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2013届高三理科数学第三次月考(平面向量与三角函数测试题)

2013 届高三第一学期第二次月考

理科数学
(时间:120 分钟 项是符合题目要求的. 1.若角 ? 的终边经过点 P(1,?2) ,则 tan 2? 的值是( A.
4 3

满分:150 分)

一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

) D. ?
4 3

B.

sin( ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 2.已知 tan? ? 2, 则 等于( ? sin( ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2
A.2 B.-2 C.0

?

2 3

C.

1 2


2 3

D.

3.设非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为( A. 30° B.60° C.90° D.120°



4.已知下列命题:①若向量 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;②若 a > b ,则 a > b ; ③若 a ? b ? 0 ,则 a = 0 或 b = 0 ;④在△ABC 中,若 AB ? CA ? 0 ,则△ABC 是钝角 三角形;⑤ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 其中正确命题的个数是( ) )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 5.已知扇形的周长为 6 cm,面积是 2 cm ,则扇形的圆心角的弧度数是( A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4

6.在 ?ABC 中,三内角 A, B, C 分别对三边 a, b, c , tan C ? ( ) A.10 B.8 C.6

4 , c ? 8 ,则 ?ABC 外接圆半径 R 为 3

D.5

7.若 A, B, C 是直线 l 上不同的三个点,若点 O 不在 l 上,存在实数 ? ,使得

?2 OA ? ? OB ? BC ? 0 ,则 ? ? (
A. ? 1 B. 0

) C.
?1? 5 2

D.

1? 5 2

8.设函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ,则下列结论正确的是( 3?

)

A. f ? x ? 的图像关于直线 x ? C.把 f ? x ? 的图像向左平移

?
3

对称

? B. f ? x ? 的图像关于点 ? , 0 ? 对称 ? ? 4
? ?

? 个单位,得到一个偶函数的图像 12

D. f ? x ? 的最小正周期为 ? ,且在 ?0,

? ?? 上为增函数 ? 6? ?
)

9.平面上有四个互异的点 A, B, C, D ,满足 ( AB ? BC ) ? ( AD ? CD) ? 0 ,则 ?ABC 的形状为( A.直角三角形 B.等腰三角形
x

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

10.在同一个坐标系中画出函数 y ? a , y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0 且 a ? 1 ,则下列所给图象中 可能正确的是( )

11.某人在 C 点测得某塔在南偏西 80°, 塔顶仰角为 45°,此人沿南偏东 40? 方向前进 10 m 到 D ,测得塔顶 A 的仰角为 30°,则 塔高为( ) A.15 m B.5 m C.10 m D.12 m

12. 已知 M 是 ?ABC 内的一点, AB ? AC ? 2 3 ,?BAC ? 30? , ?M C ,?MCA 和 ?MAB 且 若 B
1 4 1 的面积分别为 , x, y ,则 ? 的最小值是( x y 2

) D.20

A.9

B.16

C.18

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.若向量 a ? (1,2), b ? (1,?1) ,则 2a ? b 与 a ? b 的夹角等于__________. ? 4 4 14. 已知 0 ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? ? ,则 2? ? __________. ? ? 2 5 5 15.已知 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为 1,若 AB ? AC ? 2 AO ,且 OA ? AC ,则向量 BA 在向 量 BC 方向上的投影为_________. 16. ?ABC 三内角 A, B, C 分别对三边 a, b, c ,已知 a ? 1 , 当时 cos A ? 2 cos 积的最大值是_________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17. (本题满分 10 分)已知等比数列 ?a n ?的公比 q ? 3 ,前 3 项和 S 3 ?
13 . 3 B?C 取最大值时,?ABC 面 2

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式;(Ⅱ)若函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 在 x ? 最大值 a 3 ,且其图象相邻两条对称轴之间的距离为

?
6

处取得

? 求函数 f (x) 的解析式. 2,

? ? 1 1 18. (本题满分 12 分)已知向量 m ? (a ? sin? ,? ) , n ? ( , cos? ) . 2 2
? ? ? ? (Ⅰ)当 a ? 2 ,且 m ? n 时,求 sin 2? 的值;(Ⅱ)当 a ? 0 ,且 m ∥ n 时,求 tan? 的值.

