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等比数列知识点及练习(含答案)


勤志数学

等比数列
1、等比数列的定义: 2、通项公式:
an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
an a ? q ? n?m n am am

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

推广: an ? am q n ? m ? q n ? m ?

3、等比中项: (1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A2 ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个 (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ?
?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为常数) 1? q 1? q

5、等比数列的判定方法: (1)用定义:对任意的 n ,都有 an?1 ? qan或
an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为等比数列 an

(2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 6、等比数列的证明方法: 依据定义:若
an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

7、等比数列的性质: (2)对任何 m, n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m 。 (3)若 m ? n ? s ? t (m, n, s, t ? N * ) ,则 an ? am ? as ? at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时,得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???
1

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a k (4)数列 {an } , {bn } 为等比数列,则数列 { } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } , { n } ( k 为非零常数)均 bn an

为等比数列。 (5)数列 {an } 为等比数列,每隔 k (k ? N * ) 项取出一项 (am , am?k , am?2k , am?3k , ???) 仍为等比数列 (6)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7)若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列 (8)若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , an?1 ? an?2 ????? a2n , a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成等比数列 (9)①当 q ? 1 时, {a1 ? 0,则{an }为递减数列
a1 ? 0,则{ an }为递减数列 { ②当 0<q ? 1时, a1 ? 0,则{an }为递增数列

a1 ? 0,则{an }为递增数列

③当 q ? 1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ; ④当 q ? 0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中,当项数为 2n(n ? N * ) 时, 二 例题解析 【例 1】 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么数列{an}. ( A.是等比数列 B.C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 B.当 p≠0 时是等比数列 D.不是等比数列 )

S奇 1 ? S偶 q

【例2】 已知等比数列 1,x1,x2,…,x2n,2,求 x1·x2·x3·…·x2n.

【例3】 等比数列{a n }中, (1) 已知a 2 = 4 ,a 5 =-

1 ,求通项公 式; 2

(2)已知 a3·a4·a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值.

【例 4】

求数列的通项公式: (1){an}中,a1=2,an+1=3an+2 (2){an}中,a1=2,a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0
2

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三、 考点分析 考点一:等比数列定义的应用 1 4 1、数列 ?an ? 满足 an ? ? an ?1 ? n ? 2 ? , a1 ? ,则 a4 ? _________. 3 3 2、在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1? n ? 1? ,则该数列的通项 an ? ______________. 考点二:等比中项的应用 1、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ( A. ?4 B. ?6 C. ?8 ) D. ?10 )

2、若 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交点的个数为( A. 0 C. 2 D.不确定 20 3、已知数列 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2 , a2 ? a4 ? ,求 ?an ? 的通项公式. 3 考点三:等比数列及其前 n 项和的基本运算 2 9 1 1、若公比为 的等比数列的首项为 ,末项为 ,则这个数列的项数是( ) 3 8 3 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B. 1

2、已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? 3 , a10 ? 384 ,则该数列的通项 an ? _________________. 3、若 ?an ? 为等比数列,且 2a4 ? a6 ? a5 ,则公比 q ? ________. 4、设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2 ,则 A.
1 4

2a1 ? a2 的值为( 2a3 ? a4



B.

1 2

C.

1 8

D. 1

1 且 a2+a4+…+a100=30,则 a1+a2+…+a100=______________. 2 考点四:等比数列及其前 n 项和性质的应用

5、等比数列{an}中,公比 q=

1、在等比数列 ?an ? 中,如果 a6 ? 6 , a9 ? 9 ,那么 a3 为(
3 16 C. 2 9 ? 1 2、如果 , a , b , c , ?9 成等比数列,那么( ) A. b ? 3 , ac ? 9 B. b ? ?3 , ac ? 9 C. b ? 3 , ac ? ?9 D. b ? ?3 , ac ? ?9

) D. 2

A. 4

B.

3、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a10 ? 3 ,则 a2a3a4a5a6a7 a8a9 等于( A. 81 B. 27 5 27 C. 3



D. 243 )

4、在等比数列 ?an ? 中, a9 ? a10 ? a ? a ? 0? , a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 等于(

3

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b9 A. 8 a

?b? B. ? ? ?a?

