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2012年广东省高考文科数学试题及解析


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)
本试题共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1、 答卷前,考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号,填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上 角“条形码粘贴处”. 2、 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求做大的答案无效。 4、 作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错涂、多涂的, 答案无效。 5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ? 球的体积 V ?
4 3
3

1 3

S h ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高.

? R ,其中 R 为球的半径。
1 n

一组数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差 s ?

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,
2 2 2

其中 x 表示这组数据的平均数。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。 1. 设 i 为虚数单位,则复数
( A ) ? 4 ? 3i

3 ? 4i i

=(

)
? (C ) ? ? i

( B ) ? 4 ? 3i

( D ) ? ? ?i

【解析】选 D 依题意:

3 ? 4i i

?

(3 ? 4 i ) i i
2

? 4 ? 3i

2.设集合 U ? {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M ? {1, 3, 5} ;则 C U M ? (
( A ) { ? , ? , ?} ( B ) {1, 3, 5}

)
( C ) {? , ? , ? } (D ) U

【解析】选 A C U M ? { ? , ? , ?}
??? ? ??? ?

3. 若向量 A B ? (1, 2 ), B C ? (3, 4 ) ;则 A C ? (
( A ) ( 4, 6 ) ( B ) ( ? 4, ? 6 )

????

)
( C ) ( ? ? , ? ?) ( D ) (?, ?)

【解析】选 A

? ? ?? A C?

? ? ?? ? ? ?? A B ? B C( 4 , 6 ) ?

4. 下列函数为偶函数的是(
( A ) y ? sin x

)
3

(B) y ? x

(C ) y ? e

x

( D ) y ? ln

x ??

?

【解析】选 D

y ? sin x 与 y ? x 是奇函数,, y ? e 是非奇非偶函数
3 x

?x ? y ? 1 ? 5. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? y ?1 ?
( A) 3 (B) 1 (C ) ? 5

)

(D ) ?6

【解析】选 C

约束条件对应 ? A B C 边际及内的区域: A (1, 0), B ( ? 1, 2), C ? 1, ? 2) 则 z ? x ? 2 y ? [ ? 5, 3]

6. 在 ? A B C 中,若 ? A ? 6 0 , ? B ? 4 5 , B C ? 3 2 ,则 A C ? (

?

?

)
? ?

( A) 4 3

(B) 2 3

(C )

?

(D )

【解析】选 B 由正弦定理得:
BC sin A ? AC sin B ? 3 2 sin 6 0
?

?

AC sin 4 5
?

? AC ? 2 3

7.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为(
( A ) 7 2? ( B ) 4 8? (C ) ? ??

)
( D ) ? ??

【解析】选 C 几何体是半球与圆锥叠加而成 它的体积为 V ?
1 2 ? 4 3

? ?3 ?

3

1 3

?? ?3 ?

2

5 ? 3 ? 3 0?
2 2

8. 在平面直角坐标系 xO y 中,直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A , B 两点,
2 2

则弦 A B 的长等于(
( A) 3 3

)
(B) 2 3 (C )

?

(D ) ?

【解析】选 B
2 2 圆 x ? y ? 4 的圆心 O (0, 0 ) 到直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ?

?5 5

?1

弦 A B 的长 A B ? 2 r ? d
2

2

? 2 3

9. 执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为
( C ) ?? (D ) ?

( A) 105

( B ) 16

【解析】选 C
s
i 1 1 1
3 15

3

5

7

8. .对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ?

? ?? ? ??

;若两个非零的平面向量 a , b 满足,

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n a 与 b 的夹角 ? ? ( , ) ,且 a ? b , b ? a 都在集合 ? n ? Z } 中,则 a ? b ? ( 4 2 ?2
( A)

)
? ?

1 2

(B) 1

(C )

? ?

(D )

【解析】选 A

? ? a b ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 a ? b ? ? co s ? ? 0, b ? a ? ? co s ? ? 0 ? ( a ? b ) ? ( b ? a ) ? co s ? ? (0, ) 2 b a

? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? nn ?n * a ? b , b ? a 都在集合 ? n ? Z } 中得: ( a ? b ) ? ( b ? a ) ? 1 2 ( n1 , n 2 ? N ) ? a ? b ? 4 2 ?2

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。
(一)必做题(11-13 题) 9. 函数 y ?
x ?1 x

的定义域为_________

【解析】定义域为______ [ ? 1, 0) ? (0, ? ? )
y ? x ?1 x

中的 x 满足: ?
1 2

?x ?1 ? 0 ? x ? 0
2

? ?1 ? x ? 0 或 x ? 0

10. 等比数列 { a n } 满足 a 2 a 4 ? 【解析】 a1 a 3 a 5 ? _____
2

,则 a1 a 3 a 5 ? _____

1 4 1 2 1 4

a2a4 ?