2

19. (本题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三内角 A, B, C 的对边,a cosC ? 3a sin C ? b ? c ? 0 . (Ⅰ)求 A ;(Ⅱ)若 a ? 2 , ?ABC 的面积等于 3 ,求 b, c .

x x 3 3 ? 20. (本题满分 12 分)已知向量 a ? (cos x, sin x) , b ? (cos , sin ) ,且 x ? [0, ] . 2 2 2 2 2

(Ⅰ)求 a ? b 及 a ? b ;(Ⅱ)若 f ( x) ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值为 ?

3 ,求实数 ? 的值. 2

21. (本题满分 12 分)一铁棒欲通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题: (Ⅰ)求棒长 L 关于 ? 的函数关系式 L(? ) ; (Ⅱ)求能通过直角走廊的铁棒长度的最大值.

C

?
B

2

A
2

22. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x ? cos2 x . (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)若 g ( x) ? f ( x) ? m 在 x ? [0, ] 上有两个不同的零点,求实数 m 的取值范围; 2 (Ⅲ)求由曲线 f (x) 和 h( x) ? 4 cos 2 x 及直线 x ? 0 和直线 x ?

?

?

4

围成图形的面积.

答案
一、选择题 ABBAC 二、填空题 13. DACBD CC

? ; 4

14. ? ;

15.

3 ; 2

16.

3 4

三、解答题
a1 (1 ? 33 ) 13 13 ? 17.解: (1)由 q ? 3, S 3 ? ,得 1? 3 3 3 1 所以 a n ? ? 3n?1 ? 3n?2 , 3

解得 a1 ?

1 , 3 2?

(2)由(1)知 a3 ? 3 ,所以 A ? 3 ,由题意知 T ? 2 ? 因为当 x ?

?
2

? ? ,所以 ? ?

?
6

时 f (x) 取得最大值,所以 sin(2 ?

?
6

?

? 2,

? ? ) ? 1 ,又 0 ? ? ? ? ,故 ? ?

?
6



所以函数 f (x) 的解析式为 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?
6

).

18.解: (1)当 a ?

? 2 2 1 时, m ? ( ? sin? ,? ) , 2 2 2

? m ? n , ?由 m? n ? 0 , 得 sin ? ? cos? ?
上式两边平方得 1 ? sin 2? ?
?

?

?

? ?

2 , 2

1 1 ,所以 sin 2? ? ? . 2 2
? ?

(2)当 a ? 0 时, m ? (? sin ? ,?1) ,由 m ∥ n ,得 sin? cos? ?
? sin 2? ? 2 sin ? cos? 2 tan? 1 ? ? , 2 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan ? 2

1 1 ,即 sin 2? ? , 4 2

解得 tan? ? 2 ? 3 或 2 ? 3 .
? sin 19.解: (1) a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 , 由正弦定理得: A cosC ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C 又 sin B ? sin(A ? C ) ,? sin A cosC ? 3 sin A sin C ? sin A cosC ? cos A sin C ? sin C ,

即 3 sin A sin C ? sin C (1 ? cos A) ,

? sin C ? 0 ,? 3 sin A ? cos A ? 1 ,? sin(A ?
从而 A ? (2)由 S ?

?
6

)?

?
6

?

?
6

, ?A?

?
3

1 2

.

1 bc sin A ? 3 ,得 bc ? 4 , 2 又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 b 2 ? c 2 ? 8 ?bc ? 4 由? 2 解得 b ? c ? 2 b ? c2 ? 8 ? 3 x 3 x 3 x 20. 解: (1) a ? b ? cos x cos ? sin x sin ? cos( x ? ) ? cos x , 2 2 2 2 2 2
2 3 x 3 x x a ? b ? (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos x ? 4 cos2 2 2 2 2 2

? x ? x ? [0, ] ,? cos ? 0, 2 2

? a ? b ? 4 cos2

x x ? 2 cos . 2 2

x x x (2)? f ( x) ? cos x ? 4? cos ? 2 cos2 ? 4? cos ? 1 , 2 2 2
2 ? x ? ,1] ? x ? [0, ] , ? ? [0, ] ,? cos x ? [ 2 2 2 4

x ? f ( x ? 2(cos ? ? ) 2 ? 1 ? 2?2 2

当? ?

