当前位置:首页 >> 数学 >>

2014-高考数学-等差数列-前n项和的性质


?若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq

特别地,若 m+n=2p,则 am+an=2ap
)

2.若一个等差数列{an}的前 3 项和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有( A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 解:a1+a2+a3+an-2+an-1+an=34+146=180, 所以 3(a1+an)=180,即 a1+an=60. n(a1+an) 由 Sn=390,知 =390, 2 n×60 所以 =390,解得 n=13.故选 A. 2 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S9=72,则 a2+a4+a9=________. 解:由等差数列的性质 S9=9a5=72,a5=8,a2+a4+a9=a1+a5+a9=3a5=24,故填 24. ?连续 2k-1 个(奇数)项,中间项是平均值,中项。 4.等差数列{an}中,a2+a7+a12=24,求 S13=___ 解:∵a2+a12=a1+a13=2a7,又 a2+a7+a12=24,∴a7=8. 13(a1+a13) ∴S13= =13×8=104. 2 1 5.等差数列{an}的公差 d= ,且 S100=145,求 a1+a3+a5+…+a99=__ 2 解:∵S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100) =2(a1+a3+…+a99)+50d=145, 1 又 d= ,∴a1+a3+…+a99=60 2 ?已知整体求部分,隐含部分与部分的关系。 ?已知 Sn,求 an 思路:求 a1→n≥2 时,求 an=Sn-Sn-1→n=1 时验证 an→结论 3 205 6.已知下列各数列{an}的前 n 项和 Sn=- n2+ n ,求{an}的通项公式. 2 2 答案:an=-3n+104(n∈N*). 7.已知下列各数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-2,求{an}的通项公式.
?1(n=1) - 答案:an=? 3n 1(n≥2) ?2·

8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-3n+1,求通项公式 an;
?-1(n=1) 答案:an=? ?2n-4(n≥2)

9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=(-1)n+1· n,求通项公式 an. 解:当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1) =(-1)n(-2n+1), 由于 a1 也符合此等式,因此 an=(-1)n(-2n+1)(n∈N*).

n(n-1) n(a1+an) Sn=na1+ d 2 2 其中 Sn 是关于 n 的无常数项的二次函数 ?{an}是等差数列:Sn=

d d Sn== n2+(a1- )n. 2 2

10.数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2+n(n∈N*),则数列{an}为( ) A.首项为 1,公差为 2 的等差数列 B.首项为 3,公差为 2 的等差数列 C.首项为 3,公差为 4 的等差数列 D.首项为 5,公差为 3 的等差数列 答案:C 11.一个等差数列的前 10 项之和为 100,前 100 项之和为 10,求前 110 项之和. 解 2:二:设 Sn=an2+bn,∵S10=100,S100=10,
1

?102a+10b=100 ∴? ? 2 ?100 a+100b=10

11 ?a=-100 ? 111 , ?b= 10

11 2 111 ∴Sn=- n + n, 100 10 11 111 ∴S110=- ×1102+ ×110=-110. 100 10 解 3:数列 S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100 成等差数列.设其公差为 D,前 10 项的和 10×9 10S10+ · D=S100=10?D=-22, 2 ∴S110-S100=S10+(11-1)D=100+10×(-22)=-120, ∴S110=-120+S100=-110. 解 4:∵S100-S10=a11+a12+…+a100 = 90(a11+a100) 90(a1+a110) = . 2 2

又 S100-S10=10-100=-90, ∴a1+a110=-2, 110?a1+a110? ∴S110= =-110. 2 解 5:设数列{an}的公差为 d. n(n-1) Sn d 由于 Sn=na1+ d,则 =a1+ (n-1). 2 n 2
?Sn? d ∴数列? n ?是等差数列,公差为 . 2 ? ?



S100 S10 d S110 S100 d - =(100-10) ,且 - =(110-100) , 100 10 2 110 100 2

将已知数值代入上式,消去 d,可得 S110=-110. [题后感悟]本题解法较为灵活,方法一、二建立方程(组)计算属于通性通法.方法三、四、五直接应用性质简捷 明快,起到事半功倍的效果.

?Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,……成等差
12.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则 S6 等于( A.12 B.18 C.24 D.42 )

解:S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列,即 2,8,S6-10 成等差数列,S6=24. 13.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm=1,S3m=4,试求 S6m. 解:∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m…成公差为 d 的等差数列 ∴设 S2m-Sm=x,则 S3m-S2m=2x-1 4 ∴1+x+(2x-1)=4,解得 x= , 3 4 1 ∴所以该数列的公差 d= -1= . 3 3

2

1 S6m 相当于以 Sm=1 为首项,d= 的数列的前 6 项的和. 3 6×5 1 S6m=6×1+ × =11. 2 3 14.已知数列{an}为等差数列,其前 12 项和 354,在前 12 项中,偶数项之和与奇数项之和的比为 32∶27, 求这个数列的通项公式. 解 1:由等差数列的性质可知奇数项 a1,a3,a5,…,a11 与偶数项 a2,a4,a6,…,a12 仍然成等差数列, 设{an}的首项为 a1,公差为 d,则 6×5 S 偶=a2×6+ ×2d=6a1+36d, 2 6×5 S 奇=a1×6+ ×2d=6a1+30d, 2

? ?12a1+66d=354 ?a1=2 ∴?6a1+36d 32 解得? ?d=5 ?6a1+30d=27 ?
∴an=a1+(n-1)d=5n-3 解 2:设奇数项与偶数项的和分别为 S 奇,S 偶,

? ?S偶+S奇=354 ∴?S偶 32 = ? ?S奇 27
?S偶=192 ∴? ?S奇=162

192-162 ∴d= =5 6 (a1+a11)×6 又∵S 奇= =3(2a1+10d)=162, 2 ∴a1=2 ∴an=a1+(n-1)d=5n-3 1 15.等差数列{an}的奇数项的和为 51, 偶数项的和为 42 , 首项为 1, 项数为奇数, 求此数列的末项及通项公式. 2 解:设等差数列{an}的项数为 2k+1,则数列的中间项为 ak+1,偶数项有 k 项,奇数项有 k+1 项,于是 1 S 奇= (k+1)(a1+a2k+1)=(k+1)ak+1=51……① 2 1 1 S 偶= k(a2+a2k)=kak+1=42 ……② 2 2 k+1 51 ①÷②,得 = ,解得 k=5, k 1 42 2 ∴数列共有 11 项. 51 17 将 k=5 代入①,得 a6= = . 6 2 17 又 a1+a11=2a6,∴a11=2a6-a1=2× -1=16, 2
3

17 17 3 (或 a1+5d= ,1+5d= ,d= .因此末项 a11=16) 2 2 2 3n-1 通项公式 an=1+(n-1)d= (n∈N*,n≥1). 2 ?等差数列的前 n 项和有如下的性质?. (1)若{an}为等差数列,前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也为等差数列.
?Sn? (2)等差数列{an}中,数列? n ?仍为等差数列. ? ?

(3)等差数列{an}中,若 Sm=Sp(m≠p),则 Sm+p=0. (4)在等差数列{an}中, S奇 an ①若项数为偶数 2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1 为中间两项);S 偶-S 奇=nd; = . S偶 an+1 S奇 n ②若项数为奇数 2n-1,则 S2n-1=(2n-1)an;S 奇-S 偶=an; = . S偶 n-1 am S2m-1 (5)若数列{an}与{bn}均为等差数列,且前 n 项和分别是 Sn 和 Tn,则 = . bm T2m-1 Sn 7n+2 a5 16.有两个等差数列{an},{bn},其前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 = ,求 . Tn n+3 b5 9(a1+a9) a + a 2 a5 2a5 S9 7×9+2 65 1 9 解 1: = = = = = = . b5 2b5 b1+b9 9(b1+b9) T9 12 9+3 2 Sn 7n+2 解 2:因为 = , Tn n+3 所以设 Sn=(7n+2)kn,Tn=(n+3)· kn. ∴a5=S5-S4=65k,b5=T5-T4=12k, ∴ a5 65k 65 = = . b5 12k 12

