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2012年


河北省唐山市 2011-2012 学年高三上学期摸底考试 数学理
说明: 一、本试卷包括三道大题,22 道小题,共 150 分。其中第一道大题为选择题。 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题。 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。如需改动, 用 橡皮将原选涂答案擦干净后,再选涂其他答案。 四、考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回。 参考公式: 样本数据

x1 , x2 ,? xn 的标准差

锥体体积公式

S?

1 1 [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] V ? Sh n 3
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V ? Sh

S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目 要求。

i 1.复数 1 ? i 的共轭复数为 1 1 1 1 ? ? i ? i A. 2 2 B . 2 2





1 1 1 1 ? ? i ? i C. 2 2 D. 2 2

2.已知 x,y 满足

? y ? 0, ? ? x ? y ? 1 ? 0, 则z ? 2 x ? y ? x ? y ? 4 ? 0, ?

的最小值为





A.2 B.6.5 C.4 D.8 3.如右图,该程序框图运行后输出的结果是 ( A.63 B.31 C.15 D.7



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{a } 4.等差数列 n 的前 n 项和为
1 A. 2 1 1 B . 2 C. 4 ?

7 13 S n , a2 ? , S4 ? , 则a10 4 2 =
?
D.





1 4


5.球 O 的一个截面面积为 ? ,球心到该截面的距离为 3 ,则球的表面积是 ( A. 2? B. 4?
2

C. 8? D. 16?
2

6.已知 p : (a ?1) ? 1; q : ?x ? R, ax ? ax ? 1 ? 0, 则 p 是 q 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件





7.已知点 P 为圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 上一点,且点 P 到直线 x ? y ? m ? 0 距离的最
2 2

小值为 2 ? 1 ,则 m 的值为 A.-2 B.2 C. ? 2 D. ?2





2 y ? 与直线y ? x ? 1及x ? 4 x 8.曲线 所围成的封闭图形的面积为
A. 2 ? ln 2 B. 4 ? 2 ln 2 C. 4 ? ln 2 D. 2 ln 2
2 2





9.已知向量 a ? ( x ? 1,1), b ? (1, y) ,且 a ? b ,则 x ? y 的最小值为





1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

D.1

10. 五名志愿者去四个不同的社区参加创建文明城市的公益活动, 每个社区至少一人, 且甲、 乙不能分在同一社区,则不同的分派方法有 ( ) A.240 种 B.216 种 C.120 种 D.72 种

f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? 2 cos 2 x ? m在[0, ] 2 上有零点,则 m 的取值范围为 11.若函数
( ) B.[-1,2] D.[1,3] A. [1, 2 ? 2] C. [?1, 2 ? 2] 12 . 已 知

?

f ( x) 是 奇 函 数 , 且

f( ? 2 x ? )

f 当( x x )[ ? , 2 时 , 3 ,]

f( x ? )

2

l o? x g则当 (

1? x ) 时, , f ( x) = [ 1 , ( 2 ] )
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A. C.

? log2 (4 ? x) ? log 2 (3 ? x)

B. D.

log 2 (4 ? x) log 2 (3 ? x)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡上。

(x ?
13.二项式

1 6 ) x 的展开式中, x3 项的系数为



14.一个几何体的三视图如右图所示,正视图是一个边长为 2 的 正三角形,侧视图是一个等腰直角三角形,则该几何体的体 积为 。 15.已知椭圆 C1 与双曲线 C2 有相同的焦点 F1、F2,点 P 是 C1 与 C2 的一个公共点,

?PF1 F2 是一个以 PF1 为底的等腰三角形,

3 , | PF1 |? 4, C1 的离心率为 7 则 C2 的离心率为
16.已知数列



{an } 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ?1, n ? N * ,数列 {(n ? 1)an } 的前 n 项和为

。 三、解答题 :本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,BC=1,

cos B ?

