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2012年 - 河北 - 石家庄 - 高三 - 省市模拟(二模) - 理科 - 数学


2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 高三数学(理科)
注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合M={5, 6, 7 } , N={5, 7, 8 },则 A. B. C. D.
(m 是常数)的一个焦点,则 m 的值为

2. 若 F(5,0)是双曲线 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9

3. 已知函数 f(x),g(x)分别由右表给出,则, 的值为 A. 1 4. A. -60 5. A. 1 B. B.2 C. 3 D. 4

的展开式中的常数项为 B. -50 的值为 C. D. 是向量
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要的条件
1

C. 50 D. 60

6. 已知向量 a=(1,2),b=(2,3),则
A.充分而不必要条件 C.充要条件

与向量 n=(3,-1)夹角为钝角的

7. —个几何体的正视图与侧视图相同,均为右图所示,则其俯视图可能是

8. 从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:

根据上表可得回归直线方程 高三男生的体重为 A. 70.09 B. 70.12 C. 70.55

,据此模型预报身高为 172 cm 的

D. 71.05

9. 程序框图如右图,若输出的 s 值为位,则 n 的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 的图象不可能是

10. 已知 a 是实数,则函数_

B 两点,记拋物线 l 与 AB 11. 已知长方形 ABCD,抛物线 l 以 CD 的中点 E 为顶点,经过 A、

边围成的封闭区域为 M.若随机向该长方形内投入一粒豆子,落入区域 M 的概率为 P.则下列 结论正确的是
A.不论边长 AB,CD 如何变化,P 为定值; C.当且仅当 AB=CD 时,P 最大; B.若

-的值越大,P 越大;

D.当且仅当 AB=CD 时,P 最小.

12. 设不等式组

表示的平面区域为 Dn an 表示区域 Dn 中整点的个数(其

2

中整点是指横、纵坐标都是整数的点),则 A. 1012 B. 2012 C. 3021 D. 4001 第 II 卷(非选择题共 90 分)

=

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 复数 (i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为_________. , ,则 BC 的长度为________. (a>b>0)的两个焦点,若椭圆上存在一点 P 使得 ,

14. 在Δ ABC 中, 15. 己知 F1 F2 是椭圆

则椭圆的离心率 e 的取值范围为________. 16. 在平行四边形 ABCD 中有 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中有 ,类比这个性质,在平行六面体中 =________

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4、S10、S7 成等差数列.
(I )求证而 a3,a9,a6 成等差数列;

(II)若 a1=1,求数列 W{a n}的前 n 项的积

3

. 18. (本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突 出.某市为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水 定额管理(即确定一个居民月均用水量标准?用水量不超过
a 的部分按照平价收费,超过 a 的部分按照议价收费) .为了

较为合理地确定出这个标准,通过抽样获得了 100 位居民 某年的月均用水量(单位:t),制作了频率分布直方图,

3

(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失,请在图中将其补充完整;

(II)用样本估计总体,如果希望 80%的居民每月的用水量不超出标准&则月均用水量的最低 标准定为多少吨,并说明理由; (III)若将频率视为概率,现从该市某大型生活社区随机调查 3 位居民的月均用水量(看作 有放回的抽样),其中月均用水量不超过(II)中最低标准的人数为 x,求 x 的分布列和均 值.

19. (本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=1, ,D 为 AA1 中点,BD 与 AB1 交于点 0,C0 丄侧 面 ABB1A1
(I )证明:BC 丄 AB1;

(II)若 OC=OA,求二面角 C 1 -BD-C 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,已知直线 l:y=-1,定点 F(0,1),过平面内动点 P 作 PQ 丄 l 于 Q 点,
且 ?

(I )求动点 P 的轨迹 E 的方程;

(II)过点 P 作圆

C ,当点 P 的纵坐标 y0>4 时, 的两条切线,分别交 x 轴于点 B 、

试用 y0 表示线段 BC 的长,并求Δ PBC 面积的最小值.

4

21. (本小题满分 12 分) 已知函数
(I )当 b=2 时,若

(A ,B R,e 为自然对数的底数),

.

存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 的图象 C1 与 的图象 C2 相交于两个不同的点 P、Q,过线段 ,求证 .