[题后感悟] am S2m-1 (1)数列{an},{bn}为等差数列,Sn,Tn 分别为其前 n 项和,则 = . bm T2m-1 Sn 7n+2 (2)由 = ,设 Sn 与 Tn 时,如果设成 Sn=(7n+2)k,Tn=(n+3)k 则错误.从此例的性质方向讲是正确 Tn n+3 的.但要考虑到等差数列的前 n 项和为关于 n 的二次函数,所以应设为 Sn=(7n+2)kn,Tn=(n+3)kn., Sn 2n an 17.两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 = ,求 . Tn 3n+1 bn 解 1:设 an=a1+(n-1)d,bn=b1+(n-1)e. a1 S1 1 取 n=1,则 = = ,所以 b1=2a1. b1 T1 2 Sn 所以 = Tn n(n-1) n -1 n d na1+ d a1+ d a1+ d - 2 2 2 2 2n = = = , n e 3n+1 n(n-1) n-1 2a + e - nb1+ e b 1+ e 1 2 2 2 2
4

3 d? 3 d ? 故 en2+(4a1-e)n= dn2+ 3a1-2d+2 n+a1- . 2 ? ? 2 d ? ?a -2=0 从而?4a -e=3a -d 3 ? ?e=2d
1 1 1

?d=2a1 an 2n-1 即? 所以 = . bn 3n-1 ?e=3a1

解 2:设 Sn=an2+bn,Tn=pn2+qn(a,b,p,q 为常数), 则 Sn an+b 2n = = ,所以 3an2+(3b+a)n+b=2pn2+2qn, Tn pn+q 3n+1 a=2q, ? ? 即?b=0, ? ?p=3q,

3a=2p, ? ? 从而?3b+a=2q, ? ?b=0,

所以 Sn=2qn2,Tn=3qn2+qn.

a1 S1 1 an Sn-Sn-1 2n-1 当 n=1 时, = = ;当 n≥2 时, = = b1 T1 2 bn Tn-Tn-1 3n-1 ◎已知一个数列的前 n 项和为 Sn=n2+n-1,求它的通项公式,问它是等差数列吗? 【错解】 an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n,又 an-an-1=2n-2(n-1)=2,即数

列每一项与前一项的差是同一个常数,∴{an}是等差数列. 【错因】 已知数列的前 n 项和 Sn,求数列的通项 an 时,需分类讨论,即分 n≥2 与 n=1 两种情况. 【正解】 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n; 当 n=1 时,a1=S1=1.
?1(n=1) ∴an=? . ?2n(n≥2)

∵a2-a1=4-1=3≠2, ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数, ∴{an}不是等差数列.

