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【名师导学】2015高考数学一轮总复习 5.37 数列模型及数列的综合应用课件 理


第37讲 数列模型及数列的综合应用

【学习目标】 1.会利用数列的函数性解与方程、不等式、解析几 何相结合的数列综合题. 2. 掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题 的方法.

【基础检测】 1.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是 函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b10 等于( D ) A.24 B.32 C.48 D.64
【解析】依题意有 anan+1=2n, an+2 所以 an+1an+2=2 ,两式相除得 =2, an 所以 a1,a3,a5,?成等比数列,a2,a4,a6,? 也成等比数列,而 a1=1,a2=2,所以 a10=2×24=32, a11=1×25=32, 又因为 an+an+1=bn,所以 b10=a10+a11=64.
n+1

2.设

? π ? M?cos 3 ?

π π π ? ? x+cos x,sin x+sin x?(x∈R) 4 3 4 ?

→ |2-2,且 f(x)的图象 为坐标平面上一点,记 f(x)=|OM 与射线 y=0(x≥0)交点的横坐标由小到大依次组成数 列{an},则|an+3-an|=( D ) A.24π B.36π
2

C.24

D.36

→ | 【 解 析 】 f(x) = | OM

? π π ? 2+ ? - 2 = ?cos x+cos x? ? 3 4 ? ?

? π π π? ? ?2 ?sin 3 x+sin 4 ? - 2 = 2cos 12 x , 令 ? ?

π f(x) = 2cos x = 12

π π 0.∴ x=kπ+ ,x=12k+6.∴an=12n+6(n∈N*). 12 2 ∴ |an+3-an|= |12(n+3)+6-(12n+6)|=36.

3.已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意 的x,y∈R,都有f(x·y)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an} 满足an=f(2n)(n∈N*),且a1=2.则数列的通项公式an n·2n =____ .
【解析】令 x=2,y=2n-1, 则 f(x· y)=f(2n)=2f(2n-1)+2n-1f(2), 即 f(2n)=2f(2n-1)+2n-1a1, an an-1 即 an=2an-1+2 , n= n-1+1, 2 2
n

? ?an? ? ? 所以数列?2n? 为等差数列,由此可得 ? ? ?

an=n· 2 n.

2 * 4.在数列{an}中,若 a2 - a = p ( n ≥ 1 , n ∈ N ,p + n n 1 为常数), 则称{an}为“等方差数列”, 下列是对“等方 差数列”的判断: ①若{an}是“等方差数列”,则{a2 n}是等差数列; ②{(-1)n}是“等方差数列”; ③若{an}是“等方差数列”,则{akn}(k∈N*,k 为 常数)也是“等方差数列”.其中真命题的序号为 __ ①②③ __.(将所有真命题的序号填在横线上)

2 2 【解析】①正确,因为 a2 n-an+ 1=p,所以 an+ 1- 2 a2 n=-p,于是数列{an}为等差数列. ②正确,因为(-1)2n-(-1)2(n+1)=0 为常数,于是 数列{(-1)n}为“等方差数列” . 2 2 2 2 ③正确,因为 a2 kn- a kn+k = (a kn- a kn+1)+ (a kn+1 - 2 2 2 2 a2 kn+2 ) + (a kn+2 - a kn+3 ) + ? + (a kn+k-1 - a kn+k ) = kp ,则 {akn}(k∈N*,k 为常数)也是“等方差数列”.

【知识要点】 1.数列综合问题中应用的数学思想 (1)用函数的观点与思想认识数列,将数列的通项公 式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集 {1 , 2,?,n}上的函数. (2)用方程的思想处理数列问题,将问题转化为数列 基本量的方程. (3)用转化化归的思想探究数列问题,将问题转化为 等差、等比数列的研究. (4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一 般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等.

2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将 实际问题转化成数学问题,弄清该数列的特征、要求是 什么. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中. 3.数学应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量 时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个 固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公 比. (3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间 的关系不固定,随项的变化而变化时,应考虑是 an 与 an+1 的递推关系,还是 Sn 与 Sn+1 之间的递推关系.