(II)当 a>0 时,设

PQ 的中点作 x 轴的垂线交 C1 于点

请考生在第 22?24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 已知四边形ACBE,AB交CE于D点, ( I ) 求证: ;

,BE2=DE-EC.

( I I ) 求证:A、E、B、C 四点共圆.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,X 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系相同的长度 单位建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为: 为: ,且射线 C2 与曲线 C1 的交点的横坐标为 ( 为参数);射线 C2 的极坐标方程

(I )求曲线 C1 的普通方程;

(II)设 A、B 为曲线 C1 与 y 轴的两个交点,M 为曲线 C1 上不同于 A、B 的任意一点,若直线
AM 与 MB 分别与 x 轴交于 P,Q 两点,求证|OP|.|OQ|为定值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设函数
(I)画出函数

的图象; 恒成立,求实数 a 的取值范围.

(II)若不等式,

5

2012 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试
高三数学(理科答案)
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的. 1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 1 14. 1或2 15.

?1 ? ,1? ? ?2 ?

2 16. 4( AB2 ? AD2 ? AA 1 ).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解: (Ⅰ) 当 q ? 1 时, 2S10 ? S4 ? S7 所以 q ? 1 ………………………………………………..2 分

由 2S10 ? S4 ? S7 ,得

2a1 ?1 ? q10 ? 1? q

7 a1 (1 ? q 4 ) a1 ?1 ? q ? ? ? 1? q 1? q

? a1 ? 0, q ? 1?2q10 ? q4 ? q7
则 2a1q8 ? a1q2 ? a1q5 ,

, ………………………….4 分

?2a9 ? a3 ? a6 ,所以 a3, a9, a6 成等差数列. ………………………6 分
3 (Ⅱ)依题意设数列 an 的前 n 项的积为 Tn ,

? ?

Tn = a13 ? a23 ? a33 ?an3
? 13 ? q3 ? (q2 )3 ?(qn?1 )3 = q3 ? (q3 )2 ?(q3 )n?1 ? (q3 )1?2?3?( n?1) = (q 3 )
10
n ( n ?1) 2

,…………………8 分
7

又由(Ⅰ)得 2q ? q ? q ,
4

1 , q 3 ? ? .…………………10 分 ? 2q6 ? q3 ?1 ? 0 ,解得 q 3 ? 1(舍) 2

? 1? 所以 Tn ? ? ? ? ? 2?

n? n ?1? 2

.

…………………………………………….12 分

6

18. 解: (Ⅰ)

………………………………3 分 (Ⅱ)月均用水量的最低标准应定为 2.5 吨.样本中月均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位,占样本总体的 20%,由样本估计总体,要保证 80%的居民每月的用水量不超出标准,月 均用水量的最低标准应定为 2.5 吨.……………………………………………6 分 (Ⅲ)依题意可知,居民月均用水量不超过(Ⅱ)中最低标准的概率是

4 4 ,则 X ~ B(3, ) , 5 5

1 1 P ( X ? 0) ? ( )3 ? 5 125 4 1 48 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? 5 5 125
分布列为

12 1 4 1 2 P( X ? 1) ? C3 ( ) ? 5 5 125 4 3 64 P ( X ? 3) ? ( ) ? ………………8 分 5 125
1 2 3

X
P

0

1 125

12 125

48 125

64 125

…………………………………………………………………………………………10 分

E( X ) ? 3?

4 12 ? ………………………………………………………………12 分 5 5

19. 解: (Ⅰ)因为 ABB1 A 1 是矩形,

D 为 AA1 中 点 , AB ? 1 , AA 1 ? 2 ,

AD ?
所 以

2 , 2
在 直 角 三 角 形

ABB1

中, tan ?AB 1 B ? 在 直 角

AB 2 , ? BB1 2
三 角 形

ABD

中, tan ?ABD ?

AD 2 , ? AB1 2
7

所以 ?AB 1 B = ? ABD , 又 ?BAB1 ? ?AB1B ? 90? ,

?BAB1 ? ?ABD ? 90? ,
所以在直角三角形 ABO 中,故 ?BOA ? 90 , 即 BD ? AB1 , …………………………………………………………………………3 分
?

