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湖北省武汉市部分学校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


湖北省武汉市部分学校 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题列出的四个选项中,有一项是满足题 目要求的. 2 1. (5 分)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={﹣1,0,1}和 N={x|x +x=0}关系的韦恩(Venn)图是()

A.

B.

C.

D.

2. (5 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=() A. B. C .﹣ D.﹣

3. (5 分)已知函数

,则 f=()

A.4

B.

C.﹣4

D.﹣

4. (5 分)设向量 , 满足| + |= A.1 B.2

,| ﹣ |=

,则 ? =() C. 3 D. 5

5. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)

6. (5 分)在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是() A. C. =(0,0) , =(3,5) , =(1,2) =(6,10) B. D. =(﹣1,2) , =(2,﹣3) , =(5,﹣2) =(﹣2,3)

7. (5 分)设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则() A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a
a

D.c>a>b

8. (5 分)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x>0) ,g(x)=logax 的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)已知△ ABC 和点 M 满足 2 A.2 B.3

+

+

=0.若存在实 m 使得 C .4

+

=m

成立,则 m=()

D.5

10. (5 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可 食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系 p=at +bt+c(a,b,c 是常数) ,如图记录了三次实验 的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()
2

A.3.50 分钟

B.3.75 分钟

C.4.00 分钟

D.4.25 分钟

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位 置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. (5 分)函数 f(x)=2sin( x﹣ )的最小正周期是.

12. (5 分) (



+log3 +log3 =.

13. (5 分)设全集 U=A∪B={x∈N | lgx<1},若 A∩?UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合 B=.

*

14. (5 分)函数 y=

的定义域是.

15. (5 分)向量 , , 在正方形网格中的位置如图所示,若

(λ,μ∈R ) ,则

=.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知 (Ⅰ)求 tanα 的值; (Ⅱ)求 的值. = ,α∈( ,π)

17. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(﹣1,﹣2) 、B(2,3) 、C(﹣2,﹣1) . (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( )? =0,求 t 的值.

18. (12 分)已知函数 f(x)=a﹣ (Ⅰ)求证:无论 a 为何实数,f(x)总为增函数; (Ⅱ)若 f(x)为奇函数,求 f(x)的值域. 19. (12 分)设函数 f(x)=sin(2x+φ) (﹣π<φ<0) ,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 (Ⅰ)求 φ; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y=f(x)在区间上的图象. .

20. (13 分)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种(生产条件要求 1≤x≤10) ,每一小时可获得的利润是 100(5x+1﹣ )元 (Ⅰ)要使生产该产品 2 小时获得的利润为 3000 元,求 x 的值; (Ⅱ)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.

21. (14 分)已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R 且 a≠0) ,F(x)=

2



(1)若 f(﹣1)=0,且函数 f(x)的值域为时,g(x)=f(x)﹣kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)是偶函数,判断 F(m)+F(n)是否大于零.

湖北省武汉市部分学校 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题列出的四个选项中,有一项是满足题 目要求的. 1. (5 分)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={﹣1,0,1}和 N={x|x +x=0}关系的韦恩(Venn)图是()
2

A.

B.

C.

D. 考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 集合. 分析: 先化简集合 N,得 N={﹣1,0},再看集合 M,可发现 集合 N 是 M 的真子集,对照韦恩(Venn) 图即可选出答案. 2 解答: 解: .由 N={x|x +x=0}, 得 N={﹣1,0}. ∵M={﹣1,0,1}, ∴N?M, 故选 B. 点评: 本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识,考查运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 2. (5 分)已知角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,则 cosα=() A. B. C. ﹣ D.﹣

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα 的值.

解答: 解:∵角 α 的终边经过点(﹣4,3) ,∴x=﹣4,y=3,r= ∴cosα= = =﹣ ,

=5.

故选:D. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题.

3. (5 分)已知函数

,则 f=()

A.4

B.

C . ﹣4

D.﹣

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 分析: 将函数由内到外依次代入,即可求解 解答: 解:根据分段函数可得: , 则 ,

故选 B 点评: 求嵌套函数的函数值,要遵循由内到外去括号的原则,将对应的值依次代入,即可求解.

4. (5 分)设向量 , 满足| + |= A.1 B. 2

,| ﹣ |= C. 3

,则 ? =() D.5

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将等式进行平方,相加即可得到结论. 解答: 解:∵| + |= ∴分别平方得 +2 ? + ,| ﹣ |= =10, , =6,

﹣2 ? +

两式相减得 4 ? =10﹣6=4, 即 ? =1, 故选:A. 点评: 本题主要考查向量的基本运算,利用平方进行相加是解决本题的关键,比较基础.

