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综合法与分析法教案


&2.2.1
1. 教材分析

综合法和分析法(教案)

证明对高中生来说并不陌生,在上一节学习的合情推理,所得的结论的正确性就是要证 明的,并且在之前的数学学习中,积累了较多的证明数学问题的经验,但这些经验是零散的、 不系统的,这一节通过熟悉的数学实例,对证明数学问题的方法形成较完整的认识。 2. 教学目标 一.知识与技能目标 (1)了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法. (2)了解综合法和分析法的思维过程和特点. 二.过程与方法目标 (1)通过对实例的分析、归纳与总结,增强学生的理性思维能力. (2)通过实际演练,使学生体会证明的必要性,并增强他们分析问题、解决问题的能力. 三.情感、态度及价值观 通过本节课的学习,了解直接证明的两种基本方法,感受逻辑证明在数学及日常生活中 的作用,养成言之有理、论之有据的好习惯,提高学生的思维能力. 3. 教学重点/难点 教学重点:综合法和分析法的思维过程及特点。 教学难点:综合法和分析法的应用。 4. 学情分析 学生在以前的学习中,积累了较多的证明数学问题的经验,但这些经验是零散的、不系 统的,这一节通过熟悉的数学实例,帮助学生对证明数学问题的方法形成较完整的认识。 5. 教学过程 一、复习引入 回顾基本不等式: 法一: 因为; 所以 所以 所以
( a ? b )2 ? 0

a+b ? 2

ab

(a>0,b>0)的证明过程: 法二: 要证; 只需证; 只需证; 只需证;
a+b ? 2 ab

a + b ? 2 ab ? 0

a + b ? 2 ab
a + b ? 2 ab ? 0
( a ? b )2 ? 0

a + b ? 2 ab
a+b ? 2 ab

成立

因 为 ; ( a ? b )2 ? 0 所 以
a+b ? 2 ab

成立

成立

二、探索新知

-1-

1、综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫由因导果法或顺推证法. 特点:“执因索果” 推理过程: 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论.则综合法 用框图表示为:

2、分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分 条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定 义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法.分析法又叫执果索因法或叫逆推证法 特点:执果索因. 推理过程:

二、例题分析 例 1:已知 a>0,b>0,求证 a(b +c )+b(c +a )≥4abc 证明:因为 b +c ≥2bc,a>0
2 2 2 2 2 2 2 2

所以 a(b +c )≥2abc. 又因为 c +b ≥2bc,b>0 所以 因此 b(c +a )≥ 2abc. a(b +c )+b(c +a )≥4abc.
2 2 2 2 2 2 2 2

例 2:在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为 a、b、c,且A、B、C成等差数 列,a、b、c 成等比数列,求证△ABC为等边三角形. 证明:由 A,B,C 成等差数列,有 2B=A+C, 因为 A,B,C 是三角形的内角,所以 A+B+C=180 所以 B=60
o o,

由 a,b,c 成等比数列,有 b =ac, 则 b =a +c -2accosB=a +c -ac, 化简得:a +c -ac=ac,即(a-c) =0 因此 a=c,从而有 A=C A=B=C=60 。 所以三角形 ABC 是等边三角形。 【学生练习】1、在△ABC 中,已知 cosAcosA>sinAsinB,则△ABC 的形状一定是 2、下面的四个不等式:①a +b +3≥ab+ 3 (a+b) ;②a(1-a)≤
2 2 o 2 2 2

2

2

2

2

2

2

钝角三角形

1 b a 2 2 ;③ ? ≥2;④(a +b ) 4 a b

? (c2+d2)≥(ac+bd)2.其中恒成立的有 ①②④
-2-

评注:用综合法证明不等式时常用的结论: (1) ab ? (

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? ( a, b ? R ) 2 2

(2) a ? b ? 2 ab(a ? 0, b ? 0) 例 3:设 a,b 为实数,求证: a ? b ?
2 2

2 ( a ? b) 2

证明:当 a+b≤0 时,∵ a 2 ? b 2 ≥0 ∴

a2 ? b2 ?

2 (a ? b) 成立。 2

当 a+b>0 时,用分析法证明如下: 要证 a ? b ?
2 2

2 ( a ? b) , 2 2 (a ? b)]2 2

只需证 ( a ? b ) ? [
2 2 2

即证 a ? b ?
2 2

1 2 (a ? b 2 ? 2ab ) 。 2

即证 a ? b ≥2ab
2 2

∵ a ? b ≥2ab 对一切实数恒成立
2 2

所以 a ? b ?
2 2

2 (a ? b) 成立。 2

综上所述,不等式成立 【学生练习】 已知 a>0, 三、归纳小结 1、综合法处理问题的三个步骤:分析条件,选择方向→转化条件,组织过程→适当调整,回 顾反思。 2、当已知条件简单而证明的结论比较复杂时,一般采用分析法。 3、综合法优点:条理清晰,易于表述 证明格式:因为??/由??可知 所以?? 所以?? 综上所述,原命题成立

1 1 1 ? >1,求证: 1 ? a ? b a 1? b

-3-

4、分析法优点:解题方向比较明确,利于寻找解题思路 证明格式:要证?? 只需证?? 只需证?? 即证?? 因为??恒成立 所以原命题成立 四、课后作业

-4-


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