一、数列模型应用题 例1某生物能源有限公司自 2010 年以来投入大量 科研经费用于沙漠绿化和生物能源转化的科学研究, 到 2014 年该公司的研究技术全球领先,为将科学技术转 化为生产力,该公司自 2014 年起开发新疆的某沙漠地 带,同时于 2014 年前已成功地将该地带的沙漠绿化了 0.5 千万亩, 若自 2014 年(2014 年为第 1 年)起的第 n 年 的新增绿化面积为 an(单位:千万亩),依据该公司的绿 化沙漠技术测算可知,{an}的前 n 项和 Sn 近似地满足: Sn=n2an-n(n-1)(n=1,2,3,?).

(1)试用你所学数学知识计算 Sn 关于 n 的表达式; (2) 若第 n 年用于生物发电的沙漠绿化的植被量 x(单位:万吨)与发电量 fn(x)(单位:万度)的关系式为: Sn n+1 fn(x)= x ,生产的收益 bn=f′n(a)(单位:万元),其 n 中 a 为能源转化率,且 a∈(0,1],试求前 n 年该企业 能源转化的总收益 Tn. 【解析】(1)当 n≥2 时,Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1), 即(n2-1)Sn=n2Sn-1+n(n-1). 由(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1),

n+1 n 得 Sn- Sn-1=1, n n-1
? ?n+1 ? ? ? ?是首项为 ∴ S n ? ? ? n ?

1,公差为 1 的等差数列.

n+1 n2 因而 S =1+(n-1)=n,故 Sn= . n n n+1

(2)∵f′n(x)=nxn,∴bn=f′n(a)=nan, ∴Tn=b1+b2+?+bn=a+2a2+?+nan,??① n(n+1) 当 a=1 时,Tn=1+2+?+n= ; 2 当 a≠1 时,在①式两边同乘以 a,得到 aTn=a2 +2a3+?+(n-1)an+nan+1,??② ①- ②得 (1- a)Tn= a+ a2+ a3+ ? + an- nan+ 1= a(1-an) -nan+1, 1-a a(1-an) nan+1 ∴Tn= - , (1-a)2 1-a ? ?n(n+1) (a=1) 2 ? 综上所述:Tn=? . n n+1 a ( 1 - a ) na ? (0<a<1) 2 - ? ( 1 - a ) 1 - a ?

【点评】本例的题设情境是给出数列模型,只须 应用数列知识分析求解.

例2某厂在一个空间容积为 2 000 m3 的密封车间内生产 某种化学药品.开始生产后,每满 60 分钟会一次性释放出 有害气体 a m3, 并迅速扩散到空气中. 每次释放有害气体后, 车间内的净化设备随即自动工作 20 分钟,将有害气体的含 量降至该车间内原有有害气体含量的 r%,然后停止工作, 待下一次有害气体释放后再继续工作.安全生产条例规定: 只有当车间内的有害气体总量不超过 1.25a m3 时才能正常 进行生产. (1)当 r=20 时,该车间能否连续正常生产 6.5 小时?能 否找到一个大于 20 的数据 r,使该车间能连续正常生产 6.5 小时?均请说明理由; (2)已知该净化设备的工作方式是:将净化过程划分为 n(趋向于无穷大 )次,先向室内放入一定量的新鲜空气,再 向外释放出等体积的室内混合气体 (空气和有害气体).设车 间内原有害气体量为 A, 已知该净化设备的换气量是 200 m3/ 分,试证明该设备连续工作 20 分钟能够将有害气体含量降 至原有有害气体含量的 20%以下.