2 2 , cos A ? sin C, 3 求 sin A及AC 的值。

18. (本小题满分 12 分) 某校高三年级共有 450 名学 生参加英语口语测试,其中男生 250 名,女生 200 名。 现按性别用分层抽样的方法从中抽取 45 名学生的成绩。 (I)求抽取的男生与女生的人数? (II)求男生甲和女生乙至少有 1 人被抽到的概率; (III)从男生和女生中抽查的结果分别如下表 1 和表 2; 表1 成绩分组 人数

? 60,70?
3

? 70,80?
m

?80,90?
8

?90,100?
6

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表2 成绩分组 人数

? 60,70?
2

? 70,80?
5

?80,90?
n

?90,100?
5

分别估计男生和女生的平均分数,并估计这 450 名学生的平均分数。 (精确到 0.01)

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S— ABCD 中, SD ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是平行四边形,

?BAD ? 30?, AB ? 2, AD ? 3 ,E 是 SC 的中点。
(I)求证:SA//平面 BDE; (II)求证: AD ? SB ; (III)若 SD=2,求二面角 E—BD—C 的余弦值。

20. (本小题满分 12 分)

C:
已知椭圆

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 经过点 M(-2,-1) ,离心率为 2 。过点 M

作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q。 (I)求椭圆 C 的方程; (II) ?PMQ 能否为直角?证明你的结论; (III)证明:直线 PQ 的斜率为定值,并 求这个定值。

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21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a) e , a ? R.
2 x

(I)求 f ( x ) 的单调区间; (II)若对于任意的

x ? ? ??,1?

,都有 f ( x) ? 4e, 求 a 的取值范围。

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 ?ABC ,过顶点 A 的圆与边 BC 切于 BC 的中点 P,与边 AB、AC 分别交 于点 M、N,且 CN=2BM,点 N 平分 AC。求证:AM=7BM。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? 3 x ? 6? t, ? ? 2 ? ? y ? 1 t, ? 2 在直角坐标系中 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (t 为参数) ;在以
O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 10cos ? . 曲线 C1 与 C2 交于 A、B 两点,求|AB|。

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24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| x | ? | x ? 3| ,若不等式 f ( x) ? a ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围。

参考答案
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一、选择题: A 卷:BADBA B 卷:CAADD 二、填空题:

ACCDD ADBCB

AC AC

π (13)x-y+1- 4 =0 三、解答题: (17)解:

(14)4

(15)3

(16)n·2n

π (Ⅰ)由 cosA=sinC,得 cosA=cos( 2 -C), π ? ? ? 因为 A∈(0, 2 ) , 2 -C∈(- 2 , 2 ), π π 所以 A= 2 -C,或 A=C- 2 , π π 2 2 ? 若 A= 2 -C,则 A+C= 2 ,B= 2 ,这与 cosB= 3 矛盾. π π 所以 A=C- 2 =?-(A+B)- 2 , π 即 2A= 2 -B,???????????????????????????5 分 1 所以 cos2A=sinB= 1-cos2B= 3 , 1 即 1-2sin2A= 3 , 3 因为 sinA>0,所以 sinA= 3 .???????????????????8 分 AC BC (Ⅱ)由正弦定理,有sinB=sinA, BC·sinB 3 所以 AC= sinA = 3 .?????????????????????12 分 (18)解: (Ⅰ)由抽样方法知, 45 被抽取的男生人 数为 250×450=25, 45 被抽取的女生人数为 200×450=20.?????????????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, m=25-(3+8+6)=8,n=20-(2+5+5)=8,据此估计 65×3+75×8+85×8+95×6 男生平均分为 =81.8, 25 65×2+75×5+85×8+95×5 女生平均分为 =83; 20

第 7 页 共 10 页

这 450 名学生的平均分数为

81.8×25+83×20 ≈82.33.?????????12 分 45

(19)解: (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于 F,连结 EF,由 ABCD 是平行四边形 ,知 F 为 AC 的中点, 又 E 为 SC 的中点,所以 SA∥EF, ∵SA?平面 BDE,EF?平面 BDE, ∴SA∥平面 BDE.?????????????????????????4 分 (Ⅱ)由 AB=2,AD= 3,∠BAD=30?,及余弦定理得 取 BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=1, ∵AD2+BD2=AB2,∴AD⊥BD. ∵SD⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD, ∴AD⊥SD, ∴AD⊥平面 SBD,又 SB?平面 SBD, ∴AD⊥SB.????????????????????????????8 分 S