又因为 CO ? 侧面ABB1 A 1 , AB 1 ? 侧面ABB 1A 1 ,所以 CO ? AB 1 所以, AB1 ? 面BCD , BC ? 面BCD , 故 BC ? AB1 …………………………5 分 (Ⅱ) 解法一: 如图,由(Ⅰ)可知, OA, OB, OC 两两垂直,分 别以 OA, OB, OC 为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角 坐标系 O ? xyz . 在 Rt ? ABD 中,可求得

3 6 6 , OD ? , OC ? OA ? , 3 3 6 2 3 在 Rt? ABB1 中,可求得 OB1 ? , 3 OB ?


? ? ? 6 ? 6 ? 3? D? 0, , 0 , 0 , B ? 0, ? , C ? 0, 0, ? ? ? ? 6 ? ? ? ? ? , 3 3 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 ? B1 ? ? , 0, 0 ? ? ? 3 ? ? ??? ? ? ? ? 6 ? ??? 6 3 ? ???? ? 2 3 6 ? , 0 所以 BD ? ? 0, , BC ? ? 0, ? ? 2 ? ? 3 , 3 ? ? , BB1 ? ? ? ? 3 , 3 ,0? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ???? ? 2 3 2 6 3 ? , , 可得, BC1 ? BC ? BB1 ? ? ? ? ? ? …………………………………8 分 3 3 3 ? ? ??? ? ???? ? 设平面 BDC1 的法向量为 m ? ? x, y, z ? ,则 m ? BD ? 0, m ? BC1 ? 0 ,

? 2 3 2 6 3 x? y? z?0 ?? ? 3 3 3 即? ,取 x ? 1, y ? 0, z ? 2 , ? 6 y?0 ? ? 2 则 m ? ?1,0, 2? , …………………………………10 分
又 面BCD n ? ?1,0,0? , 故 cos m, n ?

1 5 , ? 5 5
5 …………………………………12 分 5

所以,二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值为

8

解法二:连接 CB1 交 C1B 于 E ,连接 OE , 因为 CO ? 侧面ABB1 A 1 ,所以 BD ? OC , 又 BD ? AB1 , 所以 BD ? 面COB1 ,故 BD ? OE 所 以 ?E O C 为 二 面 角 C1 ? BD? C的 平 面 角…………………………………8 分

AD AO 1 6 , AB1 ? 3 , ? ? , BB1 OB1 2 2 2 2 OB1 ? AB1 ? 3, 3 3 1 3 , OC ? OA ? AB1 ? 3 3 1 4 15 2 2 在 Rt?COB1 中, B1C ? OC ? OB1 ? ,……………………10 分 ? ? 3 3 3 BD ?
又 ?EOC ? ?OCE

cos ?EOC ?

OC 5 , ? CB1 5
5 . 5
…………………………12 分

故二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值为

20.解: (Ⅰ)设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? , ∵ QP? QF ? FP?FQ , ∴ ? 0, y ?1?? ? ?x,2? ? ? x, y ?1??? x, ?2? . …………………2分 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ?1? ,即 x2 ? 4 y ,
2

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

所以动点 P 的轨迹 E 的方程 x2 ? 4 y . …………………………4分 (Ⅱ) 解法一:设 P( x0 , y0 ), B(b,0), C(c,0) ,不妨设 b ? c . 直线 PB 的方程: y ?

y0 ( x ? b) ,化简得 y0 x ? ( x0 ? b) y ? y0b ? 0 . x0 ? b
2( x0 ? b) ? y0b
2 y0 ? ( x0 ? b) 2

又圆心 (0, 2) 到 PB 的距离为 2,

?2 ,

2 2 2 故 4[ y0 ? ( x0 ? b)2 ] ? 4( x0 ? b)2 ? 4( x0 ? b) y0b ? y0 b ,易知 y0 ? 4 ,上式化简得

( y0 ? 4)b2 ? 4x0b ? 4 y0 ? 0 , 同理有 ( y0 ? 4)c2 ? 4x0c ? 4 y0 ? 0 . …………6 分
所以 b ? c ?

