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数学文卷·2015届河南省顶级名校高三入学定位考试(2014.08)


河南省顶级名校 2015 届高三年级入学定位考试 文科数学试卷
(时间:120 分钟 满分:150 分) 【试卷综析】本试卷是高三文科试卷,考查了高中全部内容.以基础知识和基本技能为载体, 以能力测试为主导,在注重考查学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力, 重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面. 试题重点考查:集合、不等式性质、基本不等式、导数的综合应用、函数的性质及图象、 圆锥曲线、立体几何综合、解三角形、概率、程序框图、二项式定理、绝对值不等式、 参数方程极坐标、几何证明选讲、数列、命题及命题之间的关系、复数等;考查学生解 决实际问题的综合能力,是份较好的试卷. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 【题文】1、已知集合 M ? x x ? x , N ? y y ? 2 , x ? R ,则 M
2 x

?

?

?

?

N ?(



A. ? 0,1?

B.

? 0,1?

C.

?0,1?

D. ? 0,1?

【知识点】集合的表示及集合的交集 A1 【答案解析】A 解析:因为 M ? x x ? x 所以 M

?

2

? ? ?x 0 ? x ? 1?, N ? ? y y ? 2 ? ? ? y y ? 0? ,
x

N ? ? 0,1? ,则选 A .

【思路点拨】 在进行集合的运算时, 能结合集合的元素特征进行转化的应先对集合进行转化 再进行运算. 【题文】2、 已知复数 z ? A.

i3 ,则 z 的虚部是( 2i ? 1
1 5
C. ?



1 5

B.

?

1 i 5

D.

?

2 5

【知识点】复数的运算及复数的概念 L4 【答案解析】 B 解析: 因为 z ?

?i ?1 ? 2i ? 1 i3 ?i 2 1 所以 z 的虚部是 ? , ? ? ?? ? i, 5 2i ? 1 2i ? 1 5 5 5

则选 B. 【思路点拨】复数的代数运算是常考的知识点,应熟练掌握,注意复数的虚部是 i 的系数, 而不是 ?

1 i. 5

【题文】3、某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数如下茎 叶 图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( ) A.117 B.118 C.118.5 D.119.5

【知识点】茎叶图、极差、中位数 I2 【答案解析】B 解析:由所给的茎叶图可知:最小的数为 56,最大的数为 98,所以极差为 98 ﹣ 56=42 ,又中位数为 76 ,所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 42+76=118,则选 B . 【思路点拨】正确认识茎叶图,理解极差与中位数的概念是解题的关键. 【题文】4、已知双曲线 my 2 ? x 2 ? 1(m ? R ) 与椭圆 渐近线方程为( A. y ? ? 3 x ) B. y ? ?

y2 ? x 2 ? 1 有相同的焦点,则该双曲线的 5

3 x 3

C. y ? ?

1 x 3

D. y ? ?3 x

【知识点】双曲线与椭圆的几何性质 H5 H6 【答案解析】A 解析:因为椭圆的焦点坐标为(0,±2),由双曲线方程 my 2 ? x 2 ? 1(m ? R ) 得

1 y2 1 ? x 2 ? 1 ,则 ? 1 ? 4 得 m= ,所以其渐近线方程为 y ? ? 3x 则选 A. 1 3 m m
【思路点拨】在由椭圆和双曲线方程求其焦点和渐近线方程时,若方程不是标准形式,应把 方程先化成标准形式,再进行解答. 【题文】5、平面向量 a 与 b 的夹角为

2? , a ? (3, 0) , | b |? 2 ,则 | a ? 2b | =( 3
C. 7 D. 3



A. 13 B. 37 【知识点】向量的数量积及向量的模 F3 【 答 案 解 析 】 A 解 析 : 因 为 a ?3
2 2 2

a ? b ? 3 ? 2 ? cos

2? ? ?3 , 所 以 3

a ? 2b ?

a ? 2b ? a ? 4b ? 4a ? b ? 9 ? 16 ? 12 ? 13 ,则选 A.
2 2

【思路点拨】求向量的模经常利用模的性质 a ? a

进行转化求解.