5. (5 分)已知函数 f(x)= ﹣log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是() A.(0,1) B. (1,2) C. (2,4) D . (4,+∞)

考点: 函数零点的判定定理.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 可得 f(2)=2>0,f(4)=﹣ <0,由零点的判定定理可得. 解答: 解:∵f(x)= ﹣log2x, ∴f(2)=2>0,f(4)=﹣ <0, 满足 f(2)f(4)<0, ∴f(x)在区间(2,4)内必有零点, 故选:C 点评: 本题考查还是零点的判断,属基础题.

6. (5 分)在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是() A. C. =(0,0) , =(3,5) , =(1,2) =(6,10) B. D. =(﹣1,2) , =(2,﹣3) , =(5,﹣2) =(﹣2,3)

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的坐标运算, 解答: 解:根据 , ,计算判别即可.

选项 A: (3,2)=λ(0,0)+μ(1,2) ,则 3=μ,2=2μ,无解,故选项 A 不能; 选项 B: (3,2)=λ(﹣1,2)+μ(5,﹣2) ,则 3=﹣λ+5μ,2=2λ﹣2μ,解得,λ=2,μ=1,故选项 B 能. 选项 C: (3,2)=λ(3,5)+μ(6,10) ,则 3=3λ+6μ,2=5λ+10μ,无解,故选项 C 不能. 选项 D: (3,2)=λ(2,﹣3)+μ(﹣2,3) ,则 3=2λ﹣2μ,2=﹣3λ+3μ,无解,故选项 D 不能. 故选:B. 点评: 本题主要考查了向量的坐标运算,根据 列出方程解方程是关键,属于基础题.

7. (5 分)设 a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则() A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a 考点: 正切函数的单调性. 专题: 三角函数的求值. 分析: 可得 b=sin35°,易得 b>a,c=tan35°=

D.c>a>b

>sin35°,综合可得.

解答: 解:由诱导公式可得 b=cos55°=cos(90°﹣35°)=sin35°, 由正弦函数的单调性可知 b>a, 而 c=tan35°= ∴c>b>a 故选:C >sin35°=b,

点评: 本题考查三角函数值大小的比较,涉及诱导公式和三角函数的单调性,属基础题. 8. (5 分)在同一直角坐标系中,函数 f(x)=x (x>0) ,g(x)=logax 的图象可能是()
a

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 结合对数函数和幂函数的图象和性质,分当 0<a<1 时和当 a>1 时两种情况,讨论函数 f(x) a =x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象,比照后可得答案. a 解答: 解:当 0<a<1 时,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:

此时答案 D 满足要求, a 当 a>1 时,函数 f(x)=x (x≥0) ,g(x)=logax 的图象为:

无满足要求的答案, 综上:故选 D, 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质,是解答的关键.

9. (5 分)已知△ ABC 和点 M 满足 2 A.2 B. 3

+

+

=0.若存在实 m 使得

+

=m

成立,则 m=()

C. 4

D.5

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 如图所示,以 MB,MB 为邻边作平行四边形 MBEC,可得 得 .可得 =2 .又 =2 , + =m .由 2 ,即可得出. + + = ,可

解答: 解:如图所示,以 MB,MB 为邻边作平行四边形 MBEC, 可得 由2 可得 ∴ =2 + + . = . . .

∴点 M 为线段 AD 的中点, 又 =2 , + =m ,

∴m=4. 故选:C.

点评: 本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、向量基本定理,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 10. (5 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可 2 食用率 p 与加工时间 t(单位:分钟)满足函数关系 p=at +bt+c(a,b,c 是常数) ,如图记录了三次实验 的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()

A.3.50 分钟

B.3.75 分钟

C.4.00 分钟

D.4.25 分钟

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由提供的数据,求出函数的解析式,由二次函数的图象与性质可得结论. 解答: 解:将(3,0.7) , (4,0.8) , (5,0.5)分别代入 p=at +bt+c,可得 解得 a=﹣0.2,b=1.5,c=﹣2, ∴p=﹣0.2t +1.5t﹣2,对称轴为 t=﹣
2 2



=3.75.

故选:B. 点评: 本题考查了二次函数模型的应用,考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题,确定函数 模型是关键. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位 置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. (5 分)函数 f(x)=2sin( x﹣ )的最小正周期是 4π. .

