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2.6 求数列的通项公式列(教案+例题+习题)


数列的通项的求法
一.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。 的通项公式. 解:设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0)
2 ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 ,

2 例 1. 等差数列 ?an ? 是递增数列, 前 n 项和为 S n , 且 a1 , a3 , a9 成等比数列,S 5 ? a5 . 求数列 ?an ?

即 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1d ∵d ? 0,
2 ∵ S 5 ? a5

∴ a1 ? d ………………………………① ∴ 5a1 ?

由①②得: a1 ?

3 3 ,d ? 5 5

5? 4 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 …………② 2 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5

点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________; 4 8 16 32 S ,(n ? 1) 二.公式法:已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? 1 。 Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2)
练一练:已知数列 3 例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式。 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1 当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,
n

?

?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1,
an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2.

?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ??? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ? 点评:利用公式 an ? ?

2 n?2 [2 ? (?1) n ?1 ] 3

?S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解时,要注意对 n 分类讨论,但若能合写时一定 S ? S ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 n n ? 1 ?

要合并. 练一练:①已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an ; ②数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ?

5 an ?1 ,求 an ; 3

三.累加法: 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

解:由条件知: a n ?1 ? a n ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

1

分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上 式 得 (n ? 1) 个 等 式 累 加 之 , 即

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 所以 a n ? a1 ? 1 ? 2 n 2 n 2 n 1 (n ? 2) ,则 an =________ 练一练:已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? n ?1 ? n a a a a 四.累乘法:已知 n ?1 ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。 an an ?1 an ? 2 a1 2 n a n ,求 an 。 例 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1
解:由条件知



an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累 ? an n ?1

乘之,即

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n

2 2 ,? a n ? 3 3n 练一练; 已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an
又? a1 ? 五.已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。 (1)形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an 。 ① an ? kan?1 ? b 解法:把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?

q ,再利用换 1? p

元法转化为等比数列求解。 例 5. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 解 : 设 递 推 公 式 an?1 ? 2an ? 3 可 以 转 化 为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即

an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故 递 推 公 式 为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) , 令 bn ? an ? 3 , 则
b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且
bn?1 an?1 ? 3 ? ?2 bn an ? 3
n?1

所以 ?bn ? 是以 b1 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,则 bn ? 4 ? 2 ② an ? kan?1 ? bn

? 2n?1 ,所以 an ? 2n?1 ? 3 .

解法 :该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以 q
2

n ?1

,得:

an?1 p an 1 a p 1 (其中 bn ? n ) , 得: bn?1 ? bn ? 再应用 an ? kan?1 ? b ? ? n ? 引入辅助数列 ?bn ? n ?1 n q q q q q q q
的方法解决.。

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 1 1 n ?1 2 n n ?1 n ?1 解:在 a n ?1 ? a n ? ( ) 两边乘以 2 得: 2 ? a n ?1 ? (2 ? a n ) ? 1 3 2 3 2 2 n 令 bn ? 2n ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,应用例 7 解法得: bn ? 3 ? 2( ) 3 3 bn 1 n 1 n 所以 a n ? n ? 3( ) ? 2( ) 2 3 2 练一练: ①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an ;
例 6. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? ②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an ; (2)形如 an ? 例 7: an ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。 kan ?1 ? b

an?1 , a1 ? 1 3 ? an?1 ? 1
1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

解:取倒数:

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
练一练:已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? (3)作商法 ① 形如 an?1 ? Aan ? B ? An?1的递推式可以用等式两 端同时除以 A n?1求通项 例 8 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2 解析:?an ? 2an?1 ? 2
n?1 n?1

an an?1 ,求 an ;

? n ? 2? 求数列 ?an ? 的通项公式。

? n ? 2?
an an ?1 a ?a ? ? n ?1 ? 2 ? ? n 是以 1 =1 为首项,2 为公差的等差数列。 n n? 2 2 2 ?2 ?
n

? an ? 2an?1 ? 2n?1 ,两边同除以 2n 得
? an ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 2n

即 an ? 2

? 2n ?1?

练一练: 1、在数列 ?an ? 中, a1 ? 5 , an ? 2an?1 ? 2 ? 1 n ? 2, n ?
n
n

?

N

*

? 求数列 ?a ? 的通项公式。
n

解析:在 an ? 2an?1 ? 2n ?1 中,先取掉 2 ,得 an ? 2an?1 ?1 令 an ? ? ? 2 ? an?1 ? ? ? ,得 ? ? ?1 ,即 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ;

3

然后再加上 2 得 ? an ?1? ? 2 ? an?1 ?1? ? 2n
n



? an ?1? ? 2 ? an?1 ?1? ? 2n
两边同除以 2 ,得
n

an ? 1 an ?1 ? 1 ? n ?1 ? 1; 2n 2

a ?1 ? a ? 1? ? 2 为首项,1 为公差的等差数列。 ? ? n n ? 是以 1 2 ? 2 ? ? an ? 1 ? 2 ? ? n ? 1? ? n ? 1, 2n

?an ? 2n ? n ? 1? ? 1
答案: an ? 4n ? 2n

2、已知 a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 2n?1 ,求 an 。

② 形如 an?1 ? an ? pan ? an?1的递推式可以用等式两 端同时除以 an ? an?1求通项 例9 已知 a1 ? 2, an ? 0, 且an?1 - an ? 2an?1an , 求an

解:? an ?1 ? an ? 2an ?1 an

?

1 1 ? ?2 a n a n+1

?1? 1 ? ? ? 是以 为首项,以-2为公差的等差数列 a1 ?an ? 1 1 5 ?4n ? 5 ? = +(n-1)(-2)=-2n+ ? a n a1 2 2 ? an ? 2 ?4 n ? 5
f (1),(n ? 1) ? ?

③形如 a1 ? a 2 ? a 3 ? ?a n ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) 。 ,(n ? 2)

? f (n ? 1) ? 例 10 数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ? ______
六、数学归纳法 例 11 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?



8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
4

由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2k ? 1)2 ? 1 (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ? ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2
ak ?1 ? ak ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? ? ? ? ? [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项,进而猜出数列的通项公式,最后再 用数学归纳法加以证明。

数列通项公式课后练习
1、已知数列 ?an ? 中,满足 a 1 =6,a n?1 +1=2(a n +1) (n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式。
?

2、已知数列 ?an ? 中,a n >0,且 a 1 =3, an?1 = an +1

(n∈N )

?

5

3、已知数列 ?an ? 中,a 1 =3,a n?1 =

1 ? a n +1(n∈N )求数列 ?an ? 的通项公式 2

4、已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,a n?1 =3a n +2,求数列 ?an ? 的通项公式

5、已知数列 ?an ? 中,a n ≠0,a 1 =

an 1 ,a n?1 = 2 1 ? 2an

(n∈N ) 求 a n

?

6、设数列 ?an ? 满足 a 1 =4,a 2 =2,a 3 =1

若数列 ?an?1 ? an ?成等差数列,求 a n

7、设数列 ?an ? 中,a 1 =2,a n?1 =2a n +1 求通项公式 a n

8、已知数列 ?an ? 中,a 1 =1,2a n?1 = a n + a n ? 2

求 an

9、已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

6


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