【题文】6.下列有关命题的叙述, ①若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题;②“ x ? 5 ” 是 “ x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ” 的 充 分不 必要 条件 ; ③ 命题 p : ?x ? R , 使 得 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 则

?p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ;④命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否
命题为“若 x ? 1 或 x ? 2 ,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”。其中错误的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

【知识点】命题及真假的判断 A2A3 【答案解析】B 解析:①若 p ? q 为真命题,则只需 p,q 中有一个为真即可,所以 p ? q 不

一定为真命题, 所以说法错误; ②由“ x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ”得 x>5 或 x<-1, 所以“ x ? 5 ” 是 “ x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 说 法 正 确 ; ③ 命 题 p : ?x ? R , 使 得

x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ;结合特称命题的否定形式知说
法正确;④命题 “ 若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ” 的逆否命题应为 “ 若 x ? 1 且

x ? 2 ,则 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”,所以说法错误,综上正确的说法有②③,所以选 B.
【思路点拨】理解充要条件、命题的否定、及逆否命题概念是解题的关键. 【题文】7、在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 am ?1 ? am ?1 ? 2am (m ? 2) ,数列 ?an ? 的 前 n 项积为 Tn ,若 T2 m ?1 ? 512 ,则 m 的值为( A.4 B.5 【知识点】等比数列的性质 D3 C. 6 ) D. 7

2 【 答 案 解 析 】 B 解 析 : 由 am ?1 ? am ?1 ? 2am (m ? 2) 得 am ? 2am , 得 am ? 2 , 所 以

T2m?1 ? am2m? 1 ? 2

m 2? 1

9 2m﹣1=9,所以 m=5,则选 B. ? 512 ? 2 ,得

【思路点拨】在客观题中遇到等比数列问题时,一般先观察其项数是否有性质特征,有性质 特征的用性质解题,无性质特征的用公式转化求解. 【题文】8、设偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的 部分图象如图所示, ?KML 为等腰直角三角形,?KML ? 90 , KL ? 1 , 则 f ( ) 的值为( A. ?

1 6



3 4

B. ?

1 4

C. ?

1 2

D.

3 4

【知识点】三角函数的图像 C4 【答案解析】D 解析:由函数为偶函数,且 0<φ <π ,得 ? ? 期为 2,所以

?
2

,又由 KL ? 1 得最小正

? ??

, 由 ?KLM 为 等 腰 直 角 三 角 形 得 A=

1 ,所以 2

1 ? ?? 1 ? 3 ?1? 1 ,则选 D . f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? cos ? x, f ? ? ? cos ? 2 ? 2? 2 6 4 ?6? 2
【思路点拨】 本题可先由图像求出函数的解析式再求值, 在求解析式时应抓住图像特征和解 析式中对应的系数的关系求解. 【题文】9、执行如图中的程序框图,若输出的结果为 21,则判断框中应填( A. i ? 5 B. )

i?6

C. i ? 7

D. i ? 8

【知识点】程序框图 L1 【答案解析】C 解析:依次执行程序框图中的循环结构,第一次执行循环体得 S=﹣1,i=2; 第二次执行循环体得 S=3,i=3;第三次执行循环体得 S=﹣6,i=4;第四次执行循环体 得 S=10,i=5;第五次执行循环体得 S=﹣15,i=6;第六次执行循环体得 S=21,i=7; 因为输出的结果为 21,所以 i=7 不满足判断框条件,则选 C. 【思路点拨】本题主要考查的是程序框图及其应用,程序框图是高考常考的知识点,对于循 环结构的程序框图,可一一列举出每次循环的结果直到跳出循环,即可得到解答. 【题文】10、如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( ) A.54 B.27 C.18 D. 9 【知识点】几何体的三视图、棱锥的体积 G2 G7 【答案解析】C 解析:由三视图可知该几何体一个倒放的四棱锥,其底面面积为 3×6=18, 高为 3,所以其体积为 ? 18 ? 3 ? 18 ,则选 C. 【思路点拨】 本题主要考查的是几何体的三视图, 由几何体的三视图求体积关键是分析出原 几何体的特征.

1 3

(第 9 题图)
2

(第 10 题图)

【题文】11、抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 A, B 在抛物线上,且 ?AFB ? 120 ,弦 AB 中 点 M 在其准线上的射影为 N ,则

MN AB

的最大值为(



A.

3 3

B.

2 3 3

C.

3

D.