【解析】(1)∵第一次释放有害气体 a m3,∴第二 次释放有害气体后(净化之前),车间内共有有害气体(a +ar%)m3, 第三次释放有害气体后(净化之前), 车间内 共有有害气体[a+(a+ar%)r%] m3, ∵6.5 小时共释放出 6 次有害气体,且有害气体的 含量逐次递增, ∴要使该车间能连续正常生产, 在最后一次释放有 害气体后 (净化之前 ),车间内有害气体总量不得超过 1.25a m3,即必须要有 a+ar%+a(r%)2+?+a(r%)5 1+(r%)6 ≤1.25a,即 a· ≤1.25a. 1-r% 1-(0.2)6 1 1 ∵当 r=20 时, < = =1.25, 1-0.2 1-0.2 0.8 ∴当 r=20 时,车间能连续生产 6.5 小时.

设 r% = 0.2 + x(x>0) 满 足 条 件 , 即 要 有 1-(0.2+x)6 ≤1.25, 1-(0.2+x) 即(0.2+x)6≥1.25·x.(*) ∵ (0.2 + x)6 = 0.26 + 6×(0.2)5x + ? + x6>0.26 + 6(0.2)5x, 要使(*)成立,只要 0.26+(0.2)5·6x-1.25x≥0 即 (0.2)6 可,∴可取 x= >0, 1.25-6×(0.2)5 (0.2)6 ∴取 r=20+100· 5,就可使该车 1.25-6×(0.2) 间连续生产 6.5 小时.

(2)证明:将 20 分钟的净化过程划分成 n 次,则每 4 000 3 次的换气量为 m .不妨假设换气过程是先放入新 n 鲜空气再释放混合气体, ∵净化后残留的有害气体量=净化前残留的有害 气体量-被释放混合气体中所含有害气体, 第一次净化后残留的有害气体量为: 4 000 1 A a1=A- · =A· ; 4 000 n 2 2 000+ 1+ n n 第二次净化后残留的有害气体量为: ? 1 ? a1 4 000 1 ? ?2 2 a2=a1- · =a1· =A? ; ?; 4 000 n 2 1+ ? ? n? 2 000+ 1+ n n ? 1 ? ? 2 ?n. 第 n 次净化后残留的有害气体量为 an=A? 1+ ? n

n 当 n 极大时,可将 看作整数 k, 2 ? 1 ? ? 1 ? ? 2 ?n ?? 1? ?2 ∴A? = A ?k ? , ?? 1+ ? 1 + k? ? n? ?? ? ? ?
?k- 1?(k-2) ?k-1? ? 1? ? ? ? ? ? ?k 1 + ∵? >1+1+ + >2.5, k? 2k 6k2 ? ? ? 1 ?2 1 ? ∴an<A? ?2.5? <5A, ? ? ? ? ? ?

∴20 分钟能够将有害气体含量降至原有有害气体 含量的 20%以下.
【点评】本例的题设情况是实际问题呈现有序的一次次 变化,且前后两次(或两次以上)相互之间按同一种规律 变化,则要求探究递推关系或通项公式,然后解决问题 .

二、点列问题 例3如图是某建筑设计院为 海南国际展览馆的主展厅的屋 面和水平主梁位于中轴线一侧 的垂直截面的设计图.设计师 以屋面曲线 C 和水平主梁 L 的交点 O 为原点,水平主 梁所在直线为 x 轴建立直角坐标系 xOy,设计要求如 下:屋面曲线 C 方程为 y= x(x≥0),水平主梁对屋面 曲线的支撑构成正三角形(称为支梁三角形): △OP1Q1, △Q1P2Q2,△Q2P3Q3,?,△Qn -1PnQn(n∈N*),其中 P1,P2,P3,?,Pn 在屋面曲线 C 上,O,Q1,Q2, Q3, ?, Qn 在水平主梁上, 记△OP1Q1 的边长为 a1(米), △Qk-1PkQk 的边长为 ak(米)(k=1,2,?n,Q0 为坐标 原点 O),请你解答如下问题:

