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初高中数学教材衔接导学案(第6课 根的判别式与韦达定理)

第六课

根的判别式与韦达定理

一、知识点 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式: 2.韦达定理:如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是 x1, x2 , 那么有: x1 ? x2 ? _________ 二、例题 例1 解关于 x 的方程: (1)x2-3x+3=0 (2)x2-2x+a=0 (3) mx ? 2 x ? 1 ? 0
2

x1 x2 ? _________

例2

已知方程 5x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.
2

例 3 已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两 个根的积大 21,求 m 的值.

例4

已知 x1, x2 是方程 x 2 ? 5x ? 2 ? 0 两个实数根,求下列式子的值: ①

1 1 2 3 3 ;③ x1 ;④ ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ;⑤ x1 ? x2 ? ;② x12 ? x2 ? x2 x1 x2

例5

已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数.

例6

求作一个方程,使它的根是方程 x ? 7 x ? 8 ? 0 的两根的平方的负倒数.
2

例 7 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、 另一根小于零, 求实数 a 的取值范围.

三、练习: 1.填空题: (1)若关于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 . 2 (2)方程 kx +4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . (3)已知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . (4)如果 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值是 . 2 (5)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x -8x+7=0 的两根,则这个直角三角形的斜 边长等于 . 2 2.已知关于 x 的方程 x -kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围.

3.已知一元二次方程 2 x ? 4 x ? 5 ? 0 的两个根分别是 x1 , x2 ,求下列式子的值:
2

(1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

3 3 (2) x1 ? x2

(3) x1 ? x2

4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

5.若关于 x 的方程 x2+x+a=0 的一个根大于 1,另一根小于 1,求实数 a 的取值范围.