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高中数学竞赛专题讲座解析几何


高中数学竞赛专题讲座——解析几何
一、选择题部分 1.(集训试题)过椭圆C:上任一点P,作椭圆C的右准线的垂线PH(H 为垂足),延长PH到点Q,使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运 动时,点Q的轨迹的离心率的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 解:设P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为x=3,所以H点的坐标 为(3, y)。又∵HQ=λPH,所以,所以由定比分点公式,可得:,代 入椭圆方程,得Q点轨迹为,所以离心率e=. 故选C. .(2006年南昌市)抛物线顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y=12 上,则抛物线方程为(D) A. B. C. D. (2006年江苏)已知抛物线,是坐标原点,是焦点,是抛物线上的 点,使得△是直角三角形,则这样的点共有(B) A.0个 B.2个 C.4个 D.6个 4.(200 6天津)已知一条直线与双曲线()的两支分别相交于、两点,为 原点,当时,双曲线的中心到直线的距离等于(A) A.  B.  C.   D. 5.(2005全国)方程表示的曲线是 (   ) A.焦点在轴上的椭圆      B.焦点在轴上的双曲线 C.焦点在轴上的椭圆       D.焦点在轴上的双曲线 解:即 又 方程表示的曲线是椭圆. 即曲线表示焦点在轴上的椭圆,选C。

6.(2006年浙江省预赛)已知两点A (1,2), B (3,1) 到直 线L的距离分别是,则满足条件的直线L共有 条. (C ) A.1 B.2 C.3 D.4 解: 由分别以A,B为圆心,,为半径作两个

圆,则两圆外切,有三条共切线。正确答案为 C。 7.(2006年浙江省预赛)设在平面上,,所围成图形 的面积为,则集合的交集所表示的图形面积为 (B) A. B. C. D. 解: 在xOy平面上的图形关于x轴与y轴均对 称,由此的图形面积只要算出在第一象限的图 形面积乘以4即得。为此,只要考虑在第一象 限的面积就可以了。由题意可得,的图形在第 一象限的面积为A=. 因此的图形面积为. 所以 选(B)。
二、填空题部分 1,3,5 1,3,5 1.(200 6天津)已知椭圆(),长轴的两个端点为、,若椭圆上存在点, 使,则该椭圆的离心率的取值范围是 . 2.(2006年江苏)已知,则的最大值是 9 . 3.(2006吉林预赛)椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点 为B,左焦点为F,若∠ABF是直角,则这个椭圆的离心率为 _________。 4.(2006陕西赛区预赛)若a,b,c成等差数列,则直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为 5.(2005年浙江)根据指令,机器人在平面上能完成下列动作: A x y P(x,y) O 先从原点O沿正东偏北()方向行走一段时

间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不定. 假定机器人行走速度为10米/分钟,则机器人行走2分钟 时的可能落点区域的面积是 . 【解】:如图,设机器人行走2分钟时的位置为P. 设机器人改 变方向的点为A,,。则由已知条件有 ,以及 .所以有 即所求平面图形为弓形,其面积为 平方米.

6.(2006年浙江省预赛)已知 , 。若为单元素集,则. 解 由 为单元素集,即直线与相切,则.
(2005全国)若正方形ABCD的一条边在直线上,另外两个顶点在抛物线上. 则该正方形面积的最小值为  80  . 解:设正方形的边AB在直线上,而位于抛物线上的两个顶点坐标 为、,则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立,得 令正方形边长为则① 在上任取一点(6,,5),它到直线的距离为②. ①、②联立解得或 8.(2004 全国)在平面直角坐标系XOY中,给定两点M(-1,2)和 N(1,4),点P在X轴上移动,当取最大值时,点P的横坐标为 _______________. 解:经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3-x 上,设圆心为S(a,3-a),则圆S的方程为:.对于定长的弦在优 弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当取最 大值时,经过M,N,P三点的圆S必与X轴相切于点P,即圆S的方 程中的a值必须满足解得 a=1或a=-7。即对应的切点分别为,而过 点M,N,的圆的半径大于过点M,N,P的圆的半径,所以,故点 P(1,0)为所求,所以点P的横坐标为1。 三、解答题部分 1,3,5

