 m ? n ? m ? n cos? ,即

3 ? 2 ? 2 cos? ? cos? ? 6 . 4

所以 sin ? ? 10 . 4

A1 解法二:如图, PC ? PC1, PA1 ? PB .

设 A1B 与 AB1 交 于 点 O,



C1 E

OA1 ? OB,OA ? OB1, A1B ? AB1 .

B1 O

因为 PA ? PB1,所以 PO ? AB1, 从 而 AB1 ? 平

P A

面 PA1B .

C

过 O 在平面 PA1B 上作 OE ? A1P ,垂足为 E .

B

连 结 B1E , 则 ?B1EO 为 二 面 角 B ? A1P ? B1 的 平 面 角 . 设 AA1 ? 2 , 则 易 求 得

PB ? PA1 ? 5, A1O ? B1O ? 2, PO ? 3 .

在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1P ? OE ,即

2 ? 3 ? 5 ? OE,?OE ? 6 . 5

又 B1O ?

2,? B1E ?

B1O 2 ? OE 2 ?

2?6 ? 4 5 . 55

s in ?

? sin ?B1EO ?

B1O B1 E

?

4

2 5

?

10 . 4

5

8. 336675 提 示 : 首 先 易 知 x ? y ? z ? 2010 的 正 整 数 解 的 个 数 为

C2 2009

?

2009

?1004

.

把 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类: (1) x, y, z 均相等的正整数解的个数显然为 1;

4

(2) x, y, z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003;
(3)设 x, y, z 两两均不相等的正整数解为 k .
易知
1? 3?1003? 6k ? 2009?1004,
所以
6k ? 2009?1004? 3?1003?1 ? 2006?1005? 2009? 3? 2 ?1 ? 2006?1005? 2004,

k ? 1003?335? 334 ? 335671. 从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为
1?1003? 335671? 336675.

9. 解法一: 所以

? f ?(0) ? c,

f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx ? c, 由

?? ? ?

f

?( 1 ) 2

?

3 4

a

?

b

?

c,



?? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c

3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?(1) . 2

3 a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?(1) 2

? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?(1) ? 8 , 2

所以 a ? 8 . 又易知当 f (x) ? 8 x3 ? 4x2 ? x ? m( m 为常数)满足题设条件,所以 a

3

3

最大值为 8 . 3

解 法 二 : f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx ? c . 设 g(x) ? f ?(x) ?1 , 则 当 0 ? x ? 1 时 ,

0 ? g(x) ? 2 .

设 z ? 2x ?1,则 x ? z ?1,?1 ? z ? 1. 2

h(z) ? g( z ?1) ? 3a z 2 ? 3a ? 2b z ? 3a ? b ? c ?1.

24

2

4

容 易 知 道 当 ?1 ? z ? 1 时 , 0 ? h(z) ? 2,0 ? h(?z) ? 2 . 从 而 当 ?1 ? z ? 1 时 ,

0 ? h(z) ? h(?z) ? 2 , 即 2

5

0 ? 3a z 2 ? 3a ? b ? c ?1 ? 2 ,

4

4

从而 3a ? b ? c ? 1 ? 0 , 3a z 2 ? 2 ,由 0 ? z 2 ? 1知 a ? 8 .

4

4

3

又易知当 f (x) ? 8 x3 ? 4x2 ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 8 .

3

3

10. 解法一:设线段 AB 的中点为 M (x0 , y0 ) ,则

x0

?

x1

? x2 2

?

2, y0

?

y1

? 2

y2



k AB ?

y2 ? y1 x2 ? x1

?

y2 ? y1

y

2 2

?

y12

?

6 y2 ? y1

?

3 y0

.

66

线段 AB 的垂直平分线的方程是

y

?

y0

?

?

y0 3

(x

?

2) .

(1)

易知 x ? 5, y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,

且点 C 坐标为 (5,0) .

由(1)知直线 AB 的方程为 y ?

y0

?

3 y0

(x ? 2) ,即

x

?

y0 3

(y ?

y0 ) ? 2.

(2)

(2)代入 y 2 ? 6x 得 y 2 ? 2 y0 ( y ? y0 ) ? 12 ,即

y 2 ? 2 y0 y ? 2 y02 ? 12 ? 0 .

