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高中数学【Word版题库】6.3 等比数列及其前n项和


6.3 等比数列及其前 n 项和
一、填空题 1.在正项等比数列{ an }中 ? a1a5 ? 2a3a5 ? a3a7 ? 25? 则 a3 ? a5 ? 解析 (a3 ) 2 ? 2a3a5 ? (a5 ) 2 ? (a3 ? a5 ) 2 ? 25? a3 ? a5 ? 5. 答案 5 2. 已知正数数列{an}对任意 p,∈N*都有 ap+q=ap·aq, a2=4, a9=________. q 若 则 解析 令 p=n,q=1,得 an+1=an·a1,又 an>0,所以{an}是公比为 a1 的等比数 列,所以 an=an.又 a2=4,所以 an=2n,a9=29=512. 1 答案 512 3.等比数列{an}的公比 q>0,已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和 S4=________. 解析 由 an+2+an+1=6an 得:qn+1+qn=6qn-1, 1 ? 1-24? 2 1 15 即 q2+q-6=0,q>0,解得:q=2,又 a2=1,所以,a1= ,S4= = . 2 1-2 2 15 答案 2 1 4.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·5n-2- ,则实数 t 的值为________. 5 1 1 4 解析 ∵a1=S1= t- ,a2=S2-S1= t,a3=S3-S2=4t, 5 5 5 1? ?4 ? ?1 ∴由{an}是等比数列知? t?2=? t- ?×4t,显然 t≠0,所以 t=5. 5? ?5 ? ?5 答案 5 5.设数列{a2}前 n 项和为 Sn,a1=t,a2=t2,Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,则{an} n 是________数列,通项 an=________. 解析 由 Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0, 得 Sn+2-Sn+1=t(Sn+1-Sn), 所以 an+2=tan+1, 所以 .

an+2 a2 =t,又 =t,所以{an}成等比数列,且 an=t·tn-1=tn. an+1 a1 tn

答案 等比

6. 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 { an } ? a1a2 a3 ? 5? a7 a8 a9 ? 10? 则 a4 a5 a6 等 于 ________. 解析 方法一:由等比数列的性质知
3 a1a2 a3 ? (a1a3 ) ? a2 ? a2 ? 5?
3 a7 a8a9 ? (a7 a9 ) ? a8 ? a8 ? 10?

所以 a2 a8 ? 50 3 ?
3 所以 a4 a5 a6 ? (a4 a6 ) ? a5 ? a5 ? ( a2 a8 )3 ? (50 6 )3 ? 5 2 .
1

1

方法二: (a4 a5 a6 ) 2 ? a1a2 a3a7 a8 a9 ? 50? ∴ a4 a5 a6 ? 5 2 . 答案
5 2

7.设 a1=2,an+1=

2 ?an+2? ?-1,n∈N*,则 b2 011=________. ,bn=? an+1 ?an-1?

?a1+2? ?-1=3, 解析 由题意得 b1=? ?a1-1?

bn-1=?

?an+1+2? ?an+2? ?-1=2? ?-1=2(bn+1)-1=2bn+1, ?an+1-1? ?an-1?

∴bn+1+1=2(bn+1), 故

bn+1+1 =2,故数列{bn+1}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. bn+1

∴bn+1=2n+1,∴bn=2n+1-1. 答案 22 012-1 8.设 1=a1≤a2≤?≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,

a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值为________.
解析 由题意知 a3=q,a5=q2,a7=q3 且 q≥1,a4=a2+1,a6=a2+2 且 a2≥1, 那么有 q2≥2 且 q3≥3. 3 3 故 q≥ 3,即 q 的最小值为 3. 答案 3 3

9.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2·a3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差

