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高一数学-数学高一上必修北师大版2.3函数的单调性 精品

数学高一上必修北师大版 2.3 函数的单调性教案 ¤学习目标: 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几 何意义; 学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、 减区间等概念, 掌握增(减)函数的证明和判别. ¤知识要点: 1. 增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数 (increasing function). 仿照增函数的定义可定义减函数. 2. 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,就 说 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫 f(x) 的单调区间. 在单调区间上,增函数的图象是从左向右是上升的(如右图 1) ,减 函数的图象从左向右是下降的(如右图 2). 由此,可以直观观察函数图象上升 与下降的变化趋势,得到函数的单调区间及单调性. 3. 判断单调性的步骤:设 x 1 、x 2 ∈给定区间,且 x 1 <x 2 ;→计算 f(x 1 )-f(x 2 ) →判断符号→下结论. ¤例题精讲: 【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x) ? 调性. 解:任取 x1 , x2 ∈(0,1),且 x1 ? x2 . 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 2 x2 2( x2 ? x1 ) ? ? . x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2x 在区间(0,1)上的单 x ?1 由 于 0 ? x1 ? x2 ? 1 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 , 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 2x 在(0,1)上是减函数. x ?1 【例 2】求二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的单调区间及单调性. 所以,函数 f ( x) ? 解:设任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 . 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (ax12 ? bx1 ? c) ? (ax22 ? bx2 ? c) ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? b] . ? a( x12 ? x22 ) ? b( x1 ? x2 ) b b 时,有 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? ? ,即 a( x1 ? x2 ) ? b ? 0 ,从 2a a b 而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ( x) 在 (??, ? ] 上单调递增 . 同理可得 2a b f ( x) 在 [? , ??) 上单调递减. 2a 若 a ? 0 ,当 x1 ? x2 ? ? 【例 3】求下列函数的单调区间: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 | ; (2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 . ?3x ? 3, x ? 1 ? 解: (1) y ?| x ? 1| ? | 2 x ? 4 |? ? x ? 5, ?2 ? x ? 1 ,其图象如右. ??3x ? 3, x ? ?2 ? 由图可知,函数在 [?2, ??) 上是增函数,在 (??, ?2] 上是减函数. (2) y ? ? x2 ? 2 | x | ?3 ? ? ? ?? x2 ? 2 x ? 3, x ? 0 2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 由图可知,函数在 (??, ?1] 、 [0,1] 上是增函数,在 [?1, 0] 、 [1, ??) 上是减函数. ,其图象如右. 点评:函数式中含有绝对值,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数 式化为分段函数. 第 2 小题也可以由偶函数的对称性, 先作 y 轴右侧的图象, 并把 y 轴右侧的图象对折到左侧,得到 f (| x |) 的图象. 由图象研究单调性, 关键在于正确作出函数图象. 3x ? 1 ,指出 f ( x) 的单调区间. x?2 3( x ? 2) ? 5 ?5 解:∵ f ( x) ? , ? 3? x?2 x?2 ?5 ∴ 把 g ( x) ? 的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平 x 移 3 个单位,得到 f ( x) 的图象,如图所示. 【例 4】已知 f ( x) ? 由图象得 f ( x) 在 (??, ?2) 单调递增,在 (?2, ??) 上单调递增. 点评:变形后结合平移知识,由平移变换得到一类分式函数的图象 . 需知 f ( x ? a) ? b 平移变换规律. ※基础达标 1.函数 y ? x2 ? 6 x 的减区间是( ). A . (??, 2] B. [2, ??) 2.在区间(0,2)上是增函数的是( A. y=-x+1 B. y= x y= 2 x C. [3, ??) D. (??,3] ). C. y= x2-4x+5 D. 3.函数 f ( x) ?| x | 和g ( x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是( ). A. (??,0],(??,1] B. (??,0],[1, ??) C. [0, ??), (??,1] [0, ??),[1, ??) D. 4. 已知 f ( x) 是 R 上的增函数, 令 F ( x) ? f (1 ? x) ? 3 , 则 F ( x) 是 R 上的 ( ) . A.增函数 B.减函数 C.先减后增 D.先增后减 2 5 .二次函数 f ( x) ? x ? 2ax ? b在区间 ( ? ∞, 4) 上是减函数,你能确定的是 ( ). A. a ? 2 B. b ? 2 C. a ? ?4 D

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