9

b10 C. 9 a

?b? D. ? ? ?a?

10

5、在等比数列 ?an ? 中, a3 和 a5 是二次方程 x 2 ? kx ? 5 ? 0 的两个根,则 a2 a4 a6 的值为( A. 25 B. 5 5 C. ?5 5 D. ?5 5



6、若 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,若 a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 的值等于

? S , (n ? 1) 考点五:公式 an ? ? 1 的应用 ? Sn ? S n ?1 , (n ? 2)
1、若数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+…+an,满足条件 log2Sn=n,那么{an}是( ) 1 A.公比为 2 的等比数列 B.公比为 的等比数列 2 C.公差为 2 的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 2、等比数列前 n 项和 Sn=2n-1,则前 n 项的平方和为( )
1 1 B. (2n-1)2 C.4n-1 D. (4n-1) 3 3 n 3、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 +r,那么 r 的值为______________. 4、设数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 S1=3,若对任意的 n∈N*都有 Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式 an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

A.(2n-1)2

等比数列练习题
一.基础练习题
1、若等比数列 an ? 满足 an an ?1 ? 16,则公比为 2、数列 an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , an ?1 ? 3S n (n ? 1) ,则 a6 ? 3、已知 an ? 是递增等比数列, a2 ? 2 , a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ? 4、在等比数列 ?an ? 中, a1 ?

?

? ?

1 , a4 ? ?4 ,则公比 q=_______; a1 ? a2 ? ... ? an ? ___________ 2
4

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5、设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则

S5 ? S2

6、设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? 7、设 ?an ? 是正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2 ? a4 ? 1 , S3 ? 7 ,则 S5 ? 8、在等比数列 ?an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为 9、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3a4 a5 ,则 m= 10、 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2 a7 的等差中项为 11、已知各项均为正数的等比数列 {an } , a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 a4 a5a6 = 12、已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 ,

5 ,则 S5 = 4

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? 2 a7 ? a8

13、已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9S3 ? S 6 ,则数列 ? 14、在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式 an ? 15、已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = 16、已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ?
2

?1? ? 的前 5 项和为 ? an ?


1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 = 4
;前 8 项的和 S8 ? .

17、若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,则 a5 ? 18、已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, 则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ?

,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,

? log2 a2n?1 ?

能力提升部分
一、选择题: 1.{an}是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为 ①{an2}也是等比数列 ②{can}(c≠0)也是等比数列 ③{
1 }也是等比数列 an





④{lnan}也是等比数列 C.2
5

A.4

B.3

D.1

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2.等比数列{a n }中,已知 a9 =-2,则此数列前 17 项之积为 ( ) 16 16 17 17 A.2 B.-2 C.2 D.-2 3.等比数列{an}中,a3=7,前 3 项之和 S3=21, 则公比 q 的值为 ( ) 1 1 A.1 B.- C.1 或-1 D.-1 或 2 2 4.在等比数列{an}中,如果 a6=6,a9=9,那么 a3 等于 ( ) 3 16 A.4 B. C. D.2 2 9 5.若两数的等差中项为 6,等比中项为 5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( ) 2 2 A.x -6x+25=0 B.x +12x+25=0 2 C.x +6x-25=0 D.x2-12x+25=0 6. 某工厂去年总产 a, 计划今后 5 年内每一年比上一年增长 10%, 这 5 年的最后一年该厂的总产值是 ( ) 4 5 6 5 A.1.1 a B.1.1 a C.1.1 a D. (1+1.1 )a 7.等比数列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,则 a99+a100 等于 ( )
b9 A. 8 a
b B.( )9 a

b 10 C. 9 a

D.(

b 10 ) a

8 .已知各项为正的等比数列的前 5 项之和为 3 ,前 15 项之和为 39 ,则该数列的前 10 项之和为 ( ) A.3 2 B.3 13 C.12 D.15

9.某厂 2001 年 12 月份产值计划为当年 1 月份产值的 n 倍,则该厂 2001 年度产值的月平均增长率为 ( ) n A. B. 11 n C. 12 n ? 1 D. 11 n ? 1 11 10.已知等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 2 ,且 a1 ? a2 ? a3 ? A. 210 B. 2 20