(3)

依题意, y1, y2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y2 ,所以

? ? 4 y02 ? 4(2 y02 ?12) ? ?4 y02 ? 48 ? 0 ,

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .

AB ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

?

(1

?

(

y0 3

)2

)(

y1

?

y2

)2

y A
B

O

C(5,0)

x

6

?

(1 ?

y02 9

)[(y1

?

y2 )2

?

4 y1 y2 ]

?

(1 ?

y 02 9

)(4 y02

? 4(2 y02

? 12))

?2 3

(9

?

y

2 0

)(12

?

y02

)

.

定点 C(5,0) 到线段 AB 的距离

h ? CM ? (5 ? 2)2 ? (0 ? y0 )2 ? 9 ? y02 .

S ?ABC

?

1 2

AB

?h

?

1 3

(9 ? y02 )(12 ? y02 ) ?

9 ? y02

?1 3

1 2

(9

?

y02

)(24

?

2

y

2 0

)(9

?

y

2 0

)

?1

1

9 (

?

y02

?

24 ?

2 y02

?

9?

y02

)3

32

3

? 14 7 . 3









9?

y

2 0

?

24

? 2 y02





y0 ? ? 5

,

A(6 ? 35 , 5 ? 7), B(6 ? 35 , 5 ? 7)

3

3



A(6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B(6 ? 35 , ? 5 ? 7) 时等号成立.

3

3

所以, ?ABC面积的最大值为 14 7 . 3
解法二:同解法一,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点 C 坐标为

(5,0) .

5

设 x1

? t12 , x2

?

t

2 2

,

t1

? t2 , t12

?

t

2 2

?

4 ,则 S ?ABC?

1 2

t12

t

2 2

S2 ?ABC

?

(1 (5 2

6t1 ?

6t12t2 ?

?

3 2

(t 1

?

t2 )2 (t1t2

?

5) 2

6t1t

2 2

?

5

6t2 ))2

01 6t1 1 的绝对值, 6t2 1

7

?

3 2

(4

?

2t1t2 )(t1t2

?

5)(t1t2

?

5)

? 3 (14)3 , 23

所以

S ?ABC

? 14 3

7,

当且仅当

(t1

? t2)2

? t1t2

?5且

t12

?

t

2 2

?

4

,即

t1

?

7? 5, 6

t2 ? ?

7 ? 5 , A(6 ? 35 ,

6

3

5?

7), B(6 ? 35 , 3

5?

7) 或

A(6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B(6 ? 35 , ? 5 ? 7) 时等号成立.

3

3

所以, ?ABC面积的最大值是 14 7 . 3
11.令 f (x) ? 2x3 ? 5x ? 2 ,则 f ?(x) ? 6x2 ? 5 ? 0 ,所以 f (x) 是严格递增的.又

f (0) ? ?2 ? 0, f (1) ? 3 ? 0 ,故 f (x) 有唯一实数根 r ? (0, 1) .

24

2

所以 2r3 ? 5r ? 2 ? 0 ,

2 ? r ? r ? r4 ? r7 ? r10 ? . 5 1? r3 故数列 an ? 3n ? 2(n ? 1,2,?) 是满足题设要求的数列.

若存在两个不同的正整数数列 a1 ? a2 ? ? ? an ? ?和 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?满足
r a1 ? r a2 ? r a3 ? ? ? r b1 ? r b2 ? r b3 ? ? ? 2 , 5
去掉上面等式两边相同的项,有
r s1 ? r s2 ? r s3 ? ? ? r t1 ? r t2 ? r t3 ? ?,

这里 s1 ?s 2 ?s3 ? ?, t1 ? t2 ? t3 ? ? ,所有的 si 与 t j 都是不同的.

不妨设 s1 ? t1 ,则

r s1 ? r s1 ? r s2 ? ? ? r t1 ? r t2 ? ?,

1 ? r t1 ?s1 ? r t2 ?s1 ? ? ? r ? r 2 ? ? ? 1 ?1 ? 1 ?1 ? 1 ,

1? r

1? 1

2

矛盾.故满足题设的数列是唯一的.