?4 y0 ?4 x0 , bc ? ,…………………8 分 y0 ? 4 y0 ? 4

9

2 2 则 (b ? c)2 ? 16( x0 ? y0 ? 4 y0 ) . ( y0 ? 4)2

2 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 x0 ? 4 y0 ,
2 4 y0 . ………………10 分 则 (b ? c)2 ? 16 y0 , b ? c ? 2 y0 ? 4 ( y0 ? 4)

2 y0 16 所以 S?PBC ? 1 (b ? c) ? y0 ? ? y0 ? 2[( y0 ? 4) ? ? 8] 2 y0 ? 4 y0 ? 4

? 4 16 ? 8 ? 32 .
当 ( y0 ? 4)2 ? 16 时,上式取等号,此时 x0 ? 4 2, y0 ? 8 . 因此 S?PBC 的最小值为 32. ……………………12 分 解法二:设 P( x0 , y0 ) , 则 y 0 ?
2 x0 , PB 、 PC 的斜率分别为 k1 、 k2 , 4

则 PB : y ?

2 x0 x2 x2 ? k1 ( x ? x0 ) ,令 y ? 0 得 xB ? x0 ? 0 ,同理得 xC ? x0 ? 0 ; 4 4k1 4k2

所以 | BC |?| x B ? xC |?|

2 x0 x2 x 2 k ? k2 ? 0 |? 0 ? | 1 | ,……………6 分 4 4k 2 4k1 k1 k 2

下面求 |

k1 ? k 2 |, k1 k 2
x ? k1 ( x ? x0 ) 的距离为 2,得 4
2 0

由 (0, 2) 到 PB : y ?

| k1 x0 ? 2 ? k12 ? 1

2 x0 | 4 ?2,

2 因为 y0 ? 4 ,所以 x0 ? 16 ,

化简得 ( x0 ? 4)k1 ? x0 ? (4 ?
2 2

2 x0 x2 2 )k1 ? ( 0 ) 2 ? x0 ? 0, 2 4 2 x0 x2 2 )k2 ? ( 0 ) 2 ? x0 ? 0 …………………8 分 2 4

同理得 ( x0 ? 4)k2 ? x0 ? (4 ?
2 2

2 2 x0 x0 2 2 所以 k1 、 k2 是 ( x ? 4)k ? x0 ? (4 ? )k ? ( ) ? x0 ? 0 的两个根. 2 4 2 0 2
2 x0 ? 4) 2 , 2 x0 ?4

所以 k1 ? k2 ?

x0 (

2 2 x0 2 x0 2 x0 ( ? 1) ) 2 ? x0 16 k1k2 ? 4 2 ? , 2 x0 ? 4 x0 ?4

(

10

| k1 ? k2 |? (k1 ? k2 )2 ? 4k1k2 ?

2 k ? k2 1 x0 |? 2 ,| 1 , 2 x0 k1k2 x0 ? 4 ?1 16

| xB ? xC |?

2 x0 x2 4 y0 k ?k 1 1 ,……………10 分 ? | 1 2 |? 0 ? 2 ? y0 ? ? y0 4 k1k2 4 x0 y ? 4 0 ?1 ?1 4 16

所以 S?PBC ?

2 y0 1 16 | BC | ? y0 ? ? y0 ? 2[( y0 ? 4) ? ? 8] 2 y0 ? 4 y0 ? 4

? 4 16 ? 8 ? 32 .
当 ( y0 ? 4)2 ? 16 时,上式取等号,此时 x0 ? 4 2, y0 ? 8 . 因此 S?PBC 的最小值为 32. ……………………12 分 21.解:(Ⅰ)当 b ? 2 时,若 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ae2 x ? 2e x ? x ,则

F ?( x) ? 2ae2 x ? 2ex ?1 ,
原命题等价于 F ?( x) ? 2ae2 x ? 2e x ?1 …0 在 R 上有解.……………2 分 法一:当 a …0 时,显然成立; 当 a ? 0 时, F ?( x) ? 2ae ∴
2x

? 2e x ? 1 ? 2a(e x ?

1 2 1 ) ? (1 ? ) 2a 2a

1 1 ) ? 0 ,即 ? ? a ? 0 . 2a 2 1 综合所述 a ? ? .…………………5 分 2 1 1 2 1 法二:等价于 a ? ? ( x ) ? x 在 R 上有解,即 2 e e ?(1 ?