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 由三角函数的周期性及其求法即可直接求值. 解答: 解:∵f(x)=2sin( x﹣ ∴T= =4π. )

故答案为:4π. 点评: 本题主要考察了三角函数的周期性及其求法,属于基础题.

12. (5 分) (



+log3 +log3 =



考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分数指数幂的运算法则,对数的运算法则求解即可. 解答: 解: ( ) +log3 +log3

= = . .

故答案为:

点评: 本题考查分数指数幂的运算法则,对数的运算法则,考查计算能力. 13. (5 分)设全集 U=A∪B={x∈N |lgx<1},若 A∩?UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合 B={2, 4,6,8}. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: 解对数不等式得全集,结合 A∩?UB 得集合?UB,从而求得 B. * * 解答: 解:∵U=A∪B={x∈N |lgx<1}={x∈N |x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 又∵A∩?UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9}, ∴?UB={1,3,5,7,9}, ∴B={2 ,4,6,8}, 故填:{2,4,6,8}. 点评: 题属于以不等式为依托,考查集合的交集、补集的基础题,也是高考常会考的题型.
*

14. (5 分)函数 y=

的定义域是{x|x>2 且 x≠3}.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由分式的分母不等于 0,对数的真数大于 0 联立不等式组求解 x 的取值集合得答案. 解答: 解:由 ,解得:x>2 且 x≠3.

∴函数 y=

的定义域是{x|x>2 且 x≠3}.

故答案为:{x|x>2 且 x≠3}. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,是基础的计算题.

15. (5 分)向量 , , 在正方形网格中的位置如图所示,若

(λ,μ∈R) ,则

=4.

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 以向量 、 的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系,得到向量 、 、 的坐标,结合题中 向量等式建立关于 λ、μ 的方程组,解之得 λ=﹣2 且 μ=﹣ ,即可得到 解答: 解:以向量 、 的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系 可得 =(﹣1,1) , =(6,2) , =(﹣1,﹣3) ∵ 的值.



,解之得 λ=﹣2 且 μ=﹣

因此,

=

=4

故答案为:4

点评: 本题给出向量 用向量 、 线性表示,求系数 λ、μ 的比值,着重考查了平面向量的坐标运算法 则和平面向量基本定理及其意义等知识,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知 (Ⅰ)求 tanα 的值; (Ⅱ)求 的值. = ,α∈( ,π)

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)已知等式整理求出 tanα 的值即可; (Ⅱ)原式分子分母除以 cosα,利用同角三角函数间 的基本关系化简,将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)由 解得:tanα=﹣ 或 tanα=1, ∵α∈( ,π) , = ,整理得:3tan α﹣2tanα﹣1=0,即(3tanα+1) (tanα﹣1)=0,
2

∴tanα<0, ∴tanα=﹣ ; (Ⅱ)∵tanα=﹣ ,

∴原式=

=

=



点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 17. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(﹣1,﹣2) 、B(2,3) 、C(﹣2,﹣1) . (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( )? =0,求 t 的值.

考点: 平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1) (方法一)由题设知 . 从而得: . ,则

(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: 由 E 是 AC,BD 的中点,易得 D(1,4) 从而得:BC= 、AD= ; (2)由题设知: 由( 从而得: )? . =(﹣2,﹣1) , =0,得: (3+2t,5+t)?(﹣2,﹣1)=0, .

或者由



,得:

解答: 解: (1) (方法一)由题设知 . 所以 .

,则

故所求的两条对角线的长分别为 、 . (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 、AD= ; (2)由题设知: 由( )? =(﹣2,﹣1) , =0,得: (3+2t,5+t)?(﹣2,﹣1)=0, . .

从而 5t=﹣11,所以

或者:





点评: 本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查向量的坐标运算和基本的求解能力. 18. (12 分)已知函数 f(x)=a﹣ (Ⅰ)求证:无论 a 为何实数,f(x)总为 增函数; (Ⅱ)若 f(x)为奇函数,求 f(x)的值域. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)求 f′(x) ,判断 f′(x)的符号从而证出 f(x)总是增函数; (Ⅱ)由 f(x)为奇函数知,f(﹣x)=﹣f(x) ,所以分别求出 f(﹣x) ,﹣f(x)带入并整理可求得 a= ; f(x)= ﹣ ,由 2 +1>1 即可求出 f(x)的范围,即 f(x)的值域.
x

解答: 解: (Ⅰ)证明:f′(x)= 所以不论 a 为何实数 f(x)总为增函数;

>0;

(Ⅱ)∵f(x)为奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即 a﹣ ∴f(x)= ﹣ ∵2 +1>1,∴0< ∴﹣1<﹣ <0;
x

,解得:a= .