4 3 3

【知识点】抛物线的定义、余弦定理、基本不等式 H7 C8 E6 【答案解析】A 解析:设 MN ? m, AB ? n, AF ? x, BF ? y ,则 x+y=2m,由余弦定理 得
2 ? x? y? 3 2 n ? x ? y ? 2 xy cos120? ? ? x ? y ? ? xy ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? x ? y ? ? 3m ? 2 ? 4 2 2 2 2 2 2

,则

MN AB

?

m 3 ,所以选 C. ? n 3

【思路点拨】在圆锥曲线中,一般遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系时,注意利用其定义 寻求等量关系进行解答. 【 题文 】 12. 己知函 数 f ( x ? 1) 是偶 函数 ,当 x ? (1, ??) 时 , 函数 f ( x) 单调 递减 ,设

1 a ? f (? ), b ? f (3), c ? f (0) ,则 a, b, c 的大小关系为( ) 2 A. b ? a ? c B. c ? b ? a C. b ? c ? a D. a ? b ? c
【知识点】利用函数的单调性比较大小 B3B4 【答案解析】A 解析:因为函数 f ( x ? 1) 是偶函数,所以函数 f(x)图像关于直线 x=对称,又 当 x ? (1, ??) 时,函数 f ( x) 单调递减,所以距离对称轴越近,函数值越大,则有 b<a <c,所以选 A. 【思路点拨】结合已知条件,抓住其图像的对称性及单调性,即可解答 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?2 x ? y ? 0 ? 【题文】13、若点 P ( x, y ) 满足线性约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 则 z ? x ? y 的取值范围 ?y ? 0 ?
是 .

【知识点】简单的线性规划 E5 【答案解析】[﹣2,0)解析:不等式组表示的平面区域为如图中的三角形 ABO 表示的区域, 因为 A、B 的坐标分别为(﹣2,0)、 ? 的值为﹣2,﹣

?2 4? , ? 将 A、B、O 三点坐标分别代入目标函数得 z ?3 3?

2 ,0,所以 z ? x ? y 的取值范围是[﹣2,0) 3

. 【思路点拨】一般由线性约束条件求目标函数的最值,其最值点必存在于区域的顶点,可把 区域顶点坐标代入目标函数即可得到其最大值与最小值,进而得其值域. 【题文】14、已知直线 2ax ? by ? 1 (其中 a, b 为非零实数)与圆 x ? y ? 1 相交于 A, B
2 2

两点, O 为坐标原点,且 ?AOB 为直角三角形,则 【知识点】直线与圆位置关系,基本不等式 H4E6

1 2 ? 2 的最小值为 2 a b



【答案解析】4 解析:因为且 ?AOB 为直角三角形,所以圆心到直线 2ax ? by ? 1 的距离 为

2a 2 ? b 2 2 1 2 ? 1 ,所以 ,则有 ,得 ? 2 2 2 2a 2 ? b2

2 ? ? 2a 2 ? b 2 ? 1 ? b 2 4a 2 ? 1 1 2 ? 1 ? =? ? ??? ? ? ? ? 4 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 4 ? 4? ? 4 . 2 a b ? 2 a 2 b2 ? a 2 b2 ? ? ? 2 ?
【思路点拨】一般遇到直线与圆的位置关系问题经常转化为圆心到直线的距离建立等量关 系,在已知条件求最值时注意用 1 的代换转化为基本不等式特征再求最小值. 【题文】 15 、设 O 是 ?ABC 的三边中垂线的交点 , a, b, c 分别为角 A, B, C 对应的边 , 已知

uuu r uuu r b 2 ? 2b ? c 2 ? 0 ,则 BC ? AO 的范围是___________.
【知识点】平面向量及其应用 F3 【答案解析】 ? ?

? 1 ? , 2 ? 解析:设 O 是△ABC 的三边中垂线的交点,故 O 是三角形外接圆的 ? 4 ?
AC AD AB AD

圆心,如图所示,延长 AO 交外接圆于 D. ∵AD 是⊙O 的直径,∴∠ACD=∠ABD=90°.
∴cos ∠ CAD = ,cos ∠ BAD = .所以

1 1 1 1 1 BC ? AO? AC ? AB ? AD ? AD? AC ? AD? AB ? AD AC cos ?DAC ? AD AB cos ?DAB = 2 2 2 2 2

?

?