8

2010 年全国高中数学联合竞赛加试试卷(A 卷)
(考试时间:10 月 17 日上午 9∶40—12∶10)
一、(本题满分 40 分)如图,锐角三角形 ABC 的外心为 O ,K 是边 BC 上一点(不是边 BC 的中点), D 是线段 AK 延长线上一点,直线 BD 与 AC 交于点 N ,直线 CD 与 AB 交于点 M .求证:若 OK ? MN ,则 A , B , D , C 四点共圆.
A

O

B M

K

C

D N

二、(本题满分 40 分)设 k 是给定的正整数, r

?k

?

1 .记 2

f

?1? ?r? ?

f

?r? ? r ??r?? ,

? ? f ?l? ?r ? ? f f ?l?1? ?r ? ,l ? 2 .证明:存在正整数 m ,使得 f ?m? ?r? 为一个整数.这里 ??x??

表示不小于实数

x

的最小整数,例如:

? ??

1 2

? ??

?

1,

??1??

?

1.

三、(本题满分 50 分)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a1 ,a2 ,…,an 满足 ak ? 1,k ?1,2 ,…,

? ? n

,记

Ak

?

a1

? a2

? k

? ak

, k ?1, 2 ,…, n .求证:

n

n

ak ? Ak

k ?1

k ?1

? n ?1 . 2

四、(本题满分 50 分)一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A1A2 An 的每个顶点处赋值 0
和 1 两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶 点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?

9

解答

1. 用反证法.若 A,B,D,C 不四点共圆,设三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E,连接 BE 并延长交直线 AN 于点 Q,连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P,连接 PQ.

因为 PK 2 ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)

? ? ? ? ? PO2 ? r2 ? KO2 ? r2 ,

B

同理 所以

P
? ? ? ? QK 2 ? QO2 ? r2 ? KO2 ? r2 ,
M
PO2 ? PK 2 ? QO2 ? QK 2 ,

A

O
EK D

C Q N

故 OK ⊥ PQ . 由题设,OK⊥MN,所以 PQ∥MN,于是

AQ ? AP .



QN PM

由梅内劳斯(Menelaus)定理,得

NB ? DE ? AQ ? 1,



BD EA QN

MC ? DE ? AP ? 1.



CD EA PM

由 ① , ② , ③ 可 得 N B ? MC, 所 以 N D ? MD, 故 △DMN ∽ △DCB , 于 是

BD CD

BD DC

?DMN ? ?DCB ,所以 BC∥MN,故 OK⊥BC,即 K 为 BC 的中点,矛盾!从而 A, B, D,C

四点共圆.

注 1:“ PK 2 ? P 的幂(关于⊙O) ? K 的幂(关于⊙O)”的证明:延长 PK 至点 F,使


PK ? KF ? AK ? KE ,
则 P,E,F,A 四点共圆,故
?PFE ? ?PAE ? ?BCE ,
从而 E,C,F,K 四点共圆,于是
PK ? PF ? PE ? PC ,
⑤ ⑤-④,得


A

PK 2 ? PE ? PC ? AK ? KE ? P 的幂(关于⊙O) ? K
的幂(关于⊙O).
10

B P

O F
EK D

C Q

N M

注 2:若点 E 在线段 AD 的延长线上,完全类似.

2. 记 v2 (n) 表示正整数 n 所含的 2 的幂次.则当 m ? v2 (k) ?1 时, f (m) (r) 为整数.

下面我们对 v2 (k ) ? v 用数学归纳法. 当 v ? 0 时,k 为奇数, k ?1 为偶数,此时

为整数.

f

(r)

?

? ??

k

?

1 2

? ??

???k

?

1 2

? ??

?

? ??

k

?

1 2

? ??

?

k

? 1?

假设命题对 v ?1(v ? 1) 成立.

对于 v ?1,设 k 的二进制表示具有形式 k ? 2v ? ?v?1 ? 2v?1 ? ?v?2 ? 2v?2 ? ,

这里,?i ? 0 或者 1, i ? v ?1, v ? 2, .
于是

f

(

r)?

? ??

k?1 2

?? ????

k?12??

?

????

k

?1 2?

???

k 1??

这里

? 1 ? k ?k2 ?k 22

?

1 2

?

2v?1

?

(?v?1

?1) ? 2v

?

(?v?1

? ?v?2 ) ? 2v?1

?