5


相关文章:
2014_高考数学_等差数列_前n项和的性质.doc
2014_高考数学_等差数列_前n项和的性质 - ?若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 特别地,若 m+n=2p,则 am+an=2ap ) 2.若一个等差数列{an}的前 3 ...
等差数列前n项和性质_图文.ppt
等差数列前n项和性质_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列前n项和性质 一.知识点回顾 1.等差数列的前n项和公式: n(a1 ? an ) Sn ? 2 n( n ?...
等差数列的前n项和的性质_图文.ppt
等差数列前n项和的性质_数学_高中教育_教育专区。第二章 数列 2.3.2 等差数列前 n 项和的 性质 等差数列{an}前n项和的性质等差数列{an}中,其前...
2014_高考数学_等差_等比_数列的通项_性质_前n项和.doc
2014_高考数学_等差_等比_数列的通项_性质_前n项和_数学_高中教育_教育专区。2014_高考数学_等差_等比_数列的通项_性质_前n项和 ...
2014高考数学一轮复习课件等差数列及其前n项和(精)_图文.ppt
2014高考数学一轮复习课件等差数列及其前n项和(精) - 2014高考数学一轮复习课 件 第2讲 等差数列及其前n项和2014年高考会这样考】 1.考查利用等差数列的...
等差数列的前n项和性质及应用.ppt
等差数列的前n项和性质及应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列的前n项和性质及应用 一、复习引入 n(a1 ? an ) n(n ? 1) Sn ? ? na1 ? d...
2014届高考数学一轮(+解题训练)等差数列及其前n项和(含....doc
2014高考数学一轮(+解题训练)等差数列及其前n项和(含解析)_数学_高中教育_...2.前 n 项和公式:Sn=na1+ 三、等差数列的性质 1.若 m,n,p,q∈N*,且...
等差数列前n项和性质教案.doc
等差数列前n项和性质教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。等差数列前n项和的性质 学本高考 教学教案 班级 37 班 2 授课教师: 蔡丽梅 高二 年...
2014届高考数学一轮复习教学案等差数列及其前n项和.doc
2014高考数学一轮复习教学案等差数列及其前n项和 - 第二节 等差数列及其前 n 项和 [知识能否忆起] 一、等差数列的有关概念 1.定义:如果一个数列从第 2 ...
高考数学等差数列及其前n项和.doc
高考数学等差数列及其前n项和 - §6.2 考点 1.等差数列及其性质 等差数列及其前 n 项和 考纲解读 要求 理解 内容解读 ①理解等差数列的概念; ②掌握等差数列...
2014高考数学总复习:第五章 数列 等差数列及其前n项和.doc
2014高考数学总复习:第五章 数列 等差数列及其前n项和_高考_高中教育_教育专区...2 2 三、等差数列的性质 1.若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,{an}为...
等差数列前N项和的性质及其应用.doc
肥东锦弘中学高一年级数学公开课教案 授课教师:吴晗 班级:高一(11) 时间:3 月 31 号下午第一节课 课题:等差数列前 n 项和的性质及其应用 教学目标: (1) ...
等差数列前n项和的性质及应用(67张PPT).ppt
等差数列前n项和的性质及应用(67张PPT) - 系列丛书 第二章 数列 第二章 数列 进入导航 系列丛书 2.3 等差数列的前n项和 第二章 数列 进入导航 系列丛书 ...
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用.doc
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用_数学_高中...例 2: (97 年全国高考文科卷)设 S n 是等差...2014下半年教师资格...专题 2014教师资格材料分析辅...
2014届高考数学一轮复习教学案 等差数列及其前n项和(含....doc
2014高考数学一轮复习教学案 等差数列及其前n项和(含解析)(北师大版)_数学...2.前 n 项和公式:Sn=na1+ 三、等差数列的性质 1.若 m,n,p,q∈N*,且...
【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考....doc
【三维设计】2014高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)等差数列及其前n项和教学案 - 第二节 等差数列及其前 n 项和 [知识能否忆起] 一、等差...
...2014届高考一轮数学(理):《等差数列及其前n项和》_....ppt
【聚焦典型题】(苏教版)2014高考一轮数学(理):《等差数列及其前n项和》 - 第2讲 1.考查利用等差数列的概念、性质、通项公式 与前n项和公式解决等差数列...
2014高考数学(理)复习方案:第28讲 等差数列及其前n项和....ppt
2014高考数学(理)复习方案:第28讲 等差数列及其前n项和_高考_高中教育_教育...前n项和 三、等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和....
高考数学总复习之 等差数列及其前n项和_图文.ppt
高考数学总复习之 等差数列及其前n项和 - 第2讲 等差数列及其前n项和2014年高考会这样考】 1.考查利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n项和公 式...
高考一轮复习 等差数列及其前n项和_图文.ppt
高考一轮复习 等差数列及其前n项和 - 第 2讲 1.考查利用等差数列的概念、性质、通项公式 与前n项和公式解决等差数列的问题. 2.在具体的问题情境中能识别...
更多相关标签: