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高中数学集合知识点(明细)

集合
1.集合的含义与表示 (1)定义:由一个或多个元素所构成的叫做集合。若 x 是集合 A
的元素,则记作 x∈A。

(2)集合中的元素有三个特征:
a.确定性(集合中的元素必须是确定的) b.互异性(集合中的元素互不相同。例如:集合 A={1,a},则 a 不能等于 1) c.无序性(集合中的元素没有先后之分。 )

(3)常见的集合符号表示:
N:非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…} N*或 N+:正整数集合{1,2,3,…} Z:整数集合{…,-1,0,1,…} Q:有理数集合 Q+:正有理数集合 Q-:负有理数集合 R:实数集合(包括有理数和无理数) R+:正实数集合 R-:负实数集合 C:复数集合 ?:空集合(不含有任何元素的集合称为空集合,又叫空集)

(4)表示集合的方法:
a.列举法:{红,绿,蓝},A={a,b,c,d}· · · b.描述法:B={x|x2=2},{代表元素|满足的性质}· · · c.Venn 图:用一条封闭的曲线内部表示一个集合的方法。

2. 集合的基本关系
(1)子集:对于两个集合 A,B.
若任意 a∈A,都有 a∈B,则称集合 A 被集合 B 所包

含(或集合 B 包含集合 A),记做 A?B,此时称集合 A 是集合 B 的子集。

(2) 真子集: 若 A?B, 且存在 a∈B 但 a?A

则称集合 A 是集合 B 的真子集, 记做 A?B.

(3)由子集的定义可知子集有这样三条主要的性质:
a.规定: 空集(不含任何元素的集合叫做空集,记为 f)是任何集合的子集 b. 任何一个集合是它本身的子集. c. 子集具有传递性. 如果 A?B, B?C ,那么 A?C. *假设非空集合 A 中含有 n 个元素,则有: 1. A 的子集个数为 2 。 2. A 的真子集的个数为 2 -1。 3. A 的非空子集的个数为 2 -1。 4. A 的非空真子集的个数为 2 -2。
n n n n

(4)集合相等 :一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集
合 B 的元素,同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就 说集合 A 等于集合 B,记作 A=B.
名称 记号 意义 (1)A ? A 性质 示意图

A? B
子集 (或 A 中的任一元素都属 于B (2) ? ? (3)若 (4)若 A?B 真子集
?

A(B)

A



B ? A)

A ? B 且 B ? C ,则 A ? C
B A

A ? B 且 B ? A ,则 A ? B
?

A ? B ,且

B 中至

(1) ?? A (A 为非空子集) (2)若 A ? B 且 B ? C ,则
? ?

(或 B ? A)
?

少有一元素不属于 A

A? C
?

B

A

A 中的任一元素都属 集合 (1)A ? B

A?B
相等

于 B, B 中的任一元素 (2)B ? A 都属于 A

A(B)

3.集合的基本运算
(1) 并集: 一般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的 集合, 称为集合 A 与 B 的并集 (Union) 记作: A∪B, 读作: “A 并 B”, 即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B},Venn 图表示:

性质: *A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A *若 A∪B=B,则 A ? B,反之也成立. (2)交集:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集 合,叫做集合 A 与 B 的交集(intersection)。记作:A∩B,读作:“A 交 B”,即: A∩B={x|∈A,且 x∈B},交集的 Venn 图表示:

性质: *A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A *若 A∩B=A,则 A ? B,反之也成立。 (3)全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的 所有元素,那么就称这个集合为全集(Universe),通常记作 U。 (4)补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合

A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集 (complementary set),简称为集合 A 的补集,记作:CUA 即: CUA={x|x∈U 且 x∈A} 补集的 Venn 图表示:

U A CUA
性质: *(CUA)∪A=U,(CUA)∩A= ? * Cu (Cu A) =A, Cu (? ) ? U * Cu ( A ? B) ? (Cu A) ? (Cu B) * Cu ( A ? B) ? (Cu A) ? (Cu B)
名 称 记 号 意义 性质 (1) A ? A ? A 交 集
A? B
{x | x ? A, 且 x ? B}

示意图

(2) A ? ? ? ?
A B

(3) A ? B ? A
A? B ? B

(1) A ? A ? A 并 集
A? B
{x | x ? A, 或 x ? B}

(2) A ? ? ? A
A

B

(3) A ? B ? A
A? B ? B

补 集

? UA

{x | x ?U , 且x ? A}

例题: 一.选择题
1、 (2009 滨州联考)集合 A={-1,0,1},B={

y | y ? cos x, x ? A },则 A ? B=

(A) {0} 答案 B

(B) {1}

(C){0,1}

(D){-1,0,1}

2、 (2009 广州一模)已知全集 U=R,集合 A={x|x2-x=0},B={x|-1<x<1},则 A∩B= A.{0}B. {1} C. {0,1}D.φ 答案 A

3、 (2009 茂名一模) 若集合

A ? {x | x 2 ? 9 x ? 0, x ? N * }, B ? { y |

4 ? N *},则A ? B y 中元素

个数为()
A.0 个 答案 D 4、 ( 2009 聊 城 一 模 ) 已 知 M ? y | y ? i , n ? N
2n

B.1 个

C.2 个

D.3 个

?

?

?(其中

i 为虚数单位) ,

1? x? ? N ? ? x | y ? lg ?, 1 ? x ? P ? x | x 2 ? 1, x ? R , 则以下关系中正确的是 ?

?

?





A. M ? N ? P C. P ? N ? M 答案 B 5、 (2009 韶关一模)已知集合 A. ? B. 答案 D

B. C R M ? P ? N D. C R ( P ? N ? ?)

M ? ? x | x ? 1? , N ? ? x | 2 x ? 1?
C.

,则 M ? N =

?x | x ? 0?

?x | x ? 1?

D.

?x | 0 ? x ? 1?

6、 (2009 番禺一模)1.设集合 ( ).

P ? {1, 2,3, 4}, Q ? {x | ?2 ? x ? 2, x ? R} ,则 P ? Q 等于

A.{1 ,2} B.{3,4} C.{1} D.{-2,-1,0,1,2}

答案 A 7、 (2009 临沂一模)设集合 M ? {x | x ? 1}, P ? {x | x ? 1} ,则下列关系中正确的是
2

A、 M=P 答案 B

B、M∪P=P

C、M∪P=M

D、M∩P=P

8、 (2009 汕头一模) 、定义 A-B={x|x ? A 且 x ? B} ,若 M={1,2,3,4,5},N={2, 3,6},则 N-M=( A. {6} 答案 A 9、 (2009 枣庄一模)已知 ( A. C. 答案 B ) ) B {1,4,5} C .M D.N

U ? {2,3,4,5,6,7}, M ? {3,4,5,7}, N ? {2,4,5,6}, 则

M ? N ? {4,6}

B. M ? N ? U D.

(CU N ) ? M ? U

(CU M ) ? N ? N

10、(安徽省示范高中皖北协作区 2009 年高三联考)设集合

A ? ? x ?3 ? x ? 3? , B ? y y ? 2 x ,1 ? x ? 2 ,
A. C.

?

? ,则 ?C A? ? ?C B? ?
R R

()

? 2,3?
? ??, 2? ? ?3, ???

B. D.

? ??, 2? ? ?3, ???

? ??, 2? ? ? 4, ???

答案 B 11、 (2009 昆明一中第三次模拟理)已知集合

M ? ? x | 2 x ? 1 ? 3? , N ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0
A.

?

? ,则 M ? N 等于( )

? ?3, ?2? ? ?1, 2?

B.

? ?3, ?2? ? ?1, ???

C.

??3, ?2? ? ?1, 2?

D.

? ??, ?3? ? ?1, 2?

答案 C 12 、 (2009 年 福 建 省 普 通 高 中 毕 业 班 质 量 检 查 ) 已 知 全 集

U ? ?1,2,3,4?,
()

集合

P ? ?2,3,4? , Q ? ?1,2?
A. C.

,则 B. D.

P?Q ? Q P?Q ?U

?? P? ? Q ? Q
U

?? P ? ? Q ? P
U

答案 C 13、 (2009 玉溪一中期末) 已知集合 ( ) A. 答案 B 14、 (福州市普通高中 2009 年高中毕业班质量检查) 设集合

S ? ? x ? R x ? 1 ? 2? T ? ??2, ?1 , 01 , , 2?


, 则 S ?T ?

?2?

B.

2? ?1,

C.

1, 2? ?0,

D.

01 , , 2? ??1,

M ? {?2,?1,0}.N ? (?1,0,1,2,3),则M ? N =
A.{0,1} 答案 B
15、 (2009 日照一模)已知集合

() D.{—1,0,1,2}

B.{—1,0,1}

C.{0,1,2}

M ? {x | x ? 1), N ? {x | 2x ? 1} ,则 M ? N 等于
C.

A. ? 答案 D

B.

{x | x ? 0}

{x | x ? 1}

D.

{x | 0 ? x ? 1}

二、填空题
1、 ( 2009 上 海 八 校 联 考 ) 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0, x ? R} ,
2

B ? {x || x ? 2 |? 2, x ? R} ,那么集合 A ? B ? __________。
答案

(0,3]

2、 (2009 泸湾区一模)若集合 A ? { x | x ? (k ? 3) x ? k ? 5 ? 0, x ? R}, A ? R ? ? ,则
2

?

实数 k 的取值范围为___________. 答案

( ??, ?1]

? x ? S ? ?x ? 0, x ? R ? , T ? x 2 x ? 1 ? 3, x ? R ? 2? x ? 3、 (2009 闵行三中模拟)已知集合 ,则 S ? T

?

?

=_________。 答案 ?? 1,0? 4、 (2009 杭州二中第六次月考)定义集合 A*B={x|x ? A,且 x ? B} ,若 A={1,3,5,7} , B={2,3,5} ,则 A*B=. 答案

{1, 7}
M ? x x2 ? 4x ? 5 ? 0

5、 (2009 上海青浦区)已知全集 U ? R ,集合 则 M ? (CU N ) =. 答案

?

?, N ? ?x x ? 1?,

?x x ? ?1?
p : ?x ? R , x 2 ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实

6、 (2009 深圳一模)已知命题 数 a 的取值范围是. 答案 0 ? a ? 1


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