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放缩法例题解析


放缩法例题解析
(2008 浙江) (22) (本题 14 分) 已 知 数 列

?an ?

, an ? 0 , a1 ? 0 , an?1 ? an?1 ? 1 ? an (n ? N ? ) . 记
2 2

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an
Tn ? 1 1 1 . ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? a n )
?



求证:当 n ? N 时, (Ⅰ) an ? an ?1 ;(Ⅱ) S n ? n ? 2 ; (Ⅲ) Tn ? 3 。 (Ⅰ)证明:用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,因为 a2 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的正根,所以 a1 ? a2 .
2

②假设当 n ? k (k ? N ) 时, ak ? ak ?1 ,
*

2 因为 ak ?12 ? ak ? (ak ?22 ? ak ?2 ?1) ? (ak ?12 ? ak ?1 ?1)

? (ak ?2 ? ak ?1 )(ak ?2 ? ak ?1 ? 1) ,
所以 ak ?1 ? ak ?2 . 即当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 也成立. 根据①和②,可知 an ? an?1 对任何 n ? N 都成立.
*

, 2, , n ?1 ( n ≥ 2 ) (Ⅱ)证明:由 ak ?12 ? ak ?1 ?1 ? ak 2 , k ? 1 ,
2 得 an ? (a2 ? a3 ?

? an ) ? (n ?1) ? a12 .

2 因为 a1 ? 0 ,所以 Sn ? n ?1 ? an .

由 an ? an?1 及 an?1 ? 1 ? an ? 2an?1 ? 1得 an ? 1 ,
2 2

所以 Sn ? n ? 2 . (Ⅲ)证明:由 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? ak ≥ 2ak ,得
2 2

a 1 ≤ k ?1 (k ? 2, 3, , n ? 1 ,n ≥ 3) 1 ? ak ?1 2ak

所以

1 (1 ? a3 )(1 ? a4 ) 1 (1 ? a2 )(1 ? a3 )

(1 ? an )



2

n n?2

a

a2

(a ≥ 3) ,

于是

(1 ? an )



2

n?2

an a 1 ? nn ? n?2 (n ≥ 3) , 2 ?2 (a2 ? a2 ) 2 2
? 3,

故当 n ≥ 3 时, Tn ? 1 ? 1 ? 又因为 T1 ? T2 ? T3 , 所以 Tn ? 3 .

1 ? 2

?

1 2
n?2

(2006 全国卷一) (22) 、 (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ;
4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3, 3 3 3

(Ⅱ)设 Tn ?

2n , n ? 1, 2,3, Sn

,证明: ? Ti ?
i ?1

n

3 2

4 1 2 4 1 2 .解: (Ⅰ)由 Sn= an- ×2n+1+ , n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1= a1- ×4+ 所以 a1=2. 3 3 3 3 3 3 4 1 2 再由①有 Sn-1= an-1- ×2n+ , n=2,3,4,… 3 3 3 4 1 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)- ×(2n+1-2n),n=2,3, … 3 3 整理得: an+2n=4(an-1+2n 1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数 - 列,即 : an+2n=4×4n 1= 4n, n=1,2,3, …, 因而 an=4n-2n, n=1,2,3, …,


(Ⅱ)将 an=4n-2n 代入①得 Sn= 2 = ×(2n+1-1)(2n-1) 3

4 1 2 1 ×(4n-2n)- ×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) 3 3 3 3

2n 3 2n 3 1 1 Tn= = × n+1 = ×( n - n+1 ) Sn 2 (2 -1)(2n-1) 2 2 -1 2 -1 - i+1 ) = ×( 1 - i+1 ) < Ti = 2 ? ( i ? 2 2 -1 2 2 -1 2 -1 2 -1 i ?1 i ?1
n

所以,

3

n

1

1

3

1

1

3

21.在数列 ?an ? ,?bn ? 中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn?1 成等比数列. ⑴求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 ?an ? ,?bn ? 的通项公式,并证明你的结论; ⑵证明:

1 1 ? ? a1 ? b1 a2 ? b2

?