5 中项为 ,则 S5=________. 4 解析 设数列{an}的公比为 q,则由等比数列的性质知,a2·a3=a1·a4=2a1, 即 a4=2. 5 5 由 a4 与 2a7 的等差中项为 知,a4+2a7=2× , 4 4 5 1? a7 1 1 ? 1 ∴a7= ?2× -a4?= .∴q3= = ,即 q= . 4 2? a4 8 2 ? 4 1? ? 16?1- 5? 2? 1 ? ∴a4=a1q3=a1× =2,∴a1=16,∴S5= =31. 8 1 1- 2 答案 31 10.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+?+x100=1, 则 lg(x101+x102+?+x200)=________. 解析 由 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*)得 lg xn+1-lg xn=1,∴ ∴数列{xn}是公比为 10 的等比数列,∴xn+100=xn·10100, ∴x101+x102+?+x200=10100(x1+x2+x3+?+x100)=10100, ∴lg(x101+x102+?+x200)=lg 10100=100. 答案 100 11.设{an}是公比为 q 的等比数列,其前 n 项积为 Tn,并且满足条件 a1>1, a99-1 a99a100-1>0, <0,给出下列结论:①0<q<1;②T198<1;③a99·a101<1; a100-1 ④使 Tn<1 成立的最小自然数 n 等于 199.其中正确结论的序号是________. 解析 由 a1>1,a99a100>1,(a99-1)·(a100-1)<0, n? n-1? ∴a99>1,0<a100<1,0<q<1.a99a101=a2 <1,由 Tn=a1a2?an=an·q , 100 1 2 n? n-1? n-1 若 Tn<1,即 an·q <1,即 a1·q <1,由 a99>1,0<a100<1, 1 2 2 n-1 ∴a1·q99<1,知要求 Tn<1 的最小自然数,即 99≤ ,∴n≥199, 2 ∴Tn<1 的最小自然数为 199,∴T198<1 不正确. 答案 ①③④ 12.已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n∈N*)且 a1=9,其前 n 项和为 Sn,则满足不

xn+1 =10, xn

等式|Sn-n-6|<

1 的最小正整数 n 是________. 125

解析 由 3an+1+an=4 得,

an+1-1=- (an-1)(运用构造数列法),∴{an-1}是以 a1-1=8 为首项,以-
为公比的等比数列, ? 1? ? 1? 所以 an-1=8·?- ?n-1,所以 an=8×?- ?n-1+1. ? 3? ? 3?

1 3

1 3

? 1? 1-?- ?n ? ? 1? ? 1? ? 1? ? ? 1? ? 3? 所以 Sn =8 ?1+?- ?+?- ?2+?+?- ?n-1? + n =8× + n =6- ?- ? 1 ? ? 3? ? 3? ? 3? ? ? 3? 1+ 3
n

×6+n,

?? 1? ? 所以|Sn-n-6|=??- ?n×6? ?? 3? ? 1 ?1? =? ?n×6< ,即 3n>750. 125 ?3? 将 n=5,6,7 代入验证符合题意的最小正整数 n=7. 答案 7 13.已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=2,b1=1,

a2=b2,2a4=b3,且存在常数 α ,β ,使得 an=logα bn+β 对每一个正整数 n 时
成立,则 α β =________. 解析 ?a2=b2, 由 题 意 , 可 设 an = 2 + (n - 1)d , bn = qn - 1 , 于 是 由 ? ?2a4=b3, ?d=2? d≠0? 解得? ?q=4, , 得

?2+d=q, ? 2 ?2? 2+3d? =q ,

所以 an=2n,q=22n-2,代入 an

=logα bn+β ,得 2n=(2n-2)logα 2+β ,即 2n(1-logα 2)=β -2logα 2,所 ?logα 2=1, 以? ?β -2logα 2=0, 故 α β =22=4. 答案 4 ?α =2, 解得? ?β =2.

二、解答题 14.设 S n 为数列{ an }的前 n 项和 ? Sn ? kn 2 ? n? n ? N ? ? 其中 k 是常数. (1)求 a1 及 an ; (2)若对于任意的 m?N ? ? am ? a2 m ? a4 m 成等比数列,求 k 的值. 解析 (1)当 n=1 时 ? a1 ? S1 ? k ? 1? 当 n ? 2 时 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n-1)]=2kn-k+1. 经验证,当 n=1 时,(*)式成立, ∴ an ? 2kn ? k ? 1 . (2)∵ am ? a2 m ? a4 m 成等比数列,
2 ∴ a2 m ? am ? a4 m ?