1 1 1 1 1 1 1? 1 ? AC 2 ? AB2 ? b2 ? c2 ? b2 ? ? 2b ? b2 ? ? ? b ? ? ? ,∵c2=2b-b2>0,解得 2 2 2 2 2 2 2? 4 ? uuu r uuu r 1 1 0<b<2.所以当 b ? 时取得最小值为 ? ,又 f(0)=0,f(2)=2.所以 BC ? AO 的范 2 4
围是 ? ?

2

? 1 ? ,2? . ? 4 ?

. 【思路点拨】本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数 的单调性等基础知识与基本方法. 【 题 文 】 16 、 已 知 有 限 集 A ? ?a1 , a2 , a3 , ???, an ?? n ? 2, n ? N ? . 如 果 A 中 元 素

ai ? i ? 1, 2,3, ???, n ? 满足 a1a2 ??? an ? a1 ? a2 ? ??? ? an ,就称 A 为“复活集”,给出下列结论:
①集合 ?

? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? ? , ? 是 “ 复 活 集 ” ; ② 若a1 , a2 ? R, 且 ?a1 , a2 ? 是 “ 复 活 集 ” , 则 2 ? ? 2 ? ?

a1a2 ? 4 ;③ 若a1 , a2 ? N * , 则?a1 , a2 ? 不可能是“复活集”;④若 ai ? N * ,则“复活集” A 有
且只有一个,且 n ? 3 . 其中正确的结论是___________________. (填上你认为所有正确的结论序号) 【知识点】集合的应用 A1 【答案解析】①③④解析:因为

?1 ? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? ?1, ? ? ?1 ,所以① 2 2 2 2
2

正确;②不妨设 a1+a2=a1a2=t,则由韦达定理知 a1,a2 是一元二次方程 x -tx+t=0 的两个根, 由 △ > 0 , 可 得 t < 0 , 或 t > 4 , 故 ② 错 ; ③ 不 妨 设 A 中 a1 < a2 < a3 < ? < an , 由 a1a2?an=a1+a2+?+an<nan,得 a1a2?an-1<n,当 n=2 时,即有 a1<2,∴a1=1,于是 1+a2=a2, a2 无解,即不存在满足条件的“复活集”A,故③正确.当 n=3 时,a1a2<3,故只能 a1=1, a2=2 , 求 得 a3=3 , 于 是 “ 复 活 集 ”A 只 有 一 个 , 为 {1 , 2 , 3} . 当 n≥4 时 , 由 a1a2?an-1≥1×2×3×?×(n-1) ,即有 n>(n-1)!,也就是说“复活集”A 存在的必要条 2 2 件是 n>(n-1)!,事实上, (n-1)!≥(n-1) (n-2)=n -3n+2=(n-2) -2+n>2,矛盾, ∴当 n≥4 时不存在复活集 A,故④正确.故答案为:①③④. 【思路点拨】 本题考查的知识点是元素与集合的关系, 正确理解已知中的新定义“复活集” 的含义是解答的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分) 【题文】 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 对的边分别为 a, b, c , 已知 a ? 2 . (Ⅰ)若 A ?

?
3

,求 b ? c 的取值范围;

(Ⅱ)若 AB ? AC ? 1 ,求 ?ABC 面积的最大值. 【知识点】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式 C8 E6 【答案解析】 (1)? 2.4? (2) 2 解析: (1) a ? 2, A ? ( 2 分)

?
3

,?

a 4 3 ? ? 2 R ……… sin A 3

? b ? c ? 2 R sin B ? 2 R sin C ?

4 3 4 3 4 3 4 3 ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( B ? ) 3 3 3 3 3

? 2 3 sin B ? 2 cos B ? 4sin( B ? ) 6
A?

?

?
3

?B ?C ?

2? 2? ? ? 5? ? 1 ?0 ? B ? ? ? B? ? ? sin( B ? ) ? ( ,1] . 3 3 6 6 6 6 2

? b ? c ? (2, 4]

………( 6 分)

(2)

1 b2c 2 ? 1 AB ? AC ? bc cos A ? 1? cos A ? ? 0 ? sin A ? ……… (8 分) bc bc
……

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? 6 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? bc ? 3? b 2c 2 ? 9
…( 10 分)

1 1 b2c 2 ? 1 1 2 2 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? bc ? ? b c ?1 ? 9 ?1 ? 2 2 2 bc 2 2
当且仅当 b ? c ?

