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高一数学必修4第二章综合检测题


第二章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考 试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给 出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1.下列等式成立的是( → → A.MN=NM ) D.|a+b|≤|a|+|b| )A. a

B.a· 0=0C.(a· b)c=a(b· c)

2. 如果 a, b 是两个单位向量, 那么下列四个结论中正确的是( =b B.a· b=1C.a=-b D.|a|=|b| )

→ → 3.已知 A(1,2),B(3,-1),C(3,4),则AB· AC等于( A.11 B.5 C.-1 D.-2

→ → → → 4.在四边形 ABCD 中,AB· BC=0,且AB=DC,则四边形 ABCD 是 ( )A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 )

→ → → 5.在五边形 ABCDE 中,(如图),AB+BC-DC=(

→ → A.AC B.AD

→ C.BD
1

→ D.BE

6.若|a|=2,|b|=6,a· b=-3,则|a+b|等于( A.23 B.34 C. 23 D. 34

)

→ → → → 7.已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四边形 ABCD 为矩形, 则( ) A.a+b+c+d=0 C.a+b-c-d=0 B.a-b+c-d=0 D.a-b-c+d=0

→ → → 8.如下图,M、N 分别是 AB、AC 的一个三等分点,且MN=λ(AC-AB) 成立,则 λ=( )

1 1 2 A.2 B.3 C.3

1 D.± 3 )

9.与向量 a=(1,1)平行的单位向量为(

2 2 2 2 2 2 A.( 2 , 2 )B.(- 2 ,- 2 )C.(± 2 ,± 2 ) 2 2 2 2 D.( 2 , 2 )或(- 2 ,- 2 ) 10.若|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则 a 与 b 的夹角为( π π π A.6 B.4 C.3 π D.2 ) )

11.(2012· 全国高考浙江卷)设 a、b 是两个非零向量( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
2

C.若|a+b=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b| → → 15 12.已知△ABC 中,AB=a,AC=b,a· b<0,S△ABC= 4 ,|a|=3,|b| =5,则 a 与 b 的夹角为( A.30° B.-150° ) C.150° D.30° 或 150°

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填 在题中横线上) → → → 13.已知向量 a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则 A、B、C、D 四点中一定共线的三点是________. 14.已知向量 a=(1,1),b=(2,-3),若 ka-2b 与 a 垂直,则实数 k 等于________. → → → 15. 如图, 两块斜边长相等的直角三角形拼在一起, 若AD=xAB+yAC, 则 x=________,y=________.

16.关于平面向量 a、b、c,有下列三个命题: ①若 a· b=a· c,则 b=c; ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3; ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60° .
3

其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)已知 O、A、B 是平面上不共线的三点,直线 AB → → 上有一点 C,满足 2AC+CB=0, → → → (1)用OA、OB表示OC; (2)若点 D 是 OB 的中点,证明四边形 OCAD 是梯形. → → → 18.(本题满分 12 分)已知点 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB. 求: (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?点 P 在第二象限? (2)存在平行四边形 OABP 吗?若存在,求出相应的 t 值;若不存在, 请说明理由. 19.(本题满分 12 分)已知向量 a、b 不共线,c=ka+b,d=a-b, (1)若 c∥d,求 k 的值,并判断 c、d 是否同向; (2)若|a|=|b|,a 与 b 夹角为 60° ,当 k 为何值时,c⊥d. 20.(本题满分 12 分)向量 a、b、c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b, 若|a|=1,求|a|2+|b|2+|c|2 的值. 21.(本题满分 12 分)已知|a|=1,|b|=1,a 与 b 的夹角为 60° ,x=2a -b,y=3b-a,则 x 与 y 的夹角的余弦值是多少? 1 3 22.(12 分)已知向量 a=( 3,-1),b=(2, 2 ). (1)求证:a⊥b; (2)是否存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb, 且 x⊥y?如果存在,试确定 k 和 t 的关系;如果不存在,请说明理由.
4

1[答案] D 2[答案] D [解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反,所以选项 A,C 不正 确;由于两个单位向量的夹角不确定,则 a· b=1 不成立,所以选项 B 不正 确;|a|=|b|=1,则选项 D 正确. 3[答案] D 4 [答案] C

→ → → → [解析] AB=DC表示AB与DC模相等,方向相同,AB 綊 DC.故四边形 → → → → ABCD 是平行四边形.又AB· BC=0,∴AB⊥BC,∴四边形 ABCD 为矩形. → → → → → → → 5 [答案] B[解析] AB+BC-DC=AB+BC+CD=AD. 6 [答案] D[解析] |a+b|2=(a+b)2=a2+2a· b+b2=4-6+36=34.

