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《圆的标准方程》_公开课教学设计

4.1.1 圆的标准方程
一、教学分析 在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上, 进一步运用解析法研究圆的方程、它与其他图形的位置关系及其应用。同时,圆是特殊的圆 锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础。也就是说, 本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广 泛的应用。 由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌 握” ,为了激发学生的主体意识,培养学生的创造和应用意识,本节内容我采用“引导探究” 型教学模式进行教学设计。 二、三维目标 1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出 圆的圆心坐标和半径,进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想。 2、用待定系数法和几何法求圆的标准方程,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,形 成代数方法处理几何问题的能力。 三、教学重点 圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的应用。 四、教学难点 会根据不同的已知条件,会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。 五、课时安排 问题 1 课时 师生活动 设计意图 方程引出圆的方程。 六、教学过程设计 1 直线可以用一个方程表示, 那么 回忆前一章学习的要点,引入 从前几节课学过的直线的 圆可以用一个方程表示吗?我们 这节课所要学习的内容。 应该怎样来建立圆的方程呢?这 就是我们这节课的主要内容: 圆的 标准方程。 2 具有什么性质的点的轨迹称为 学生回答 圆? 于定长的点的集合。 ) 3 在直角坐标系中, 确定一条直线 学生集体回答 的条件是两点或一点和倾斜角, 那 (圆心和半径) 么决定圆的条件是什么? 引导学生从已学知识迁移 到新知识上来,通过类比 直线方程的思想来学习圆 的方程。 4 已知圆心坐标 (a,b) , 半径为 r, 师 生 共 同 推 导 出 圆 的 标 准 方 让学生体会圆的方程的推 如何写出圆的方程? 程。 导过程。 复习圆的定义,为后面推 (平面内到一个定点的距离等 导圆的方程作铺垫。

(设点 M (x,y)为圆 C 上任一 点,则圆上所有点的集合为: P = { M | |MC| = r } ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 则 即(x-a)2+(y-b)2=r2(*) 因此,(1)点 M 的坐标适合方程 (*) (2)方程(*)说明点 M 与圆心 C 的距离为 r, 即点 M 在圆 C 上。 ) 5 练习:求圆心和半径 ⑴ ⑵ ⑶ 圆 (x-1) + (y-1) =9 圆 (x-2) + (y+4) =2 圆 (x+1) + (y+2) =m
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学生集体回答,并及时根据学 让学生初步应用圆的标准 生的回答过程中出现的问题进 方程,体会圆的标准方程 行纠正。 (圆 (x+1) + (y+2) =m 的半径 为|m|)
2 2 2

带来的信息。

6 例 1: 写出圆心为 A(2,-3),半径 学生说出圆的方程,老师引导 学会应用圆的方程判断点 长等于 5 的圆的方程,并判断点 学生得出判断点是否在圆上的 和圆的位置关系。 M1(5,-7),M2(- 5 ,-1)是否在这个 圆上。 7 探 究 : 点 Mc(x0,y0) 在 圆 引导学生从点到圆心的距离和 让学生体会数形结合思想 (x-a)2+(y-b)2=r2 上、内、外的条 半径的大小关系来判断点和圆 在解析几何的应用。 件是什么? 的位置条件: (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ? 点 M0 在圆 上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2 ? 点 M0 在圆 内; (x0-a)2+(y0-b)2>r2 ? 点 M0 在圆 外。 8 例 2: △ABC 的三个顶点的坐标 学 生 用 待 定 系 数 法 求 圆 的 方 再一次让学生体会用数形 分 别 是 A(5,1) , B(7,-3) , 程; 何法)来求圆的方程: (1)先确定圆心的位置 (弦的垂直平分线的交点) ; (2)求出圆心的坐标; (3)求出半径; (4)写出圆的方程。 结合的思想来解决数学问 C(2,-8),求它的外接圆的方程。 引导学生从外接圆的定义(几 题。 方法:把点的坐标代入圆的方 程,看看方程是否成立。

9 求三角形外接圆的方程: (1)待定系数法; (2)几何法。

师生共同总结两种方法的优缺 对两种方法进行总结,比 点 (待定系数法思路清晰,但计 算比较繁杂;几何法计算比较 简单,比较常用) 较其优缺点的不同。

10 例 3:已知圆心为 C 的圆经过 学生练习,体会两种方法的优 在例 2 的基础上,让学生 点 A(1,1)和 B(2,-2) 圆心 C 在直 缺点,教师点评。 线 l: x-y+1=0 上,求圆心为 C 的 圆的标准方程. 11 练习: 以线段 P1P2 为直径的圆的方程。 (2) 已 知 △ AOB 的 顶 点 坐 标 是 A(4,0),B(0,3),C(0,0),求△AOB 外接圆的方程。 12 小结: 圆的标准方程 (2)、点 Mc(x0,y0)在圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 上、内、外的条 件 (3)、求三角形外接圆的方程 13 作业:P124 第 2、3 题 七、板书设计 4.1.1 圆的标准方程 1 圆心圆心是 C(a,b),半径是 r 的圆 3 求三角形外接圆的方法: 的标准方程: (x-a) +(y-b) =r 的位置关系: (x0-a)2+(y0-b)2=r2 ? 点 M0 在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2 ? 点 M0 在圆内; (x0-a)2+(y0-b)2>r2 ? 点 M0 在圆外。
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更进一步去体会和理解两 种方法的不同。

学生练习,随机提问个别学生 巩固所学内容。

(1)已知两点 P1(4,9),P2(6,3), 求 回答,教师适当进行点评。

师生共同总结本节课的主要内 总结归纳主要内容。

(1)、圆心是 C(a,b),半径是 r 的 容。

巩固本节所学知识

例二(几何法) : (解题过程)

(1)待定系数法; (2)几何法。

2 点 Mc(x0,y0) 和圆 (x-a) +(y-b) =r

八、教学反思 圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程是本节课的重点和难点。为此我设置了由浅 入深的学习环境,先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数 的重要性,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点。利用圆的标准 方程由浅入深的解决问题,增强学生应用数学的意识。另外,为了培养学生的理性思维,在 例题二中我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生创 新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识 的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成。 本设计把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的 过程,在解决的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣,完成本节的学习任务。 不足之处: 1、 对学生研究还不够, 对难点的突破还不够。 如: 例二用待定系数法求圆的标准方程时, 学生对求方程组的解还存在疑问,而我在上课的时候忽视了这点,没有及时学生引导如何求 解这类方程组。 2、课堂让学生自行探究还不够,大部分还是教师引导比较多。如:例二用几何法解圆的 方程时,如果让学生先思考然后把过程写出来之后再进行引导会更好一些。


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