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郑州市2014-2015学年高二下学期期末考试数学理试题

2014-2015 高二下学期期终考试
一、选择题 1. 已知 i是虚数单位,则复数 z ? A. 第一象限 A. 0.16 A. a,b,c 都是奇数 C. a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数 A. 5 B. 4 C. 3

2?i 在复平面内对应的点所在的象限为( ) 4 ? 2i B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
) ) B. 0.32 C. 0.84 B. a,b,c 都是偶数 D. a,b,c 至少有两个偶数 ) D. 2 D. 0.64

2. 设 X ~ N (500 ,602 ), P( x ? 440) ? 0.16, 则P(X ? 560 )等于( 3. 用反证法证明命题“自然数 a,b,c,中恰有一个偶数”时,需假设(

4. 如图,函数 y ? f ( x) 的图像在点 P 处的切线方程是 y ? ? x ? 8, 则f (5) ? f ' (5) ? ( 5. 某餐厅的原料费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下数据, 根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方 程为 y ? 8.5 x ? 7.5 ,则表中的 m 的值为( )
5 6 55 8 75

x
y
A. 50 6. 若函数 f ( x) ?

2 25

4 35

m
C. 60 )

B. 55

D. 65

1 sin 2 x ? sin x, 则f ' ( x)是 ( 2

A. 仅有最小值的奇函数 C. 既有最大值又有最小值的偶函数 7. 由曲线 y ?

B. 仅有最大值的偶函数 D. 非奇非偶函数

) x , 直线y ? x ? 2及y轴 所围成的图形的面积为( 10 16 A. B. C. 4 D. 6 3 3 3 8. 函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( A. 1,-1 B. 1,-17 C. 3,-17 D. 3,1



9. 某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名女 生,那么不同的选派方案种数为( ) A. 24
'

B. 14 )

C. 8

D. 6

10. 设 f ( x)是函数f ( x)的导函数,将 y ? f ( x)和y ? f ' ( x) 的图象画在同一个直角坐标 系中。不可能正确的是(

11. 口袋里放有大小相同的 2 个红球和 1 个白球,有放回的每次摸取一个球,定义数列
第 1 页,共 4 页 高二理科数学

-1,第n次摸红球 ?an ?: an ? ?1 ,第n次摸取白球

,如果

Sn 为数列 ?an ?的前 n 项和,那么 S7=3 的概率为

( A. 12.



28 28 224 35 B. C. D. 2387 729 75 729 3 2 若函数f ( x) ? x ? ax ? bx ? c有两个极值点 x1 , x2 , 且f ( x1 ) ? x1 ,
B. 4
4 的展开式中 x3 的系数是 x)

则关于x的方程3( f ( x))2 ? 2af ( x) ? b ? 0的不同实根的个数是( )
C. 5 。 。 D. 6

A. 3 二、填空题 13.(2 x ?

14. 设 ? 是一个离散型随机变量,其分布列如图,则 q= 15. 设 A,B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生的概率为 事件 B 发生的概率为

3 ,在事件 A 发生的条件下, 10


1 ,则事件 A 发生的概率为 2

16. 如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4)

此四边形内任一点 P到第i条边的距离记为 hi (i ? 1, 2, 3, 4),若
4

a1 a2 a3 a4 ? ? ? ? k, 1 2 3 4

2S 则? (ihi ) ? , 类比以上性质,体积为 V的三棱锥的第 i个面 k i ?1
的面积记为 S ,此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 ( ,2,3,4) i i ?1



H i (i ? 1, 2, 3, 4),若
三、解答题

4 S1 S2 S3 S4 ? ? ? ? k , 则? (ihi ) ? 1 2 3 4 i ?1



17. (本小题满分 10 分)

(1 ? i)2 ? 3(1 ? i) 2 设复数 z ? ,若 z ? az ? b ? 1 ? i ,求实数 a,b 的值。 2?i

18. (本小题满分 12 分) 已知 ( x ?

2 n ) (n ? N *) 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 10:1. x2
3 2

(Ⅰ)求展开式中各项系数的和; (Ⅱ)求展开式中含 x 的项

19.(本小题满分 12 分)某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的 监测数据,结果统计如下:
API 空气质量 天数 [0,50] 优 4 (50,100] 良 13 (100,150] 轻微污染 18 (150,200] 轻度污染 30 (200,250] 中度污染 9 (250, 300] 中度重污染 11 >300 重度污染 15

第 2 页,共 4 页

高二理科数学

记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S(单位:元),空气质量指数 AP1 为ω , 已知ω 在区间[0,100]内对企业没有造成经济损失;在区间(100,300]内对企业造成经 济损失成直线模型(当 API 为 150 时造成的经济损失为 500 元,当 APT 为 200 时,造 成的经济损失为 700 元);当 APT 大于 300 时造成的经济损失为 2000 元。 (Ⅰ)试写出 S(ω )的表达式; (Ⅱ)试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元的概 率; (Ⅲ)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成下面 2 ×2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?