(*)

即 (4km ? k ? 1)2 ? (2km ? k ? 1)( 8km-k+1),整理得 mk(k-1)=0, 对任意的 m?N ? 成立. ∴k=0 或 k=1.

15.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*,且 a≠3. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的通项公式. 解析 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即 Sn+1=2Sn+3n, 由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n). 因此{bn}以 a-3 为首项,2 为公比的等比数列. 因此,所求通项公式为

bn=(a-3)2n-1,n∈N*.
(2)由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是,当 n≥2 时,

an=Sn-Sn-1
=3n+(a-3)×2n-1-3n-1-(a-3)×2n-2 =2×3n-1+(a-3)2n-2. 又 a1=S1=a,

?a,n=1, 所以 an=? n-1 ?2×3 +? a-3?

2n-2,n≥2.

16.已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2·a4=65,

a1+a5=18.
(1)求数列{an}的通项公式 an. (2)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值; (3)是否存在常数 k,使得数列{ Sn+kn}为等差数列?若存在,求出常数 k;若 不存在,请说明理由. 解析 (1)因为 a1+a5=a2+a4=18, 又 a2·a4=65,

所以 a2,a4 是方程 x2-18x+65=0 的两个根. 又公差 d>0, 所以 a2<a4. 所以 a2=5,a4=13. ?a1+d=5, 所以? ?a1+3d=13, 所以 an=4n-3. (2)由 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,所以 a1·a21=a2, i 即 1·81=(4i-3)2,解得 i=3. (3)由(1)知,Sn=n·1+ 解得 a1=1,d=4.

n? n-1?
2

·4=2n2-n.

假设存在常数 k,使数列{ Sn+kn}为等差数列, 由等差数列通项公式,可设 Sn+kn=an+b, 得 2n2+(k-1)n=an2+2abn+b 恒成立,可得 a=2,b=0,k=1. 所以存在 k=1 使得{ Sn+kn}为等差数列. 17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 解析 (1)证明 由已知有 a1+a2=4a1+2,解得 a2=3a1+2=5,

故 b1=a2-2a1=3.又 an+2=Sn+2-Sn+1 =4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an, 于是 an+2-2an+1=2(an+1-2an),即 bn+1=2bn. 因此数列{bn}是首项为 3,公比为 2 的等比数列. (2)由(1)知等比数列{bn}中 b1=3,公比 q=2, 所以 an+1-2an=3×2n-1,于是

an+1 an 3
2n+1

- n= , 2 4

?an? ? ? 1 3 因此数列? n?是首项为 ,公差为 的等差数列, 2 4 ? ? ?2 ?

an 1
n

3 3 1 = +(n-1)× = n- , 2 2 4 4 4 所以 an=(3n-1)·2n-2. 18.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 等比数列”. (1)若数列{2bn}是首项为 2,公比为 4 的等比数列,试判断数 列{bn}是否为“和等比数列”; (2)若数列{cn}是首项为 c1,公差为 d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比 数列”,试探究 d 与 c1 之间的关系. 解析 (1)因为数列{2bn}是首项为 2,公比为 4 的等比数列, 所以 2bn=2·4n-1=22n-1,因此,bn=2n-1,设数列{bn}前 n 项和为 Tn, 则 Tn=n2,T2n=4n2,所以

S2n (n∈N*)是非零常数,则称该数列为“和 Sn

T2n =4.因此数列{bn}是“和等比数列”. Tn R2n =k(k≠0),则由{cn}是等差数列, Rn
2n? 2n-1? 2

(2)设数列{cn}的前 n 项和为 Rn,且 得 Rn=nc1+

n? n-1?
2 2n?

d,R2n=2nc1+

d,

所以 =

R2n Rn

2nc1+

nc1+

n?

2n-1? d 2 =k. n-1? d 2

对于 n∈N*都成立,化简得 (k-4)dn+(k-2)(2c1-d)=0,

?? k-4? 则有? ?? k-2? ?

d=0,
2c1-d? =0.

因为 d≠0,所以 k=4,d=2c1. 因此,d 与 c1 之间的等量关系为 d=2c1.


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