1 a ? ? .………………5 分 2

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,不妨设 x1 ? x2 ,则

x2 ? x1 ? x0 , 2

ae2 x2 ? bex2 ? x2 , ae2 x1 ? bex1 ? x1 ,
两式相减得: a(e 整理得
2 x2

? e2 x1 ) ? b(ex2 ? ex1 ) ? x2 ? x1 ,……………7 分
x2 ? x1 2

x2 ? x1 ? a(e ? e )(e ? e ) ? b(e ? e )…a(e ? e )? 2e
x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1

? b(e x2 ? e x1 )

11



x2 ? x1 x2 ? x1 2 … 2 ae ? b ,于是 e x2 ? e x1

? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 2 x2 ? x1 2 ? e … 2 ae ? be ? f ?( x0 ) ,…………………9 分 e x2 ? e x1 ? x1 ? x1 x2 ? x1 x2 2 x2 ? x1 x2 2 ?e ? x2 ? x1 ? e 而 x e 2 ? e x1 e ?1

令 t ? x2 ? x1 ? 0 ,则设 G(t ) ? e 2 ? e

t

?

t 2

? t ,则

t t t t ? 1 2 1 ?2 1 2 2 G?(t ) ? e ? e ? 1 ? ? 2 ? e ? e ? 1 ? 0 , 2 2 2



y ? G (t ) 在 (0, ??) 上单调递增,则
t 2 ? t 2
t 2 ? t 2

G(t ) ? e ? e ? t ? G(0) ? 0 ,于是有 e ? e
t 即 e ? 1 ? te 2 ,且 e ? 1 ? 0 ,

?t,

t

t



t t 2 e ? 1, et ? 1

即 f ?( x0 ) ? 1 .…………………12 分 请考生在第 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分 22.选修 4-1 几何证明选讲 证明:(Ⅰ)依题意,

DE BE ? , ?1 ? ?1 , BE EC

所以 ?DEB ? ?BEC ,………………2 分 得 ?3 ? ? 4 , 因为 ? 4 ? ?5 , 所以 ?3 ? ?5 ,又 ? 2 ? ?6 , 可得 ?EBD ? ?ACD .……………………5 分 (Ⅱ)因为

因为 ?EBD ? ?ACD ,

ED BD ED AD ? ? ,即 ,又 ?ADE ? ?CDB , ?ADE ? ?CDB , AD CD BD CD 所以 ?4 ? ?8 ,………………7 分
所以 因为 ?1 ? ?2 ? ?3 ? 180 ,
0

12

因为 ?2 ? ?7 ? ?8 ,即 ?2 ? ?7 ? ?4 ,由(Ⅰ)知 ?3 ? ?5 , 所以 ?1 ? ?7 ? ?4 ? ?5 ? 1800 , 即 ?ACB ? ?AEB ? 1800 , 所以 A 、 E 、 B 、 C 四点共圆.………………10 分 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为

x2 ? y2 ? 1 , 2 a

射线 C2 的直角坐标方程为 y ? x( x ? 0) ,…………………3 分 可知它们的交点为 ?

? 6 6? 2 ? 3 , 3 ? ? ,代入曲线 C1 的普通方程可求得 a ? 2 . ? ?

所以曲线 C1 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1.………………5 分 2

(Ⅱ) | OP | ? | OQ | 为定值. 由(Ⅰ)可知曲线 C1 为椭圆,不妨设 A 为椭圆 C1 的上顶点, 设 M ( 2 cos ?,sin ? ) , P( xP ,0) , Q( xQ ,0) , 因为直线 MA 与 MB 分别与 x 轴交于 P 、 Q 两点, 所以 K AM ? K AP , KBM ? KBQ ,………………7 分 由斜率公式并计算得

xP ?

2 cos ? 2 cos ? , xQ ? , 1 ? sin ? 1 ? sin ?

所以 | OP | ? | OQ |? xP ? xQ ? 2 .可得 | OP | ? | OQ | 为定值.……………10 分 24.选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)由于 f ( x) ? ?

?3x ? 7, x ? ?2, …………2 分 ??3x ? 5 x ? ?2.

则函数的图象如图所示:(图略)……………5 分 (Ⅱ) 由函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图象可知, 当且仅当 ? 分

1 ? a ? 3 时 ,函数 y ? ax 的图象与函数 y ? f ( x) 图象没有交点 ,…………… 7 2

13

所以不等式 f ( x) ? ax 恒成立, 则 a 的取值范围为 ? ?

? 1 ? ,3 .…………………10 分 ? 2 ? ?

14


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