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2017卓越学案高考总复习·数学文(新课标)第7章第6讲知能训练轻松闯关

1 → → 1.在△ABC 中,设CB=a,CA=b,求证:S△ABC= 2 |a|2|b|2-?a· b?2. 1 a· b 1 [导学号 35950539] 证明:∵S△ABC= |a||b|· sin C,cos C= ,S2 = |a|2|b|2sin2C 2 |a||b| △ABC 4 1 = |a|2|b|2(1-cos2C) 4 b ?2? 1 ? a· = |a|2|b|2? ?1-?|a||b|? ? 4 1 = [|a|2|b|2-(a· b)2] 4 ∴S△ABC= 1 2 |a|2|b|2-?a· b?2. a 2.已知函数 f(x)= +bx,其中 a>0,b>0,x∈(0,+∞),试确定 f(x)的单调区间,并 x 证明在每个单调区间上的增减性. [导学号 35950540] 解:设 0<x1<x2, a a ? a -b?. +bx1?-? +bx2?=(x2-x1)· 则 f(x1)-f(x2)=? x x ? 1 ? ?2 ? ?x1x2 ? 当 0<x1<x2≤ a 时,∵a>0,b>0, b a a ∴x2-x1>0,0<x1x2< , >b, b x1x2 ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在?0, ? a? 上是减函数; b? a >0 时, b 当 x2>x1≥ a a x2-x1>0,x1x2> , <b, b x1x2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在? ? a ? ,+∞ 上是增函数. b ? 3.已知 a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b. [导学号 35950541] 证明:要证明 2a3-b3≥2ab2-a2b 成立, 只需证:2a3-b3-2ab2+a2b≥0, 即 2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0, 即(a+b)(a-b)(2a+b)≥0. ∵a≥b>0, ∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 从而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0 成立, ∴2a3-b3≥2ab2-a2b. ?a+mb?2<a +mb . 4.已知 m>0,a,b∈R,求证:? ? 1+m ? 1+m ? [导学号 35950542] 证明:∵m>0,∴1+m>0.所以要证原不等式成立, 只需证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证 m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0 显然成立,故原不等式得证. 5.设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. [导学号 35950543] 解:(1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn 1.① - 2 2 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, na ,q=1, ? ? 1 a1?1-qn? ∴Sn= ,∴Sn=?a1?1-qn? 1-q ,q≠1. ? ? 1-q (2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a2k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, 2k k k 1 a2 · a1qk 1+a1qk 1+a1qk 1, 1q +2a1q =a1q - + - + ∵a1≠0,∴2qk=qk 1+qk 1. - + ∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列. 6.已知 a≠0,证明关于 x 的方程 ax=b 有且只有一个根. b [导学号 35950544] 证明:由于 a≠0,因此方程至少有一个根 x= . a 假设 x1,x2 是它的两个不同的根,即 ax1=b,① ax2=b,② 由①-②得 a(x1-x2)=0, 因为 x1≠x2,所以 x1-x2≠0, 所以 a=0,这与已知矛盾,故假设错误. 所以当 a≠0 时,方程 ax=b 有且只有一个根. 7.如图,在四棱锥 PABCD 中,PC⊥底面 ABCD,ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥ CD,AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 的中点. (1)求证:EC∥平面 PAD; (2)求证:平面 EAC⊥平面 PBC. [导学号 35950545] 证明:(1)作线段 AB 的中点 F,连接 EF,CF(图略),则 AF=CD, AF∥CD, ∴四边形 ADCF 是平行四边形, 则 CF∥AD. 又 EF∥AP,且 CF∩EF=F, ∴平面 CFE∥平面 PAD. 又 EC 在平面 CEF 内, ∴EC∥平面 PAD. (2)∵PC⊥底面 ABCD,∴PC⊥AC, ∵ABCD 是直角梯形,且 AB=2AD=2CD=2, ∴AC= 2,BC= 2. ∴AB2=AC2+BC2,∴AC⊥BC, ∵PC∩BC=C,∴AC⊥平面 PBC, ∵AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBC. 1 3?1+an+1? 2?1+an? 8.已知数列{an}满足:a1= , = ,anan+1<0(n≥1);数列{bn}满足: 2 1-an 1-an+1 2 bn=a2 n+1-an(n≥1). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 2 2 [导学号 35950546] 解:(1)由题意,可知 1-a2 n+1= (1-an). 3 2 令 cn=1-a2 n,则 cn+1= cn. 3 3 3 2 3 2 n-1 又 c1=1-a21= ,则数列{cn}是首项为 ,公比为 的等比数列,即 cn= · ( ) . 4 4 3 4 3 3 2 n- 1

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