(1)求 a1,a2 的值,并推导 ak 关于 k 的表达式; (2)记△Qk-1PkQk 的面积为 bk, Tn=b1+b2+?+bn, Tn △OPnQn 的面积为 tn,定义 δn= 为防震系数.若要求 tn 防震系数为 0.7,问共需要设计多少个支梁三角形?参 n(n+1)(2n+1) 2 2 2 考公式 1 +2 +?+n = 6 ?a 3a1? ? 1 ? 【解析】(1)依题意可知 P1? , , ? 2 ? ?2 又点 P1 在曲线 C:y= x上, 3 2 1 2 则有 a1= a1,求得 a1= . 4 2 3 ?2 1 4 3 ? ? ? 于是 P2? + a2, a2?,同理可求得 a2= . 3 2 ? ?3 2

设点 Qk 的坐标为(sk,0),Pk+1 的坐标为(xk+1,yk+ sk+sk+1 2 依题设有 yk+1=xk+1= , sk=a1+a2+?+ak, 1), 2 sk+sk+1 3 2 3 又 yk+1= ak+1,所以 = ak+1, 2 2 4 3 2 即 sk+sk+1= ak+ 1,① 2 3 2 因此 sk-1+sk= ak,② 2 3 2 由①-②得 ak+1+ak= (ak+1-a2 又 ak+1>0, ak>0, k), 2 2 2 所以 ak+1-ak= (k≥2),又 a2-a1= . 3 3 2 故{ak}为等差数列,所以 ak= k. 3

3 2 3 4 2 3 2 (2)由于 bk=S△Qk-1PkQk= ak= · k = k . 4 4 9 9 3 2 所以 Tn= (1 +22+?+n2), 9 n( n+1)(2n+1) 2 2 2 2 又因为 1 +2 +3 +?+n = , 6 3 故 Tn= n(n+ 1)(2n+1). 54 1 1 2 n( n+1) 3 又 tn=S△OPnQn= Sn·yn= · · · an 2 2 3 2 2 3 2 = n (n+1), 18 Tn 2n+1 所以 δn= = =0.7,求得 n=10. tn 3n 即要求设计 10 个支梁三角形.

【点评】点列问题的题设情境是按某种规律或 方法形成一系列点,因此应依其规律或方法去 探究其点的横坐标与纵坐标的递推关系或通项 公式.

三、数列与函数、不等式综合问题 x 例4已知函数 f(x)= ,g(x)=ln(x+1). x+1 (1)证明:当 x∈(0,1]时,f(x)<g(x); 1 (2)已知数列{an}满足 a1= ,an+1=2f(an). 2 ①求数列{an}的通项公式; 1 1 ②证明: <a1a2?anan+1< . 6 2 e x 【解析】 (1)证明: 令 F(x)=g(x)-f(x)=ln(x+1)- , x+1 x ∴F′(x)= 2>0, (x+1) ∴当 x∈(0,1]时,F(x)递增. x ∴F(x)>F(0),即 ln(x+1)> , 1+x ∴f(x)<g(x).

2an 1 1 1 (2)①由 an+1=2f(an)= ,可得 = + , an+1 an+1 2 2an 1 1 1 1 令 bn= ,∴bn+1= bn+ ,即 bn+1-1= (bn-1). an 2 2 2 ?1? ?n-1 ∴bn-1= (b1-1)×? , ?2? ? ? 而
n-1 ? ? 2 1 1 ?n-1 b1= =2,∴bn=? +1,∴an= . ?2? a1 1+2n-1 ? ?

1 1 ②要证 <a1a2?anan+1< , 6 2 e
n-1 2 1 只需证 2 e< <6,又∵an= , a1a2?anan+1 1+2n-1

∴只需证

? ? ? 1? 1? 1? ? ?? ? ? e<?1+ ??1+ 2???1+ n? ?<3. 2 2 2 ? ?? ? ? ?