3 时, ?ABC 的面积取到最大值为 2 . ……… (12 分).

【思路点拨】求 b ? c 范围时可利用正弦定理把边化成角,再利用角的范围求三角函数的取 值范围,因为已知夹角,可用夹角的面积公式解决三角形面积问题. 【题文】18、 (本小题满分 12 分)如图 , 四棱柱 D1 C1 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底

A1

B1

面中心, A1O⊥平面 ABCD, AB ? AA1 ? 2 . (Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. 【知识点】两面平行的判定、棱柱的体积 G4G7

D A O B

C

【答案解析】(Ⅰ)略(Ⅱ)1 解析: (I)设 B1 D1 线段的中点为 O1 ,因为 BD 和 B1D1 是四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 对应的棱。 所以 BD∥ B1D1 , 同理 AO∥A1O1, 得 OC∥A1O1, 又 OC=A1O1, 所以四边形 A1OCO1 为平行四边形,则 A1O∥O1C 且 AO 1 ? BD ? O, O 1C ? B 1D 1 ?O 1 ,所 以 A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ)因为 A1O⊥平面 ABCD,所以 A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高,在正方形 ABCD 中 AO=1, 在直角三角形 A1OA 中, A1O=1, 所以 VABD ? A1B1D1 ? S
ABD

1 ? A1O ? ? 2

? 2 ? ?1 ? 1 .
2

【思路点拨】 证明面面平行主要是利用面面平行的判定定理进行证明, 求棱柱的体积关键是 求出其底面积与高. 【题文】19、 (本小题满分 12 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的 期中考试数学成绩 (满分 100 分, 成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六段:?40,50 ? ,?50,60 ? ,…,?90,100? 后得到如图的频率 分布直方图. (Ⅰ)求图中实数 a 的值; (Ⅱ)若该校高一年级共有学生 500 人,试估计该校高一年级 在这次考试中成绩不低于 60 分的人数. (Ⅲ)若从样本中数学成绩在 ? 40,50 ? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,

试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率。 【知识点】频率分布直方图、概率 I2K2

7 15 解析: (I)由 0.05 ? 0.1 ? 0.2 ? 10a ? 0.25 ? 0.1 ? 1 ,可得 a ? 0.03 。
【答案解析】 (Ⅰ)0.03(Ⅱ)425 人(Ⅲ) (Ⅱ)因为数学成绩不低于 60 分的概率为:0.2+0.3+0.25+0.1=0.85,所以数学成绩不低于 60 分的人数为 500×0.85=425 人 (Ⅲ)数学成绩在 ? 40,50 ? 的学生人数为 40×0.05=2 人,数学成绩在 ?90,100? 的学生人数为 40×0.1=4 人,设数学成绩在 ? 40,50 ? 的学生为 A,B,数学成绩在 ?90,100? 的学生为 C,D,E,F,抽取两名学生的结果有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF 共 15 种 , 其 中 两 名 学 生 的 数 学 成 绩 之 差 的 绝 对 值 不 大 于 10 的 情 况 有 AB,CD,CE,CF,DE,DF,EF 共 7 种,所以两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的 概率为

7 . 15

【思路点拨】正确认识频率分布直方图,理解频率分布直方图的性质是解题的关键,在计算 概率时,先分清是古典概型还是几何概型,对于古典概型的概率可用列举法进行计算. 【题文】20、(本小题满分 12 分)

x2 y 2 1 ? 3? 离心率为 , 左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 过 F1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A ?1, ? , 2 a b 2 ? 2? 的直线交椭圆于 A, B 两点.
椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当 ?F2 AB 的面积为

12 2 时,求直线的方程. 7

【知识点】圆锥曲线综合应用 H8 H5

x2 y 2 【 答 案 解 析 】 (1) (1)因为椭圆 ? ? 1 (2) x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 解 析 : 4 3 C: x2 y 2 1 9 1 ? 3? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 A ?1, ? ,所以 2 ? 2 ? 1 ①,又因为离心率为 ,所以 2 a b a 4b 2 ? 2?

b2 3 c 1 ? ,所以 2 ? ②,解①②得 a 2 ? 4, b 2 ? 3. a 4 a 2
所以椭圆的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ……… (4 分) 4 3

(2)①当直线的倾斜角为

?
2

时, A(?1, ), B ( ?1, ? ),

3 2

3 2

S ?ABF2 ?

