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三角函数的最大值与最小值


求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容,也是高考中的常见题型,本文 对三角函数的求最值问题进行归类研究,供同学们借鉴。

一、化成

的形式

【例 1】在直角三角形中,两锐角为 A 和 B,求

的最大值。

【解析】



,得

,则当

时,

有最大值



【例 2】求函数



上的最大值和最小值。

【解析】



,得







则当 x=0 时,

;当

时,

【点评】这类题目解决的思路是把问题化归为 而言, 法是通过图象加以解决。

的形式,一般

,但若附加了 x 的取值范围,最好的方

例 2 中,令

,画出



上的图象(如图 1),

图1

不难看出

,即



应注意此题容易把两个边界的函数值 值。



误认为是最大值和最小

二、形如

的形式

【例 3】求函数

的最大值和最小值。

【解析】由已知得 即

, ,

所以







解得



故 【点评】上述利用正(余)弦函数的有界性,转化为以函数 y 为主元的不等式,是 解决这类问题的最佳方法。虽然本题可以使用万能公式,也可以利用圆的参数方程 和斜率公式去求解,但都不如上述解法简单易行。有兴趣的同学不妨试一试其他解 法。

三、形如

的形式

【例 4】求函数

的最大值和最小值。

【解析】



,得





,即

【点评】此题是利用了分离分母的方法求解的。若用例 3 的解法同样可求,有兴趣 的同学不妨试一下,并作解法对比。

四、形如

的形式

【例 5】求

的最小值。

【解析】设

,则



从图 2 中可以看到 调性定义来证明这一结论)。

在区间

上是减函数 (也可以利用函数的单



时,

【点评】若由

,可得最小值

是错误的。

这是因为当等号成立时, 即 是不可能的。



若把此题改为 们不妨琢磨一下。

就可以用不等式法求解了,同学

五、利用



之间的关系

【例 6】求函数

的最大值和最小值。

【解析】设





,且



由于



故当 t=1 时,

;当

时,



【点评】 的密切联系。

这三者之间有着相互制约,不可分割 是纽带,三者之间知其一,可求其二。令 换

元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值。 应该注意的是求三角函数的最值方法有多种,像配方法、不等式法等,这里不再赘 述,有兴趣的同学不妨自己探讨一下。

【练一练】

1. 求函数

的最大值和最小值。

2. 求函数

的最大值和最小值。

3. 已知

,求函数

的最大值和最小值。

【答案】

1.

(提示:由



2.

(提示:由



3. (提示:令

, ,则 。



解得



于是

,容易求解)


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