下面我们证明上述不等式, x 首先我们注意这样一个事实,当 0<x<1 时, 1+x <ln(1+x)<x. -x 这是因为若令 h(x)=ln(1+x)-x,则 h′(x)= <0, x+1 ∴h(x)在(0,1]上递减, ∴h(x)<h(0)=0,即 ln(1+x)<x, x 又由①知 ln(1+x)> , 1+x x ∴ <ln(1+x)<x. 1+x ? ? ? 1? 1? 1? ? ?? ? ? 再令 Tn=?1+ ??1+ 2???1+ n? ?, 2 2 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? 1? 1? 1? ? ? ? ? ? ∴ln Tn=ln?1+ ?+ln?1+ 2?+?+ln?1+ n? ?, 2 2 2 ? ? ? ? ? ?

? 1? 1 ? ? 1 又∵ n <ln?1+ n?< n, 2 +1 ? 2 ? 2 ? ? 1? 1? 1 1 1 ? ? ? ∴ 1 + 2 +?+ n <ln ?1+ ? + ln ?1+ 2? 2? 2? 2 +1 2 +1 2 +1 ? ? ? ? 1? 1 1 ? ? 1 +?+ln?1+ n?< + 2+?+ n, 2? 2 2 2 ? 1 1 1 1 1 1 即 1 + 2 +?+ n <ln Tn< + 2+?+ n, 2 2 2 2 +1 2 +1 2 +1 1 1 1 1 1 1 1 又∵ 1 + 2 + 3 + ?+ n = + + 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 3 5 9 1 1 1 1 1 1 1 + 4 +?+ n > , + 2+?+ n=1- n<1, 2 2 2 +1 2 +1 2 2 2 1 ∴ <ln Tn<1,即 e<Tn<e<3, 2 ? ? ? 1? 1? 1? 1 1 ? ?? ? ? ? ∴ e<?1+ ??1+ 2???1+ n?<3, ∴ <a1a2?anan+1< . 2?? 2 ? ? 2 ? 6 ? 2 e

例5从社会效益和经济效益出发, 〔备选题〕 某地投 入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据 规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减 1 少5.本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由于该项 建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年 1 会比上年增加4. (1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an 万元,旅 游业总收入 bn 万元,写出 an,bn 的表达式; (2) 至 少经 过几 年旅 游业 的总 收入 才能 超过 总 投 入?

【解析】(1)第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入
? 1? ? 800×?1- ? ?万元,?,第 5 ? ?

n 年投入

? 1? 1- ? 800× ? ? 5?

n -1

万元
n -1

所以总投入

? ? 1? 1? ? ? 1- ? an=800+800?1- ?+?+800 ? ? 5? 5? ?

? ? 4 ?n ? 1- ? ? ? = 4 000 ? ? ?5? ? ?. ?
? 1? ? 同理: 第 1 年收入 400 万元, 第 2 年收入 400×?1+ ? ?, ?万元, 4 ? ?

? 1? 1? ? 第 n 年收入 400× ? ? 4?

n-1

? 1? ? 万元, bn=400+400×?1+ ? +? 4? ? ?

n ? ? 5? n-1 ? ? 1? ? ? ? - 1? 1 ? ? ? +400× ? 4 ? =1 600× ? ?? 4 ? ?. ?

?? 5 ? n ? ? ? 4 ?n ? ? ? ? - 1? ?1 - ? ? ? (2)∵bn-an>0,1 600 ? ? ?? 4 ? ? -4 000× ? ? ?5? ? ? >0,

?4? ?5? ? ? ? 化简得 5× ? ? 5 ? +2× ? 4 ? -7>0,

n

n

?4? ? ,则 5x2-7x+2>0, 设 x= ? ?5?

n

2 ∴x< ,x>1(舍), 5
?4? 2 ? ? 即 ? 5 ? < ,由此得 n≥5. 5
n

所以至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入.

1.数列模型应用问题的求解策略 ①认真审题,准确理解题意. ②依据问题情境,构造等差、等比数列,然后应用 通项公式、 数列性质和前 n 项和公式求解, 或通过探索、 归纳、构造递推数列求解. ③验证、反思结果与实际是否相符. 2.数列综合问题的求解程序 ①数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问 题,或以函数为载体构造数列,应用数列理论求解. ②数列的几何型综合问题,探究几何性质和规律特 征,建立数列的递推关系式,然后求解问题.

(2013 湖北)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10, a1a2a3=125. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)是否存在正整数 m,使得 + +?+ ≥1? a1 a2 am 若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由. 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q, 则由已知 ? 3 3 ? ?a1= , ? a q = 125 , ? 1 ?a1=-5, 3 或? 可得? 解得? 2 ? ? ?|a1q-a1q |=10, ?q=-1. ? 5 5 故 an= ·3n-1 或 an=-5· (-1)n-1. 3 ?q=3,

? 5 1 3? ?1?n-1 n-1 (2)若 an= ·3 ,则 = ? ? , 3 an 5?3? ?1? 3 1 ? ? 故? ?是首项为 ,公比为 的等比数列, 5 3 ?an? ?1?m? 3? ? ? ? ? 1 - ?3? ? ?1?m? 9 1 5? 9? ? ? ? ? ? ? ? 从而 m = = ?1-? ? ?<10<1. 3 a 1 10? ? n= 1n ? ? ? 1- 3 1 1 n-1 若 an=(-5)· (-1) ,则 =- (-1)n- 1, an 5 ? ?1 ? ? 1 ? ? 故? ?是首项为- ,公比为-1 的等比数列,从而 5 ?an?
?

?
n= 1

m

1 ? 1 ?-5,m=2k-1(k∈N+), m 1 =? 故 ? <1. an ? an =1 n ?0,m=2k(k∈N+),

综上,对任何正整数 m,总有 ?
n= 1

m

1 <1. an

1 1 1 故不存在正整数 m, 使得 + +?+ ≥1 成立. a1 a2 am
【命题立意】本题考查等比数列,考查探究能力 和运算求解能力,属中档题.

1. 计算机的成本不断降低, 若每隔 3 年计算机价格 1 降低3,现在价格为 8 100 元的计算机,9 年后的价格可 降为( A ) A.2 400 元 B.900 元 C.300 元 D.3 600 元

2.某气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪, 已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用, 第 n 天的 n+49 维修保养费为 元(n∈N*), 使用它直至报废最合算 10 (所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少 ) 为止,一共使用了( B ) A.600 天 B.800 天 C.1 000 天 D.1 200 天

1 【解析】 维护保养费是一个以 5 为首项, 为公差 10 的等差数列,使用至第 n 天所花费的维护保养费共 5n n(n-1) + , 所 以 平 均 耗 资 f(n) = 20 n(n-1) 32 000+5n+ 20 32 000 n 99 = + + ≥ n n 20 20 32 000 n 99 1 699 2 × + = , n 20 20 20 32 000 n 当且仅当 = ,即 n=800 时取等号. n 20

3. 设曲线 y=xn(n∈N*)与 x 轴及直线 x=1 围成的 封闭图形的面积为 an,记 bn=anan+1,则 b1+b2+?+ b2 014=( D ) 503 2 013 2 014 1 007 A. B. C. D. 1 008 2 014 2 015 2 016

1 【解析】依题意 an= x dx= , n+1
?1 ? ? ?0

n

1 1 1 故 bn=anan+1= = - , (n+1)(n+2) n+1 n+2 1 1 1 007 所以 b1+b2+?+b2 014= - = .故选 D. 2 2 016 2 016

4. 现有钢管 200 根, 把它们堆放成正三棱柱形垛, 10 根. 使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管____

【解析】最上一层 1 根,第 n 层 n 根,共有 1+2 n(n+1) +3+?+n= (根). 2 n(n+1) 依题意,得 ≤200(n∈N*), 2 19×20 ∴1≤n≤19,∴当 n=19 时, =190,余下 2 10 根.