1 1 12 2 ,不适合题意。……… (6 分) AB ? F1 F2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 2 7

②当直线的倾斜角不为

?
2

时,设直线方程 l : y ? k ( x ? 1) ,

代入

x2 y 2 ? ? 1 得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ……… (7 分) 4 3

?8k 2 4k 2 ? 12 设 A( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
? S ?ABF2 ? 12 k
2

1 y1 ? y2 ? F1 F2 ? k 2 ? 12 2 7

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? k

(

?8k 2 2 4k 2 ? 12 ) ? 4( )? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

k 2 ?1

4k ? 3

?17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 ? k 2 ? 1? k ? ?1 ,
所以直线方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ……… (12 分). 【思路点拨】一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题,通常设方程,联立方程,利用韦达定 理建立等量关系进行解答. 【题文】21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ( x ? 1) ? ln x ? 1 .
2

1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的极值; 4 (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [2, 4] 上是减函数,求实数 a 的取值范围;

? x ? 1, (Ⅲ)当 x ? [1, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内,求 ?y ? x ? 0 实数 a 的取值范围. 【知识点】导数的综合应用 B12

【答案解析】 (Ⅰ)有极大值为 解析: (Ⅰ)当 a ? ?

3 1 ? ln 2 ,无极小值; (Ⅱ) (??, ? ] (Ⅲ) (??, 0] 4 4

1 1 2 时, f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? ln x ? 1? x ? 0 ? , 4 4

? x ? 2?? x ? 1? x ? 0 ,由 f ’(x) >0 解得 0<x<2,由 f ’(x) <0 1 1 1 f '? x? ? ? x ? ? ? ? ? ? 2 x 2 2x
解得 x>2,所以当 0<x<2 时函数单调递增,当 x>2 时函数单调递减,则当 x=2 时,函数 取得极大值为

3 ? ln 2 ; 4

(Ⅱ) f ?( x) ? 2a( x ? 1) ? ∴ f ?( x) ? 2a( x ? 1) ? 只需 2a 不大于

1 ,∵函数 f ( x) 在区间 [2, 4] 上单调递减, x

1 1 在 [2, 4] 上恒成立, ? 0 在区间 [2, 4] 上恒成立,即 2a ? 2 x ?x ? x

1 1 1 ? 在 [2, 4] 上的最小值即可.而 2 (2 ? x ? 4) ,则当 ? x ? x ?( x ? 1 ) 2 ? 1 ?x ? x 2 4
2

1 1 1 1 1 1 ∴ 2a ? ? , 即a ? ? , 故实数 a 的取值范围是 (??, ? ] . 2 ? x ? 4 时, 2 ? [? , ? ] , ?x ? x 2 12 2 4 4

? x ? 1, (Ⅲ) 因 f ( x) 图象上的点在 ? 所表示的平面区域内,即当 x ? [1, ??) 时,不等式 ?y ? x ? 0

, f ( x) ? x 恒成立,即 a( x ? 1) 2 ? ln x ? x ? 1 ? 0 恒成立,设 g ( x) ? a( x ? 1) 2 ? ln x ? x ? 1( x ? 1 ) 只需 g ( x) max ? 0 即可. 由 g ?( x) ? 2a( x ? 1) ? (ⅰ)当 a ? 0 时, g ?( x) ?
g ( x) ? g (1) ? 0 成立.
2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 (ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ? x
x2 ? 1 , 2a 1 1 ? 1 ,即 a ? 时,在区间 (1, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,函 2a 2

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 1 , ?1 ? x x

1? x ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,故 x

2a( x ? 1)( x ? x

1 ) 2a ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 1

①若

数 g ( x) 在 [1, ??) 上无最大值,不满足条件; ②若
1 1 1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (1, ) 上单调递减,在区间 ( , ??) 上单调递增, 2a 2 2a 2a

同样 g ( x) 在 [1, ??) 上无最大值,不满足条件.
2a( x ? 1)( x ? x 1 ) 2a ,因 x ? (1, ??) ,故 g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 在

(ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

(1, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (1) ? 0 成立.