1 2

? a3 ?
2

, a1 a 3 a 5 ? a 3 ?
2 4

11. 由正整数组成的一组数据 x1 , x 2 , x 3 , x 4 ,其平均数和中位数都是 2 ,且标准差等于 1 , 则这组数据为__________。 (从小到大排列) 【解析】这组数据为_________ 1,1, 3, 3 不妨设 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 得: x 2 ? x 3 ? 4, x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 8 ? x1 ? x 4 ? 4
s ? 1 ? ( x1 ? 2 ) ? ( x 2 ? 2 ) ? ( x 3 ? 2 ) ? ( x 4 ? 2 ) ? 4 ? x i ? 2 ? 0,1, 2
2 2 2 2 2

①如果有一个数为 0 或 4 ;则其余数为 2 ,不合题意 ②只能取 x i ? 2 ? 1 ;得:这组数据为 1,1, 3, 3 (二)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xO y 中,曲线 C 1 和 C 2 的参数方程分别为
? 2 t ?x ? 1? ? 2 C2 : ? (t 5 co s ? ? 2 (? 是参数, 0 ? ? ? ? )和 是参数) ,它们的交点坐标为_______. y ? ? t 2 ? 5 sin ? ? 2

?x ? ? C2 : ? ?y ? ?

【解析】它们的交点坐标为_______ (2,1)
C 1 : x ? y ? 5( x , y ? 0 ), C 2 : y ? x ? 1 解得:交点坐标为 (2,1)
2 2

15.(几何证明选讲选做题)如图 3 所示,直线 P B 与圆 O 想切于点 B ,
D 是弦 A C 上的点, ? P B A ? ? D B A ,若 A D ? m , A C ? n ,

则 A B ? _______。 【解析】 A B ? _______ m n
?PBA ? ?DBA ? ?ACB, ?BAD ? ?CAB ? ?BAD ? ?CAB

得:

AB AC

?

AD AB

? AB ? AC ? AD ? mn ? AB ?
2

mn

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? A co s( (1)求 A 的值; (2)设 ? , ? ? [0, 【解析】 (1) f (
?
3 x 4 ?

?
6

)( x ? R ) ,且 f (

?
3

)?

2。

?
2

] , f ( 4? ?

4? 3

)? ?

30 17

, f (4 ? ?

2? 3

)?

8 5

;求 cos(? ? ? ) 的值

)?

2 ? A co s 4? 3 2? 3 )? ? )? 8 5 30 17

?
4

?

2 ? A? 2

(2) f ( 4 ? ?
f (4 ? ?

? co s(? ? 4 5

?
2

)? ?

15 17 3 5 4 5

? sin ? ?

15 17

, co s ? ?

8 17

? co s ? ?

, sin ? ?

co s(? ? ? ) ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ?

?

8 17

?

3 5

?

15 17

? ?

13 85

17. (本小题满分 13 分) 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图 如图 4 所示,其中成绩分组区间是: [50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数( x )与数学成绩 相应分数段的人数( y )之比如下表所示,求数学成绩在 [50,90)之外的人数。

【解析】 (1) (2 a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04) ? 10 ? 1 ? a ? 0.005 (2)平均分为 55 ? 0.05 ? 65 ? 0.4 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.2 ? 95 ? 0.05 ? 73 (3)数学成绩在 [50, 90) 内的人数为 (0 .0 0 5 ?
1 2 ? 0 .0 4 ? 4 3 ? 0 .0 3 ? 5 4 ? 0 .0 2 ) ? 1 0 ? 1 0 0 ? 9 0 人

数学成绩在 [50, 90) 外的人数为 100 ? 90 ? 10 人 答: (1) a ? 0.005 (2)这 100 名学生语文成绩的平均分为 7 3 (3)数学成绩在 [50, 90) 外的人数为 10 人。 18.(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P ? A B C D 中, A B ? 平面 P A D , A B / / C D , P D ? A D , E 是 P B 中点,
F 是 D C 上的点,且 D F ?

1 2

A B , P H 为 ? P A D 中 A D 边上的高。

(1)证明: P H ? 平面 A B C D ; (2)若 P H ? 1, A D ? 2, F C ? 1 ,求三棱锥 E ? B C F 的体积; (3)证明: E F ? 平面 P A B . 【解析】 (1) A B ? 平面 P A D , P H ? 面 P A D ? P H ? A B 又 PH ? AD , AD ? AB ? A ? PH ? 面 ABCD (2) E 是 P B 中点 ? 点 E 到面 B C F 的距离 h ? 三棱锥 E ? B C F 的体积 V ?
1 3 S ?BCF ? h ? 1 3

1 2
?

PH ?
1 2

1 2

? FC ? AD ? h ?

1 6

? 1?

2?

1 2

?