5.当 n 为正整数时,定义函数 N(n)表示 n 的最大 奇因数. 如 N(3)=3, N(10)=5, ?.记 S(n)=N(1)+N(2) +N(3)+?+N(2n). 86 ; 则(1)S(4)=____ 4n+2 (2)S(n)= ____ . 3
【解析】 由题设知, N(2n) = N(n) , N(2n - 1) = 2n -1. (1)S(4) = [N(1) + N(3) + N(5) + ? + N(15)] + [N(2) + N(4)+N(6)+?+N(16)]

=S(3)+(1+3+5+?+15)=S(3)+43
=43+42+S(2)=43+42+4+S(1)=86.

(2)S(n)= [1+3+ 5+?+(2n-1)]+ [N(2)+ N(4)+ N(6)+?+N(2n)] =4n-1+S(n-1) =4n-1+4n-2+S(n-2) =4n-1+4n-2+?+41+40+1 4n+2 = . 3

6.某城市2013年底燃油公交车保有量为3万辆.为 保护城市环境,建设节能、低碳型社会,该市决定 此后每年淘汰上一年底公交车保有量的10%,并从 2014年开始,每年投入一批电动环保型公交车,且 新增数量相同,如果要求该市公交车保有量不超过6 万辆,那么每年新增公交车数量不应超过多少辆?

【解析】设 2013 年底公交车保有量为 b1 万辆,以 后各年底公交车保有量依次为 b2 万辆,b3 万辆,?, 且设每年新增汽车 x 万辆,则 b1=3,bn+1=0.9bn+x. 所以当 n≥2 时,bn=0.9bn-1+x,
? ? 两式相减得:bn+1-bn=0.9??bn-bn-1??.

(Ⅰ)显然, 若 b2-b1=0, 则 bn+1-bn=bn-bn-1=? =0, 即 bn=?=b1=3,此时 x=3-3×0.9=0.3.
? ? b - b + (Ⅱ)若 b2-b1≠0,则数列? n? ? n 1 ?为以 b2-b1=x

-0.1b1=x-0.3 为首项,以 0.9 为公比的等比数列, 所以,bn+1-bn=0.9
n-1
? ?. x - 0.3 · ? ? ? ?

(ⅰ)若 b2-b1<0,则对于任意正整数 n,均有 bn+1 -bn<0, 所以 bn+1<bn<?<b1=3, 此时 x<0.3.

(ⅱ)当 x>0.3 时,b2-b1>0,则对于任意正整数 n, 均有 bn+1-bn>0,所以,bn+1>bn>?>b1=3. 由 bn+1-bn=0.9
n-1
? ?,得 x - 0.3 · ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? bn=??bn-bn-1??+??bn-1-bn-2??+?+??b2-b1??+b1 ? ?? n-1? ?x- 0.3??1- 0.9 ? b2-b1??????1-0.9n-1??? ? ?? ? = +3= +3. 0.1 1-0.9 ? ? ?

要使对于任意正整数 n,均有 bn≤6 恒成立, ? ?? n-1? ?x- 0.3??1- 0.9 ? ? ?? ? 即 +3≤6 对于任意正整数 n 恒成立, 0.1 0.3 解得 x≤ +0.3. 1-0.9n-1 0.3 由于 f(n)= n∈[2, +∞)是单调递减的, n-1+0.3, 1-0.9 所以 f(n)>0.6. 答:每年新增公交车数量不应超过 0.6 万辆.

7.已知曲线 C:y=x2(x>0),过 C 上的点 A1(1, 1) 作曲线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 B1,再过 B1 作 y 轴 的平行线交曲线 C 于点 A2, 再过 A2 作曲线 C 的切线 l2 交 x 轴于点 B2,再过 B2 作 y 轴的平行线交曲线 C 于点 A3,?,依次作下去,记点 An 的横坐标为 an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn=(8-4n)an,设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 求证:0<Tn≤4.

