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1.1.1集合的含义与表示


§1.1.1集合的含义与表示

1. 我们以前已经接触过的集合

? 自然数集合,正分数集合,有理数集合;
? 到角的两边的距离相等的所有点的集合; 是角平分线 ? 到线段的两个端点距离相等的所有点的集合; 是线段垂直平分线

2.集合的含义

⑴1到20以内的所有质数; ⑵我国从1991到2003年的13年内所发射的所有人造卫星 ⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车; ⑷2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;

⑸所有的正方形; ⑹到直线l的距离等于定长d所有的点;
2 ⑺方程 x ? 3 x ? 2 ? 0 的所有实数根;

⑻万州中学2010年9月入学的高一学生全体.

2.集合的含义

一般地,我们把研究对象统称为元素(element), 把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称集). 我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示 集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元 素.

3.集合中元素具的有几个特征

⑴确定性-因集合是由一些元素组成的总体,当然, 我们所说的“一些元素”是确定的.

⑵互异性-即集合中的元素是互不相同的,如果出 现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个,即集 合中的元素是不重复出现的.
⑶无序性-即集合中的元素没有次序之分. (4)广泛性-即集合中的元素可以是数点图形人等.

例子: 1 A={1,3},问3,5哪个是A的元素? 2 B={素质好的人}能否表示成为集合?

3 C={2,2,4}表示是否正确?
4 D={太平洋,大西洋} E={大西洋,太平洋} 集合 D ,E是不是表示相同的集合?

4.常用的数集及其记法

? ? ? ? ?

全体非负整数组成的集合称为自然数集,记为N 所有正整数组成的集合称为正整数集,记为 N *或N ? 全体整数组成的集合称为整数集,记为Z 全体有理数组成的集合称为有理数集,记为Q 全体实数组成的集合称为实数集,记为R

5.元素与集合之间的关系

? 如果a是集合A中的元素,就说a属于集合 (belong to)A,记作a ? A ; ? 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于(not belong to)集合A,记作 a ? A; 例如,A={所有能被3整除的整数}

当a ? ?6时, a ? A 当a ? 7时, a ? A

6.集合的几种表示方法

⑴ 列举法-将所给集合中的元素一一列举出来, 写在大括号里,元素与元素之间用逗号分开.

? 列举法有三种形式: ? 1.是有限集而元素个数较少,如由0、2、-3、5 组成的集合可表示为{0,2,-3,5}; ? 2.是有限集但元素个数较多,如由从50到100的 所有整数组成的集合可表示为{50,51,52, 53,…,98,99,100}; ? 3.是无限集且元素离散,如由所有的正偶数组 成的集合可表示为{2,4,6,8,……}

6.集合的几种表示方法

例1 用列举法表示下列集合: (1) 小于10的所有自然数组成的集合; 解:⑴设小于10的所有自然数组成的集合为A, 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

由于元素完全相同的两个集合相等,而与列举 的顺序无关,因此集合A可以有不同的列举方 法.例如 A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.

(2) 方程x 2 ? x的所有实数根组成的集合;
(2)设方程 x 2 ? x的所有的实数根组成的 集合 为B, 那么 B ? {0,1}.

(3) 由1~20以内的所有质数组成的集合.

(3)设由 1 ~ 20以内的所有质数组成的 集合为 C, 那么 C ? {2,3,5,7,11,13,17,19}.

(2) 描述法-用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法.
? 描述法有两种表述形式: ? 1.数式形式:在花括号内先写上表示这个集合元素 的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 形式如:{xxxx|xxxxxxxxx} ? 如由不等式x-3>2的所有解组成的集合,可表示 为 {x|x-3>2}; ? 由直线y=x+1上所有的点的坐标组成的集合,可 表示为 {(x,y)| y=x+1 }。

(2) 描述法-用集合所含元素的共同特征表示集合 的方法.
? 描述法有两种表述形式: ? 2.语言形式:用文字把元素所具有的属性描述出来 ? 如由所有直角三角形组成的集合,可表示为: {直角三角形}; ? 由所有小于6的正整数组成的集合,可表示为: {小于6的正整数}

例2 试用列举法和描述法表示下列集合: 2 (1)方程x ? 2 ? 0的所有实数根组成的集 合;
解 : (1)设方程x ? 2 ? 0的实数根为x, 并且满足条
2

件x 2 ? 2 ? 0, 因此, 用描述法表示为 A ? {x ? R | x 2 ? 2 ? 0}. 方程 x 2 ? 2 ? 0有两个实数根 2 ,? 2 , 因此, 用列举法表示为 A ? { 2 ,? 2}.

例2 试用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程x 2 ? 2 ? 0的所有实数根组成的集 合;
(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.

(2)设大于10小于20的整数为x, 它满足条件x ? Z 且10 ? x ? 20, 因此, 用描述法表示为 B ? {x ? Z | 10 ? x ? 20}. 大于10小于20的整数有 11,12,13,14,15,16,17,18, 19, 因此, 用列举法表示为 B ? {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

(3) 图示法:画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个 集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已 给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示 .

如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:
A
Venn图

1

2 3 4 5

韦恩图

6.集合的几种表示方法

思考1:a与{ a }的含义是否相同? 思考2:集合{1,2}与集合{(1,2)}相同吗? 思考3:集合 { y | y ? x 2 , x ? R}与集合 { y ? x 2 } 相同吗? 思考4:集合 {( x, y ) | y ? x 2 , x ? R}的几何意义如何? y

y ? x2
x o

7.集合的分类

例如: A={1,3,5},B={不大于3的所有实数}
C ? {x ? R | x2 ? 1 ? 0}

⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集 ⑵ 无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集 (3) 空集--------不含任何元素的集合叫空集.

记作:?

8.本节小结

思考: 本节课主要学研究哪些基本内容?集合的三种 表示方法各有怎样的优点?用其表示集合各应注意 什么? ? ? ? ? ? 集合的含义 元素与集合之间的关系 集合中元素的特征 集合的表示 集合的分类

9.能力提升

1.已知集合A={x|x>1},B={t|t>1}。探求集合A与 B的关系。

2.已知A ? {x ? R | y ? x 2 ? 1}, B ? A ? { y ? R | y ? x 2 ? 1} C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 1}
(1)它们是不是相同的集合? (2)它们的各自含义是什么?

3.设集合{x | x2 ? mx ? n ? 0} ? {2}, 求实数m、n的值


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