集训试题)已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2,Q是
上一动点,⊙Q与⊙P相外切,⊙Q交于M、N两点,对于任意直径MN, 平面上恒有一定点A,使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。 解:以为x轴,点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q的坐标为(x, 0),点A(k, λ),⊙Q的半径为r,则:M(x-r, 0), N(x+r,

0), P(2, 0), PQ==1+r。所以x=±, ∴tan∠MAN= , 令2m=h2+k2-3,tan∠MAN=,所以m+rk=nhr, ∴m+(1-nh)r=,两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r3k2, 因为对于任意实数r≥1,上式恒成立,所以,由(1)(2)式,得 m=0, k=0,由(3)式,得n=.由2m=h2+k2-3得h=±,所以 tan∠MAN==h=±。所以∠MAN=60°或120°(舍)(当Q(0, 0), r=1 时∠MAN=60°),故∠MAN=60°. .(2006吉林预赛)已知抛物线C:x2=2py(p>0),O是坐标原 点,M(0,b)(b>0)为y轴上一动点,过M作直线交C于A、B两点,设 S△ABC =mtan∠AOB,求m的最小值。( -0.5p2 )

.(2006年南昌市)(高二)给定圆P:及抛物线S:,过圆心作直线,此直线与上 述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,如果线段的长按此顺序构成一 个等差数列,求直线l的方程. 解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设l的方程为,即,代入抛物线方程 得:,设 有,则 故 ,因此 据等差,, 所以即, , 则l方程为或. ( 已知抛物线,其焦点为F,一条过焦点F,倾 斜角为的直线交抛物线于A,B两点,连接AO(O为坐标原点),交准线 于点,连接BO,交准线于点,求四边形的面积. 解:当时,. …………………(4分) 当时,令.设,则由

2006年上海)

, ② 消去x得,,所以 ,. ③ 又直线AO的方程为:,即为, 所以,AO与准线的交点的坐标为, 而由③知,,所以B和的纵坐标相等,从而轴.同理轴,故四边形 是直角梯形.………………(9分) 所以,它的面积为 .………………(14分) . (2005年浙江)(20分)设双曲线的左、右焦点分别为,,若的顶点P在第 一象限的双曲线上移动, 求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的 切点轨迹。 【解】 如图,记双曲线在轴上的两顶点为A(1, 0), B(-1, 0),G为 的内切圆 在边上的切点,H为的内切圆在边上的切点,K为的内切圆 在边上的切点。则有 ----5分 由双曲线的定义知,G必在双曲线上,于是G与A(1, 0)重合,是定 点。 而。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等, 所以的内切圆在边上的切点的轨迹是以为圆心, 为半径的圆弧。------- 10分 因为是在第一象限的曲线上移动,当沿双曲线趋于无穷时,与轴正 向的交角的正切的极限是 即 。 故点H的轨迹方程为 (极坐标形式) ,()-- 15分 也可以用直角坐标形式。由于G与A(1, 0)重合,是定点,故该内切 圆圆心的轨迹是直线段,方程为 ()。 -------------------------------- 20分

,①

(2006浙江省)在轴同侧的两个圆:动圆和圆 外切 (),且动圆与轴相切,求 (1)动圆的圆心轨迹方程L; (2)若直线与曲线L有且仅有一个公共点,求之值。 解:(1)由可得 由N,以及两圆在轴同侧,可知动圆圆心在轴

上方,设动圆圆心坐标为, 则有 整理得到动圆圆心轨迹方程 .……(5分) 另解 由已知可得,动圆圆心的轨迹是以为焦 点,为准线,且顶点在点(不包含该点)的抛 物线,得轨迹方程 ,即…………………(5分) (2)联立方程组 ① ② 消去得 , 由 整理得 ③ 从③可知 。 故令,代入③可得 再令,代入上式得 …………………(10分) 同理可得,。可令代入③可得 ④ 对④进行配方,得 对此式进行奇偶分析,可知均为偶数,所以为 8的倍数, 所以。令,则 . 所以 ………………………………… (15分) 仅当时,为完全平方数。于是解得 . …………………(20分)
10.(2004 全国)设p是给定的奇质数,正整数k使得也是一个正整数,则

k=____________. 解:设, 从而是平方数,设为 . (负值舍去) 1,3,5


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