P( K ? k0 )
2

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0
K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 100 重度污染 合计

20.(本小题满分 12 分)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这 两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖(每次游戏结束后将 球放回原箱). (Ⅰ)若某同学参加了 1 次游戏,求其获奖的概率; (Ⅱ)若某同学参加了 2 次游戏,求其获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X).

21.(本小题满分 12 分) 已知 Sn=1-

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? + - +…+ , Tn= 2 3 4 2n ? 1 2n n ?1 n ? 2 n ? 3

???

1 (n ? N ? ) . 2n

(Ⅰ)求 S1,S2 及 T1,T2; (Ⅱ)猜想 Sn 与 Tn 的关系,并用数学归纳法证明. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lnx+x2. (Ⅰ)求 h(x)=f(x)-3x 的极值; (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)-ax 在定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围;
第 3 页,共 4 页 高二理科数学

(Ⅲ)设 F(x)=2f(x)-3x2-kx(k∈R),若函数 F(x)存在两个零点 m,n(m<n),且满足 2x0=m+n。 问:函数 F(x)在(x0,F(x0))处的切线能否平行于 x 轴?若能,求出该切线方程;若不 能,请说明理由。

2014—2015 学年下期期末学业水平测试

高中二年级
一、选择题 1-12 DACDC CBCBD 二、填空题 13. 24; 14. 三、解答题 17.解: z ? BA

理科数学

参考答案

1 ; 2

15.

3 ; 5

16.

3V . K

(1 ? i) 2 ? 3(1 ? i) 2i ? 3 ? 3i 3 ? i ? ? 2?i 2?i 2?i
..........................3 分

?

( 3? i ) (? 2 i) ? 5 5 i ? ? 1 ? i. 5 5

又 z 2 ? az ? b ? (1 ? i)2 ? a(1 ? i) ? b

? ? 2i ?a ?a i ? b (? a ? ) b (? 2


分 ?a ) i 1 ? ..............7 ? .i .........................10 分
4

? b ? 1, ?a ?(2 ? a ) ? 1.

解得 a ? ?3, b ? 4.
4

18.解:由题意知,第五项系数为 Cn· (-2) , 第三项的系数为 Cn· (-2) ,
2 2

C4 ?-2?4 10 n· 则有 2 = ,化简得 n2-5n-24=0, Cn· ?-2?2 1
解得 n=8 或 n=-3(舍去).

...............................3 分 ............6 分

(1)令 x=1 得各项系数的和为(1-2)8=1.

第 4 页,共 4 页

高二理科数学

(2)通项公式


Tr+1=Cr ( 8·

x)

8-r

8? r ?2r 2 r r r · (-x2) =C8· (-2) · x 2 ,

8-r 3 - 2 r = 2 2,则 r=1,
3 2

...........................10 分
3 2

故展开式中含 x 的项为 T2=-16x .

............12 分

?0, ? ? ? 0,100? , ? 19.解: (1) S (? ) ? ?4? ? 100, ? ? ?100,300? , ? ?2000, ? ? ? 300, ?? ? .

..............4 分

(2)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元”为事 件 A,由 500 ? S ? 900 ,得 150 ? ? ? 250 ,频数为 39,所以估计 P ( A) ? (3)根据以上数据得到如下列联表: 非重度污染 供暖季 非供暖季 合计
2

39 . ..4 分 100

重度污染 8 7 15

合计 30 70 100

22 63 85

K 2 的观测值 k ?

100 ? ? 63 ? 8 ? 22 ? 7 ? ? 4.575 ? 3.841 . 85 ?15 ? 30 ? 70
..............12 分

所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.

20. 解: (1)记“在 1 次游戏活动中摸出 i 个白球”为事件 Ai (i=0,1,2,3)
1 1 1 C32 C22 C3 C2 C2 1 P( A ) ? C3 ? C2 ? 1 . P( A2 ) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? . 3 C52 C32 5 C5 C3 C5 C3 2

2

1



............................3 分

记“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B ? A2 ? A3 . 因为 A2,A3 互斥,所以 P(B)=P(A2)+P(A3)=

1 1 7 ? ? . .......6 分 2 5 10

(2) 由题意知,X 的所有取值为 0,1,2.