E

D F A B

G

C

(Ⅲ)取 CD 的中点 G,连结 EG,则 EG⊥面 BCD,且 EG=1. 设三棱锥 C—BDE 的高为 h, 1 7 在△BDE 中,BD=1,DE=BE= 2 SC= 2,EF= 2 . 在 Rt△BCD 中,BD=1,BC= 3,∠CBD=90?. ∵VC—BDE=EE—BCD, 1 1 1 1 ∴ 3 · 2 ·BD·EF·h= 3 · 2 ·BD·BC·EG, BC·EG 2 21 ∴h= EF = 7 .??????????????????????12 分 (20)解: 4 1 (Ⅰ)由题设,得a2+b2=1, 且 a2-b2 2 =2 , a ① ②

由①、②解得 a2=6,b2=3, x2 y2 椭圆 C 的方程为 6 + 3 =1.?????????????????????4 分 (Ⅱ)记 P(x1,y1)、Q(x2,y2).
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设直线 MP 的方程为 y+1=k(x+2),与椭圆 C 的方程联立,得 (1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0, 8k2-8k-4 -4k2+4k+2 -2,x1 是该方程的两根,则-2x1= ,x1= . 1+2k2 1+2k2 设直线 MQ 的方程为 y+1=-k(x+2), -4k2-4k+2 同理得 x2= .?????????????? ????????8 分 1+2k2 因 y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2), 8k 1 + 2k2 y1-y2 k(x1+2)+k(x2+2) k(x1+x2+4) 故 kPQ= = = = 8k =1, x1-x2 x1-x2 x1-x2 1+2k2 因此直线 PQ 的斜率为定值.????????????????????12 分 (21)解: (Ⅰ)f?(x)=2(x-a)ex+(x-a)2ex=(x-a)[x-(a-2)]ex.??????????2 分 令 f?(x)=0,得 x1=a-2,x2=a. 当 x 变化时,f? (x)、f(x)的变化如下: x f?(x) f(x) (-∞,a-2) + ↗ a-2 0 极大值 (a-2,a) - ↘ a 0 极小值 (a,+∞) + ↗

所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,a-2),(a,+∞), 单调递减区间是(a-2,a).?????????????????????7 分 (Ⅱ)当 x∈(-∞,1]时, 由(Ⅰ)知,f(x)在(-∞,a-2)单调递增,在(a-2,a)单调递减,在(a,1)单调递增,f(x) 在(-∞,1]上的最大值为 f(a-2)或 f(1). 当 a∈[-1,3],f(a-2)=4ea-2≤4e;f(1)=(a-1)2e≤4e, 所以 f(x)≤4e.??????????????????????????12 分 (22)证明: 由切割线定理,有 BP2=BM·BA,CP2=CN·CA.??????????2 分 因为 P 是 BC 的中点,所以 BM·BA=CN·CA, 又点 N 平分 AC,所以 BM·(BM+AM)=2CN2,????????????6 分 因为 CN=2BM, 所以 BM·(BM+AM)=8BM2, 所以 AM=7BM.?????????????????????????10 分 (23)解: 在 ρ=10cosθ 的两边同乘以 ρ,得 ρ2=10ρcosθ, 则曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2=10x,??????????????3 分 3 1 3 将曲线 C1 的参数方程代入上式,得(6+ 2 t)2+ 4 t2=10(6+ 2 t), 整理,得 t2+ 3t-24=0, 设这个方程的两根为 t1,t2,则 t1+t2=- 3,t1t2=-24, 所以|AB|=|t2-t1|= (t1+t2)2-4t1t2=3 11.????????????10 分 (24)解: 不等式 f(x)>a-x 即 a<f(x)+x.
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? ?3-x,x<0, f(x)+x=?x+3,0≤x<3,????????????????????3 分 ? ?3x-3,x≥3.
当 x<0 时,f(x)+x 的取值范围是(3,+∞); 当 0≤x<3 时,f(x)+x 的取值范围是[3,6); 当 x≥3 时,f(x)+x 的取值范围是[6,+∞). 所以 f(x)+x 的取值范围是[3,+∞), 因此,使不等式 f(x)>a-x 恒成立的 a 的取值范围是(-∞,3).?????10

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