→ → → → → → → 7 [答案] B[解析] BA=OA-OB=a-b, CD=OD-OC=d-c, 又BA → =CD,故 a-b=d-c. → 1→ → → → 8[答案] B[解析] MN=3BC且BC=AC-AB. a 9[答案] D[解析] 与 a 平行的单位向量为± . |a| 10 [答案] C[解析] a· (b-a)=a· b-a2=1×6×cosθ-1=2. 1 π cosθ=2,θ∈[0,π],故 θ=3. 11 [答案] C [解析] 利用排除法可得选项 C 是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则 a、b 共线,即存在实数 λ,使得 a=λb.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a、b 可为 异向的共线向量;选项 B:若 a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选 项 D;若存在实数 λ,使得 a=λb,a,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b|=|a|-|b|不成立.
5

1 12 [答案] C[解析] 由 a· b<0 可知 a,b 的夹角 θ 为钝角,又 S△ABC=2 1 15 1 |a|· |b|sinθ,∴2×3×5×sinθ= 4 ,∴sinθ=2?θ=150° . 13 答案] A,B,D [解析 ] → → → BD =BC+CD= (-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=

→ 2AB. 14[答案] -1 [解析] (ka-2b)· a=0,[k(1,1)-2(2,-3)]· (1,1)=0, 即(k-4,k+6)· (1,1)=0,k-4+k+6=0, ∴k=-1. 15 [答案] 2+ 3 2 3 2 [解析] 连接 AE,则 AE∥BD,且 BD= 3AE,

→ → → → → → 1 → → 3 → → 3 ∴BD= 3AE= 3×2(AB+AC)= 2 (AB+AC),则AD=AB+BD=AB+ 2 → → 2+ 3 → 3→ (AB+AC)= 2 AB+ 2 AC. 16[答案] ②

16[解析] 当 a=0 时,①不成立;对于②,若 a∥b,则-2k=6,∴k =-3,②成立;对于③,由于|a|=|b|=|a-b|,则以|a|,|b|为邻边的平行四 边形为菱形,如图.
6

→ → 17 [解析] (1)2AC+CB=0, → → → → 2(OC-OA)+(OB-OC)=0. → → → → 2OC-2OA+OB-OC=0. → → → ∴OC=2OA-OB.

→ → → 1→ → 1 → → (2)如图,DA=DO+OA=-2OB+OA=2(2OA-OB). → 1→ 故DA=2OC. 故四边形 OCAD 为梯形. → → → 18 [解析] (1)OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t). 2 若点 P 在 x 轴上,只需 2+3t=0,即 t=-3; 1 若点 P 在 y 轴上,只需 1+3t=0,即 t=-3;
? ?1+3t<0, 若点 P 在第二象限,则需? ?2+3t>0, ?

2 1 解得-3<t<-3.
7

→ → → (2)假设存在平行四边形 OABP,则有OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t).OA → ? ?3-3t=1, =PB,于是? 无解, ? ?3-3t=2, 故不存在平行四边形 OABP. [点拨] (1)中判断点 P 的位置,即判断点 P 的坐标的情况. (2)存在性探究问题一般先假设存在. 19 [解析] (1)c∥d,故 c=λd,即 ka+b=λ(a-b).
? ? ?k=λ, ?λ=-1, ? 又 a、b 不共线,∴ 得? ?1=-λ. ? ? ?k=-1.

即 c=-d,故 c 与 d 反向. (2)c· d=(ka+b)· (a-b)=ka2-ka· b+a· b-b2 =(k-1)a2+(1-k)|a|2· cos60° 又 c⊥d, 1-k 1-k 故(k-1)a2+ 2 a2=0.即(k-1)+ 2 =0. 解得 k=1. 20 [解析] 由(a-b)⊥c 知(a-b)· c=0.又 c=-(a+b), ∴(a-b)· (a+b)=a2-b2=0. 故|a|=|b|=1,又 c2=[-(a+b)]2=a2+2a· b+b2=a2+b2=2, ∴|a|2+|b|2+|c|2=4.22 21 [解析] 由|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60° , 1 得 a· b=|a||b|cosα=2. 1 ∵|x|2=x2=(2a-b)2=4a2-4a· b+b2=4-4×2+1=3, 1 |y|2=y2=(3b-a)2=9b2-6a· b+a2=9-6×2+1=7,

8

3 x· y=(2a-b)· (3b-a)=7a· b-2a2-3b2=-2, 又 x· y=|x||y|cosθ, ∴cosθ= x· y 21 =- 14 . |x||y|

1 3 3 3 22[解析] (1)a· b=( 3,-1)· (2, 2 )= 2 - 2 =0, ∴a⊥b. (2)假设存在非零实数 k,t 使 x⊥y,则[a+(t2-3)b]· (-ka+tb)=0, 整理得-ka2+[t-k(t2-3)]a· b+t(t2-3)b2=0. 又 a· b=0,a2=4,b2=1. 1 ∴-4k+t(t2-3)=0,即 k=4(t2-3t)(t≠0),故存在非零实数 k,t,使 x 1 ⊥y 成立,其关系为 k=4(t3-3t)(t≠0).

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