【解析】(1)∵y′=2x(x>0). ∴曲线 C 在点 An(an,a2 n)处的切线 ln 的斜率为 kn =2an. ∴切线 ln 的方程为 y-a2 n=2an(x-an). ?an ? an ? 令 y=0 得 x= ,∴Bn? 2 ,0? . ? 2 ? ? an 依题意点 An+1 在直线 x= 上, 2 an ∴an+1= (n∈N*),又 a1=1, 2 1 ∴数列{an}是以 1 为首项, 为公比的等比数列. 2 1 ∴an= n-1. 2

4-2n (2)证明:由(1)知 bn= n-2 . 2 4-2n 2 0 -2 -4 Tn= -1+ 0+ + 2 +?+ n-2 .① 2 2 2 2 2 4-2n 1 2 0 -2 -4 T = + + + 3 +?+ n-1 ② 2 n 20 2 22 2 2 ①-②得 -2 -2 -2 -2 -2 4-2n 1 T =4+ 0 + 1 + 2 + 3 +?+ n-2- n-1 2 n 2 2 2 2 2 2
? 1 1 1 ? ? ? 4-2n =4-2?1+2+22+?+ n-2?- n-1 2 ? 2 ? ?1?n-1 ? 1-? ?2? ? ?

=4-2·

1 1-

4-2n 2n - n-1 = n-1. 2 2

4n n ∴Tn= n-1= n-3>0,又 n≥2 时, 2 2 n-1 2-n Tn-Tn-1= n-3- n-4 = n-3 . 2 2 2 n ∴当 n≥3 时,Tn<Tn-1. ∴Tn<Tn-1<?<T2, 又当 n=2 时,T1=T2=4. ∴(Tn)max=T2=4,∴Tn≤4. 综上 0<Tn≤4.

8.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,数列 an 满足:a1 1 = ,ln 2+ln an+1=an+1an+f(an+1an). 2 (1)求证:ln(1+x)≤x;
? ? 1 ? ? ? ?是等差数列; (2)求证:数列 ? ?an-1? ?

? ? ?

? ? ?

(3)求证:a1+a2+?+an<n+ln 2-ln(n+2).

【解析】(1)由 f(x)=ln(1+x)-x, 1 x 得 f′(x)= -1=- . 1+x 1+x 当-1<x<0 时,f′(x)>0,即 y=f(x)单调递增; 当 x>0 时,f′(x)<0,即 y=f(x)单调递减; 且 f′(0)=0,即 x=0 是极大值点,也是最大值点. f(x)=ln(1+x)-x≤f(0)=0?ln(1+x)≤x,当 x=0 时取到等号.

(2)由 ln 2+ln an+1=an+1an+f(an+1an), 1 得 2an+1=an+1an+1,an+1= , 2-an an-1 1 1 1 故 an+1-1= -1= , = -1 . 2-an 2-an an+1-1 an-1
? ? 1 ? ? 1 ? ? 即数列 是首项为 =-2,公差为-1 a - 1 ? ? a1-1 ? n ?



等差数列.

1 1 n (3)由(2)可知 =-n-1?an= =1- . an-1 n+1 n+1 1 1 所以 a1+a2+?+an=1- +1- +?+1 1+1 2+1
?1 1 1 ? 1 ? ? - =n-?2+3+?+ ?. n + 1 n+1 ? ?

1 又∵x>0 时有 x>ln(1+x),令 x= >0, n+1
? 1 ? n+2 1 ? ? 则 >ln 1+ ?=ln n+1. n + 1 n+1 ? ? ?

?1 1 1 ? ? ? ∴n-?2+3+?+ n+1? ? ? ? 3 4 5 ? <n-?ln +ln +ln +?+ln 2 3 4 ? ?3 4 n+2? ? ? =n-ln? × ×?× n+1? ?2 3 ?

n+1 n+2? ? +ln n n+1? ?

n+2 =n-ln =n+ln 2-ln(n+2). 2 ∴a1+a2+?+an<n+ln 2-ln(n+2).


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