1 5 ? . an ? bn 12

2 解: (Ⅰ)由条件得 2bn ? an ? an?1 ,an ?1 ? bnbn?1

由此可得 a2 ? 6 ,b2 ? 9,a3 ? 12,b3 ? 16,a4 ? 20,b4 ? 25 .

2分

猜测 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1)2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即

ak ? k (k ? 1),bk ? (k ? 1)2 ,
那么当 n=k+1 时,
2 ak ?2 ? (k ? 2) 2 . bk

ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2(k ? 1)2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2),bk ?1 ?
所以当 n=k+1 时,结论也成立.

由①②,可知 an ? n(n ? 1),bn (n ?1)2 对一切正整数都成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (Ⅱ)

1 1 5 ? ? . a1 ? b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2(n ? 1)n . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 故

1 1 1 1 1? 1 1 1 ? ? ? …? ? ? ? ? ? …? ? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 6 2 ? 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) ?
1 1?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?…? ? ? 6 2?2 3 3 4 n n ?1 ? 1 1?1 1 ? 1 1 5 ? ? ? ?? ? ? 6 2 ? 2 n ? 1 ? 6 4 12

?

?

综上,原不等式成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 (2009 四川)22. (本小题满分 14 分)

设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记

bn ?

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式; (II)记 cn ? b2n ? b2n?1 (n ? N * ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都 有 Tn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(III)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn 。已知正实数 ? 满足:对任意正整数 n, Rn ? ? n 恒成立, 求 ? 的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想,以及推理论证、 分析与解决问题的能力。 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ? 又 Q an ? 5an ? 1, an?1 ? 5an?1 ? 1

3 ; 2

1 4

1 ? an ?1 ? an ? 5an ?1 , 即an ?1 ? ? an 4 1 1 ? 数列 ?an ? 成等比数列,其首项 a1 ? ? ,公比是 q ? ? 4 4 1 ? an ? (? ) n 4 1 4 ? (? ) n 4 ……………………………………..3 分 ? bn ? 1 n 1 ? (? ) 4 5 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ? (?4) n ?1 5 5 25 ?16n ? cn ? b2 n ? b2 n?1 ? 2 n ? 2 n?1 ? 4 ? 1 4 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4) 25 ?16n 25 ?16n 25 = ? ? (16n )2 ? 3 ?16n ? 4) (16n ) 2 16n 13 4 ,? c1 ? 又 b1 ? 3, b2 ? 3 3 3 当 n ? 1时,T1 ? 2 4 1 1 1 当 n ? 2时,Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? K ? n ) 3 16 16 16 1 1 n ?1 [1 ? ( ) ] 2 4 16 16 ? ? 25 ? 1 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? ......................7分 1 48 2 3 1? 16

(Ⅲ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ?1

一方面,已知 Rn ? ? n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 则 Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2k ?1

1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? ( ?1 ?2 ?3 K? K ? ) k2 ? 1 4 ? 1 4 ? 1 4? 1 4 ? 1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5? ? [ 1 ? ( 2 ? 3 ?)K K ? (k 2 ? k ?2 1 )] 4 ?1 4? 1 4 ? 1 4 ? 1 4 ? 1 > 4n ? 1 ??n ? Rn ? 4n ?1,即(? ? 4)n ? ?1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立 1 的正奇数 n 成立,矛盾。 ?? ? 4, 否则,(? ? 4)n ? ?1只对满足 n ? 4?? 另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn ? 4n
事实上,对任意的正整数 k,有

b2 n ?1 ? b2 n ? 8 ?

5 (?4)
2 k ?1

5 ? 1 (?4) 2 k ? 1 ?

? 8?

5 20 ? k (16) ? 1 (16)k ? 4

15 ?16k ? 40 ? 8? k ?8 (16 ? 1)(16k ? 4) ? 当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N * ) 则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?1 ? b2m ) < 8m ? 4 n * 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N ) 则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 < 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ? 对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n 综上所述,正实数 ? 的最小值为 4………………………….14 分


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