? a30 ? 230 ,那么 a3 ? a6 ? a9 ?
C. 216

? a30 等于 (



D. 215

11.等比数列的前 n 项和 Sn=k·3n+1,则 k 的值为 ( ) A.全体实数 B.-1 C.1 D.3 二、填空题: 3 12.在等比数列{an}中,已知 a1= ,a4=12,则 q=_____ ____,an=____ ____. 2 13.在等比数列{an}中,an>0,且 an+2=an+an+1,则该数列的公比 q=___ ___. 14.在等比数列{an}中,已知 a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,求 a10= . 15.数列{ an }中, a1 ? 3 且 an?1 ? an (n 是正整数),则数列的通项公式 an ?
2



三、解答题: 16.已知数列满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N*) (1)求证数列{an+1}是等比数列;(2)求{an}的通项公式. 17.在等比数列{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n.

18.在等比数列{an}中,a1+an=66,a2·an-1=128,且前 n 项和 Sn=126,求 n 及公比 q.
6

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参考答案 一、选择题: BDCAD BACDB BC
1? 5 . 2

二、填空题:13.2, 3·2n-2. 14.

.16. 32 .

n ?1

三、解答题: 17.(1)证明: 由 an+1=2an+1 得 an+1+1=2(an+1) 又 an+1≠0 ∴

an?1 ? 1 =2 an ? 1

即{an+1}为等比数列. n-1 (2)解析: 由(1)知 an+1=(a1+1)q 即 an=(a1+1)qn-1-1=2·2n-1-1=2n-1 18.解析: 由 a1+a2+…+an=2n-1 ① n∈N*知 a1=1 且 a1+a2+…+an-1=2n-1- 由①-②得 an=2n-1,n≥2 又 a1=1,∴an=2n-1,n∈N*
a n ?1 an
2 2

(2 n ) 2 ? n ?1 2 = (2 )

即{an2}为公比为 4 的等比数列
a1 (1 ? 4 n ) 1 n ∴a1 +a2 +…+an = ? (4 ? 1) 1? 4 3
2 2 2

2

19.解析一: ∵S2n≠2Sn,∴q≠1
? a1 (1 ? q n ) ? 48 ? ? 1? q 根据已知条件 ? 2n ? a1 (1 ? q ) ? 60 ? 1? q ?




②÷①得:1+qn= ③代入①得

1 5 即 qn= 4 4

③ ④

a1 =64 1? q

∴S3n=

a1 1 (1-q3n)=64(1- 3 )=63 4 1? q

解析二: ∵{an}为等比数列 ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)

7

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(S 2n ? S 2n ) 2 (60 ? 48) 2 ∴S3n= +60=63 ? S 2n ? Sn 48
20.解析:当 x=1 时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2 当 x≠1 时,∵Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1, ① 等式两边同乘以 x 得: xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn. ② ①-②得: (1-x)Sn=1+2x(1+x+x2+…+xn-2)-(2n-1)xn=1-(2n-1)xn+
2 x( x n ?1 ? 1) , x ?1

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) ∴Sn= . ( x ? 1) 2
21.解析:∵a1an=a2an-1=128,又 a1+an=66, ∴a1、an 是方程 x2-66x+128=0 的两根,解方程得 x1=2,x2=64, ∴a1=2,an=64 或 a1=64,an=2,显然 q≠1. 若 a1=2,an=64,由
a1 ? a n q =126 得 2-64q=126-126q, 1? q

∴q=2,由 an=a1qn-1 得 2n-1=32, 若 a1=64,an=2,同理可求得 q=

∴n=6.

1 ,n=6. 2 1 综上所述,n 的值为 6,公比 q=2 或 . 2 22.解析:依题意,每年年底的人口数组成一个等比数列{an}:a1=50,q=1+1%=1.01,n=11 则 a11=50×1.0110=50×(1.015)2≈55.125(万), 又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{bn}:b1=16×50=800,d=30,n=11 ∴b11=800+10×30=1100(万米 2) 因此 2000 年底人均住房面积为:1100÷55.125≈19.95(m2)

8


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