2 x 2 3 2 4? 3 ? 1 ? ? ,解得 ? ? 时,当且仅当 cos ? 时, f (x) 取最小值 1 ? ; 2 2 2 8 2 2



2 x 3 1 ? ? ? 1 时,当且仅当 cos ? ? 时, f (x) 取最小值 ? 1 ? 2?2 ? ? , 解得 ? ? (舍去) ; 2 2 2 2

x 3 5 当 ? ? 1 时,当且仅当 cos ? 1 时, f (x) 取最小值 2 ? 4? ? 1 ? ? ,解得 ? ? (舍去) , 2 2 8

综上所述, ? ?

3 2 . 8

C

2 2 21. 解:(1)如右图, AB ? , BC ? , cos? sin ?

?
B

2

L(? ) ? AC ? AB ? BC ?

2 2 ? ? (0 ? ? ? ) . cos? sin? 2

A
2

(2)法一:? sin ? cos? ?
1 ? 1 ? L(? ) ? 2 ? ? ? cos? sin ?

sin 2 ? cos2 ? 1 1 ? ,即 ? 2 ,当且仅当 sin? ? cos? 时,等号成立 2 2 sin ? cos?
? 1 ? ? ? 2? 2 ? cos? sin ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? 4 ,当且仅当 sin? ? cos? 时,等号成立 ? ?

故当 ? ?

?
4

时, L(? ) 取到最小值 4,而 L(? ) 的最小值就是铁棒通过走廊的最大长度 4.

cos? ? sin 3 ? ? cos3 ? ? ? sin ? ?(? ) ? 2 ? ? ? 法二: L , ? L?(? ) ? 0 , 令 解得 sin? ? cos? , ? ? 即 ?? 2 2 2 2 2 4 sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

当 ? ? (0, ) 时, sin? ? cos? ,? L(? ) ? 0 ,从而 L(? ) 单调递减; 4 当 ? ? ( , ) 时, sin? ? cos? ,? L(? ) ? 0 ,从而 L(? ) 单调递增; 4 2 故,当 ? ?

?

? ?
?
4

时, L(? ) 取到最小值 4,而 L(? ) 的最小值就是铁棒通过走廊的最大长度 4.
2 (cos? ? sin ? ) ? ? , 令 t ? cos? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) ? 0 ? ? ? ,?t ? (1, 2 ] , sin ? cos? 4 2
(sin ? ? cos? ) 2 ? 1 t 2 ? 1 2 2t 2 2 ? ? , ?L ? 2 , 1 2 2 t ?1 t? t

法三: L(? ) ?

则 sin ? cos? ?

1 2 1 ] ,所以 L ? [4,??) , 当 t ? (1, 2 ] 时, t ? 随着 t 的增大而增大,所以 t ? ? (0, t 2 t

所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 4.

22. 解:(1) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? 由?

?
6

) ,所以最小正周期 T ?

2? ?? , 2
? k? , k ? Z ,

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ,得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

所以 f (x) 的递增区间为 [? (2)? g (x) 在 [0, ] 有两个不同的零点, 2

?
3

? k? ,

?
6

? k? ]( k ? Z )

?

y
2 1

y?m
? 2

? y ? f (x) 与 y ? m 的图象在 [0, ] 上有两个交点, 2 y ? f (x) , x ? [0, ] 的图象如右图: 2 由图知, 1 ? m ? 2

?

x

O

?

(3)在上图中,作出 h( x) ? 4 cos 2 x 的图象,

? ? ? ? ? y ? 2 sin(2 x ? ) 由? 6 ,解得 f (x) 与 h(x) 的图象在 [0, ] 上的交点坐标为 ( ,2) , 4 6 ? y ? 4 cos 2 x ?
y
4

y ? h(x)

2 1

y ? f (x)
? 2
? ? 6 4

x

O

S ? ? 6 [4 cos 2 x ? 2 sin(2 x ?
0

?

?
6

)]dx ? ??4[2 sin(2 x ?
6

?

?
6

) ? 4 cos 2 x]dx
?

? [2 sin 2 x ? cos(2 x ?

?
6

)]| 6 ? [ ? cos( 2 x ?
0

?

?
6

4 ) ? 2 sin 2 x]|? 6

? [( 2 sin
? 3?

?

? ? 2? ? ? ? ? cos ) ? (2 sin 0 ? cos )] ? [(cos ? 2 sin ) ? (cos ? 2 sin )] 3 2 6 3 2 2 3

3 1 ? (? ? 2 ? 3 ) 2 2

3 ? ( 3 ? 1) 2


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