; <1;



<f(x)< ; ) .

所以 f(x)的值域为(

点评: 考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法,奇函数的定义,以及指数函数的值域.

19. (12 分)设函数 f(x)=sin(2x+φ) (﹣π<φ<0) ,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 (Ⅰ)求 φ; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y=f (x)在区间上的图象.



考点: 五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象;正弦函数的单调性. 专题: 作图题;综合题. 分析: (Ⅰ)函数 f(x)=sin(2x+φ) (﹣π<φ<0) ,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 由此方程求出 φ 值, (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调增区间可令 围即可得到函数的单调递增区间. (Ⅲ)由五点法作图的规则,列出表格,作出图象. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ∴ ∴ . . 的图象的对称轴,∴ , ,解出 x 的取值范 .可得到

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 由题意得 所以函数

. . .

(Ⅲ)由

x y

0 ﹣1 0

x1,y1 1 0

π

故函数 y=f(x)在区间上图象是:

点评: 本题考查五点法作正弦类函数的图象,解题的关键是由函数的图象特征求出函数的解析式,以及 熟练掌握五点法作函数规则与步骤.本题是三角函数中一个综合性较强的题型,近几年高考中对三角函数 的考查多以此题的形式出现. 20. (13 分)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种(生产条件要求 1≤x≤10) ,每一小时可获得的利润是 100(5x+1﹣ )元 (Ⅰ)要使生产该产品 2 小时获得的利润为 3000 元,求 x 的值; (Ⅱ)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)要使生产该产品 2 小时获得的利润为 3000 元,可得 200(5x+1﹣ )=3000,即可求 x 的 值; (Ⅱ)可得生产 1 千克所获得的利润为 90000(5+ ﹣ 利润,利用二次函数的单调性即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,200(5x+1﹣ )=3000,即 5x ﹣14x﹣3=0, ∵1≤x≤10,∴x=3; (Ⅱ)生产 900 千克该产品获得的利润为 90000(5+ ﹣ 设 f(x)=5+ ﹣ 则 f(x)=﹣3 故获得最大利润为 90000× ,1≤x≤10. +5,当且仅当 x=6 取得最大值. =457500 元. ) ,1≤x≤10.
2

) ,1≤x≤10.进而得到生产 900 千克该产品获得的

因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产,可获得最大利润 457500 元. 点评: 正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键.

21. (14 分)已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b∈R 且 a≠0) ,F(x)=

2



(1)若 f(﹣1)=0,且函数 f(x)的值域为时,g(x)=f(x)﹣kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)是偶函数,判断 F(m)+F(n)是否大于零. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用 f(﹣1)=0 和函数 f(x)的值域为时,利用 g(x)=f(x)﹣kx 的单调区间与对称轴 之间的关系建立不等式进行求解即可. (3)利用 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)是偶函数,得到 b=0,然后判断 F(m)+F(n)的取值. 解答: 解: (1)∵f(﹣1)=0, ∴a﹣b+1=0,① ∵函数 f(x)的值域为上是单调函数, 则区间必在对称轴的一侧, 即 或 ,

解得 k≥6 或 k≤﹣2. 即实数 k 的取值范围是 k≥6 或 k≤﹣2. (3)∵f(x)是偶函数,∴f(﹣x)=f(x) , 2 2 即 ax ﹣bx+1=ax +bx+1, ∴2bx=0,解得 b=0. 2 ∴f(x)=ax +1. ∴F(x)= .

∵mn<0,m+n>0,a>0, 不妨设 m>n,则 m>0,n<0, ∴F(m)+F(n)=am +1﹣an ﹣1=a(m ﹣n )=a(m﹣n) (m+n) , ∵m+n>0,a>0,m﹣n>0, ∴F(m)+F(n)=a(m﹣n) (m+n)>0. 点评: 本题主要考查二次函数的图象和性质,以及二次函数单调性与对称轴之间的关系.要求熟练掌握 二次函数的相关知识.
2 2 2 2


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湖北省武汉外国语学校2014-2015学年高一上学期期中数学....doc
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广西桂林市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Word....doc
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河北省廊坊市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 (Wo....doc
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