综上所述,实数 a 的取值范围是 (??, 0] .. 【思路点拨】 求函数的极值就是寻求使函数的导数等于 0 的位置, 再通过判断两侧的导数符 号确定是极大值还是极小值, 由函数的单调性求参数的范围通常转化为导数恒正或恒负问题 进行解答. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 【题文】22、 (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲

已知,在 ?ABC 中, D 是 AB 上一点, ?ACD 的外接圆交 BC 于 E , AB ? 2 BE . (Ⅰ)求证: BC ? 2 BD ; (Ⅱ)若 CD 平分 ?ACB ,且 AC ? 2, EC ? 1 ,求 BD 的长. 【知识点】相似三角形、切割线定理 N1 【答案解析】 (Ⅰ)略(Ⅱ)1 解析: (Ⅰ)连接 DE ,∵四边形 ACED 是圆的内接四边形, ∴ ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA ,∴ ?DBE ∽ ?CBA ,

BE BD , ? AB BC 又 AB ? 2 BE ,∴ BC ? 2 BD
∴ (Ⅱ)由(Ⅰ) ?DBE ∽ ?CBA ,知

………………………(5 分)

BE ED ,又 AB ? 2 BE ,∴ AC ? 2 DE , ? AB AC ∵ AC ? 2 ,∴ DE ? 1 ,而 CD 是 ?ACB 的平分线∴ DA ? 1 , 设 BD ? x ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC
即 x ? x ? 1? ?

1 1 , ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 1? ? ? 2 ?2 ?

解得 x ? 1 ,即 BD ? 1 …………(10 分). 【思路点拨】 在三角形中寻求边长之间的关系经常利用相似三角形性质进行解答, 对于第二 问可在第一问的基础上利用切割线定理求解. 【题文】23、 (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

C : ? sin 2 ? ? 2a cos? ? a ? 0? , 已 知 过 点 P ? ?2, ?4 ? 的 直 线 的 参 数 方 程 为 :
? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ? 2 t 2 t是参数 ? ? ,直线与曲线 C 分别交于 M , N . 2 t 2

(Ⅰ)写出曲线 C 和直线的普通方程; (Ⅱ)若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值. 【知识点】极坐标,参数方程 N3 【答案解析】 (Ⅰ) y ? 2ax, y ? x ? 2 (Ⅱ)a=1
2

解析: (Ⅰ) y ? 2ax, y ? x ? 2 …………………(4 分)
2

(Ⅱ)直线的参数方程为(t 为参数),代入 y 2 ? 2ax 得到

t 2 ? 2 2 (4 ? a )t ? 8(4 ? a ) ? 0 ,

则有 t1 ? t 2 ? 2 2 (4 ? a ), t1 ? t 2 ? 8(4 ? a ) , 因为 MN
2

? PM PN ,所以 ? t1 ? t2 ? ? t1t2 ,
2 2

即 ? t1 ? t2 ? ? 5t1t2 ,即 8 ? 4 ? a ? ? 40 ? 4 ? a ?
2

解得 a ? 1 …………………10 分. 【思路点拨】 曲线的极坐标方程化成直角坐标方程, 可在所给的极坐标方程的基础上凑出ρ cosθ ,ρ sinθ ,再分别替换成 x,y 即可,参数方程化成普通方程关键是消去参数,常见的 有代入消参,整体消参等. 【题文】24、(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| . (Ⅰ)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (Ⅱ)当 a ? 0 时, 不等式 2a ? 3 ? f (ax) ? af ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【知识点】绝对值不等式的解法及利用绝对值不等式求最值 N4 【答案解析】解析:(Ⅰ)原不等式等价于:当 x ? 1 时, ?2 x ? 3 ? 2 ,即

1 ? x ? 1; 2 5 . 2

当 1 ? x ? 2 时, 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 ; 当 x ? 2 时, 2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ? x ? 综上所述,原不等式的解集为 {x | (Ⅱ)当 a ? 0 时,

1 5 ? x ? } .…………(5 分) 2 2

f (ax) ? af ( x) ?| ax ? 1| ?a | x ? 1| = | ax ? 1| ? | a ? ax | ? | ax ? 1 ? a ? ax |?| a ? 1| 所以 2a ? 3 ?| a ? 1| ?a ? 2 ……………(10 分).
【思路点拨】绝对值不等式是常考题型,一般可用零点分段讨论去绝对值解不等式,对于不 等式恒成立问题通常转化为函数的最值问题进行解答.


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