2 12

(3)取 P A 的中点为 G ,连接 D G , E G
P D ? A D ? D G ? P A ,又 A B ? 平面 P A D ? 面 P A D ? 面 P A B ? D G ? 面 P A B

点 E , G 是棱 P B , P A 的中点 ? E G / / 得: E F ? 平面 P A B

1 2

AB, DF / /

1 2

A B ? E G / /D F ? D G / / E F

19.(本小题满分 14 分) 设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,数列 ? S n ? 的前 n 项和为 T n ,满足 T n ? 2 S n ? n 2, n ? N * . (1)求 a 1 的值; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式。 【解析】 (1)在 T n ? 2 S n ? n 2, n ? N * 中,令 n ? 1 ? a1 ? 2 a1 ? 1 ? a1 ? 1 (2) T n ? 2 S n ? n 2, T n ? 1 ? 2 S n ? 1 ? ( n ? 1) 2 ,相减得: S n ? 1 ? 2 S n ? ( 2 n ? 1)
S n ? 1 ? 2 S n ? ( 2 n ? 1) , S n ? 2 ? 2 S n ? 1 ? (2 n ? 3) ,相减得: a n ? 2 ? 2 a n ? 1 ? 2 a1 ? 1 ? S 2 ? 2 S 1 ? 3 ? a 2 ? 4 ,得 a n ? 1 ? 2 a n ? 2 a n ? 1 ? 2 a n ? 2 ? a n ? 1 ? 2 ? 2( a n ? 2)

得:数列 { a n ? 2} 是以 a1 ? 2 ? 3 为首项,公比为 2 的等比数列
an ? 2 ? 3 ? 2
n ?1

? an ? 3 ? 2

n ?1

?2

20.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xo y 中,已知椭圆 C 1 : 且在 P (0 , 在 C 1 上。 1) (1)求 C 1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程 【解析】 (1)由题意得: b ? 1, c ?
x
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左焦点 F1 ( ? 1 , ) , 0

a ?b
2

2

?1? a ?

2,b ? c ? 1

故椭圆 C 1 的方程为:

? y ?1
2

2

(2)①设直线 l : x ? m ,直线 l 与椭圆 C 1 相切 ? m ? ? 2 直线与抛物线 C 2 : y 2 ? 4 x 相切 ? m ? 0 ,得: m 不存在 ②设直线 l : y ? kx ? m 直线 l 与椭圆 C 1 相切 ? (1 ? 2 k ) x ? 4 km x ? 2 m ? 2 ? 0 两根相等
2 2 2

? ?1 ? 0 ? m ? 2k ? 1
2 2
2 直线与抛物线 C 2 : y ? 4 x 相切 ? k x ? 2 ( km ? 2 ) x ? m ? 0 两根相等

2

2

2

? ? 2 ? 0 ? km ? 1

解得: k ?

2 2

,m ?

2 或k ? ?

2 2

,m ? ?

2 ? l:y ? ?

2 2

( x ? 2)

21.(本小题满分 14 分) 设 0 ? a ? 1 ,集合 A ? { x ? R | x ? 0} , B ? { x ? R | 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 a ? 0} , D ? A ? B 。
2

(1)求集合 D (用区间表示) (2)求函数 f ( x ) ? 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 ax 在 D 内的极值点。
3 2

【解析】 (1)对于方程 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 a ? 0
2

判别式 ? ? 9(1 ? a ) ? 48 a ? 3( a ? 3)(3 a ? 1)
2

因为 a ? 1 ,所以 a ? 3 ? 0 ① 当1 ? a ? ② 当a ? 当a ?
1 3
x1 ?

1 3

时, ? ? 0 ,此时 B ? R ,所以 D ? A ;

1 3

时, ? ? 0 ,此时 B ? { x | x ? 1} ,所以 D ? (0,1) ? (1, ? ? ) ;
2

时, ? ? 0 ,设方程 2 x ? 3(1 ? a ) x ? 6 a ? 0 的两根为 x1 , x 2 且 x1 ? x 2 ,则
3( a ? 3)(3 a ? 1) 4 3(1 ? a ) ? 3( a ? 3)(3 a ? 1) 4

3(1 ? a ) ?

, x2 ?

B ? { x | x ? x1 或 x ? x 2 }

③ 当0 ? a ?

1 3

时, x1 ? x 2 ?

3 2

(1 ? a ) ? 0 , x1 x 2 ? 3 a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x 2 ? 0

此时, D ? ( x , x1 ) ? ( x 2 , ? ? )
3(1 ? a ) ? 3( a ? 3)(3 a ? 1) 4 3(1 ? a ) ? 3( a ? 3)(3 a ? 1) 4

? (0,

)?(

, ?? )

2 (2) f ? ( x ) ? 6 x ? 6 (1 ? a ) x ? 6 a ? 6 ( x ? 1)( x ? a ) , a ? 1

所以函数 f ( x ) 在区间 [ a ,1] 上为减函数,在区间 ( ? ? , a ] 和 [1, ? ? ) 上为增函数 ① x ? 1 是极点 ? 1 ? B ?
? a ?1 3 ② x ? a 是极点 ? a ? A , a ? B ? 0 ? a ? 1 1

得: 0 ? a ?

1 3

时,函数 f ( x ) 极值点为 a ,

1 3

? a ? 1 时,函数 f ( x ) 极值点为 1 与 a


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