? k?? 1 , 2

? 22v ?


k? ? 2v?1 ? (?v?1 ?1) ? 2v ? (?v?1 ? ?v?2 ) ? 2v?1 ? ? 22v ? . 显然 k? 中所含的 2 的幂次为 v ?1.故由归纳假设知,r? ? k? ? 1 经过 f 的 v 次迭代得到
2

11

整数,由①知, f (v?1) (r) 是一个整数,这就完成了归纳证明.

k

n

? ? 3. 由 0 ? ak ? 1知,对1 ? k ?n ?1 ,有 0 ? ai ? k, 0 ? ai ? n ? k .

i ?1

i?k ?1

注意到当 x, y ? 0 时,有 x ? y ? max?x, y?,于是对1 ? k ?n ?1 ,有

? ? An ? Ak

?

? ??

1 n

?

1 k

? ??

k i?1

ai

?

1 n

n
ai
i?k ?1

? ? ?

1 n

n i?k ?1

ai

?

? ??

1 k

?

1 n

? ??

k i ?1

ai

? ? ?

max

? ? ?

1 n

n i?k ?1

ai

,

? ??

1 k

?

1 n

? ??

k i?1

? ai ?
?

?

max

?1 ?? n

(n ? k),

? ??

1 k

?

1 n

? ??

k

? ? ?

?1? k , n

n

n

n



? ? ? ak ? Ak ? nAn ? Ak

k ?1

k ?1

k ?1

n?1

n?1

? ? ? ? An ? Ak ? ? An ? Ak

k ?1

k ?1

? ?

n k

?1 ?1

???1

?

k n

? ??

?

n ?1 . 2

4. 对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所 在的边上标上 a,如果颜色不同,则标上 b,如果数字和颜色都相同,则标上 c.于是对于

给定的点 A1 上的设置(共有 4 种),按照边上的字母可以依次确定点 A2 , A3, , An 上的设

置.为了使得最终回到 A1 时的设置与初始时相同,标有 a 和 b 的边都是偶数条.所以这种
密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记 a,b,c,使得标有 a 和 b 的边都是偶 数条的方法数的 4 倍.

设标有 a 的边有 2i 条,0 ? i ?

? ??

n 2

? ??

,标有

b

的边有

2

j 条,0 ?

j

?

? ??

n

? 2i 2

? ??

.选取

2

i

条边标记

a

的有 Cn2i

种方法,在余下的边中取出

2

j

条边标记

b

的有

C2 j n?2i

种方法,其余的边

标记

c.由乘法原理,此时共有 Cn2i

C2 j n?2i

种标记方法.对

i,j 求和,密码锁的所有不同的密

12

码设置方法数为

? ? ?n?
?? 2 ??
4

?

? ?

Cn2i

?n?2i ? ?? 2 ??

C2 j n?2i

? ?
?





i?0 ??

j?0

??

这里我们约定 C00 ? 1 .

当 n 为奇数时, n ? 2i ? 0 ,此时

?n?2i ?

?? 2 ??

? C2j n?2i

?

2n?2i?1 .



j?0

代入①式中,得

? ? ? ? ? ? ? ? ?n?
?? 2 ??
4

?

? ?

Cn2i

?n?2i ? ?? 2 ??

C2 j n?2i

? ?
?

?

?n? ?? 2 ??
4

?n?

?? 2 ??

C 2 2i n?2i?1 n

?2

Cn2i 2n?2i

i?0 ??

j?0

??

i?0

i?0

n

n

? ? ? Cnk 2n?k ? Cnk 2n?k (?1)k ? (2 ?1)n ? (2 ?1)n

k ?0

k ?0

? 3n ?1.

当 n 为偶数时,若 i ? n ,则②式仍然成立;若 i ? n ,则正 n 边形的所有边都标记 a,

2

2

此时只有一种标记方法.于是,当 n 为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为

? ? ? ? ? ?n?
?? 2 ??
4

?

? ?

Cn2i

?n?2i ? ?? 2 ??

C2 j n?2i

? ?
?

?

4

?

? ??1

?

? ??

n 2

? ??

?1

?

C 2 2i n?2i?1 n

? ?

i?0 ??

j?0

??

??

i?0

??

?n?

?? 2 ??

?? ? ? 2 ? 4

C 2 2i n?2i?1 n

? 3n ? 3 .

i?0

综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当 n 为奇数时有 3n ?1 种;

当 n 为偶数时有 3n ? 3 种.

13


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