P ( X ? 0) ? (1 ?

7 2 9 ) ? , 10 100

1 P( X ? 1) ? C 2 ?

7 7 21 ? (1 ? ) ? , 10 10 50

7 49 P( X ? 2) ? ( ) 2 ? , 10 100
所以 X 的分布列是 X 0

.....................9 分

1
第 5 页,共 4 页

2
高二理科数学

9 21 49 P 50 100 100 9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? . ...............12 分 X 的数学期望为 E(X)= 0 ? 100 50 100 5 1 1 1 1 1 7 21.解:(1)S1 ? 1 ? ? , S2 ? 1 ? ? ? ? , 2 2 2 3 4 12 1 1 1 1 7 T1 ? ? , T2 ? ? ? , ............4 分 1?1 2 2 ? 1 2 ? 2 12

(2)猜想:Sn ? Tn (n ? N * )即:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? (n ? N * ),..............6分 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 n ? 3 2n

下面用数学归纳法证明:

1.当n ? 1时,已证S1 ? T1 ,

2.假设n ? k时,Sk ? Tk (k ? 1, k ? N* )成立,即:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? . 2 3 4 2k ? 1 2k k ? 1 k ? 2 k ? 3 2k

则当n ? k ? 1时,有Sk ?1 ? Sk ?

1 1 1 1 ? ? Tk ? ? 2k ? 1 2(k ? 1) 2k ? 1 2(k ? 1)

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 2k ? 1 2(k ? 1)

?

? 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 ? k ? 1 2(k ? 1) ?
1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? Tk ?1. (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2(k ? 1)

?

这也就是说,当n ? k ? 1时,也有Sk ?1 ? Tk ?1成立,由 1、可知, 2

对任意n ? N*,Sn ? Tn都成立..............................12分
22.解: (1)函数定义域为(0,+ ? ) , 由已知 h' ( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 , x

令 h '( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 1 ? 0 ,得 x ? ,或 x ? 1 . x 2

列表如下:

第 6 页,共 4 页

高二理科数学

x
h' ( x)

1 (0, ) 2

1 2

1 ( ,1) 2

1 0 极小值

(1, ? ∞)

?
递增

0 极大值

?
递减

?
递增 ........3 分

h( x )

5 ? ln 2 . 4 1 (2) g ( x) ? f ( x) ? ax ? ln x ? x 2 ? ax, g ?( x) ? ? 2 x ? a. x 1 由题意,知 g ?( x) ? 0, x ? (0, ??) 恒成立,即 a ? (2 x ? ) min . x
所以 h( x) 极小值 ? h(1) ? ?2 , h( x) 极大值 ? h( ) ? ? 又 x ? 0, 2 x ?

1 2

2 1 时等号成立. ? 2 2 ,当且仅当 x ? 2 x
......................................7 分

故 (2 x ? ) min ? 2 2 ,所以 a ? 2 2 .

1 x

(3)设 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 的切线平行于 x 轴,其中 F ( x) ? 2ln x ? x 2 ? kx ,结合题意,

2 ln m ? m 2 ? km ? 0 , 2ln n ? n2 ? kn ? 0 ,
相减得 2 ln

m ? (m ? n)(m ? n) ? k (m ? n). n

F ' ( x0 ) ?

2 2 ? 2 x0 ? k ? 0 ,所以 k ? ? 2 x0 , x0 x0

4 ? ( m ? n) , m?n m 2( ? 1) m 2(m ? n) m 2(u ? 1) ? n . 设 u ? ? (0,1) , ln u ? 所以 ln ? ? 0(u ? (0,1)). m n m?n n u ? 1 ?1 n 2(u ? 1) 设 y ? ln u ? (u ? (0,1)) , u ?1
又 m ? n ? 2 x0 , k ?

y? ?

1 2(u ? 1) ? 2(u ? 1) (u ? 1) 2 ? 4u (u ? 1) 2 ? ? ? ? 0, u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2 u (u ? 1) 2

2(u ? 1) 在 (0,1) 上单调递增, u ?1 2(u ? 1) 因此, y ? y |u ?1 ? 0 ,即 ln u ? ? 0. u ?1 m m 2( ? 1) 2( ? 1) m m 2( m ? n ) n 也就是, ln ? ,所以 ln ? 无解. ? n m m n n m ? n ?1 ?1 n n
所以函数 y ? ln u ?
第 7 页,共 4 页 高二理科数学

所以 F ( x) 在 ( x0 , F ( x0 )) 处的切线不能平行于 x 轴......................12 分

第 8 页,共 4 页

高二理科数学


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