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2012年

(18)解: (Ⅰ)频率分布直方图如下:
频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01

0

50

60

70

80

90 得分

估计企业所获资金支持的均值为 3 8 6 3 x =0× +1× +3× +6× =2.2(千万元) . 20 20 20 20 (Ⅱ)X 的可能值为 0,1,2,3, 4,6,7,9,12. 1 C2 3 C1 24 3 3C8 P (X=0)= 2 = ,P (X=1)= 2 = , C20 190 C20 190 1 C2 28 C1 18 8 3C6 P (X=2)= 2 = ,P (X=3)= 2 = , C20 190 C20 190

…4 分

1 2 1 C1 C1 48 24 3C3+C6 8C6 P (X=4)= 2 = ,P (X=6)= = , 2 C20 190 C20 190 1 1 C1 24 C1 18 8C3 6C3 P (X=7)= 2 = ,P (X=9)= 2 = , C20 190 C20 190 C2 3 3 P (X=12)= 2 = . …8 分 C20 190 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 7 9 12 3 12 14 9 24 12 12 9 3 P 10 分 190 95 95 95 95 95 95 95 190 3 24 28 18 48 E (X)=(0+12)× +(1+6+7)× +2× +(3+9)× +4× 190 190 190 190 190 =4.4(千万元) . …12 分

(20)解: (Ⅰ)对 y=x2 求导,得 y?=2x. 2 设点 P (x0,x2 0)(x0≠0),则直线 l 方程为 y-x0=2x0(x-x0), x0 在 l 方程中分别令 y=0,x=0,得 A ,0 、B (0,-x2 0). 2 1 x0 1 设 M (x,y),→ AM = → MB 即 x- ,y = (-x,-x2 0-y),由此得 2 2 2 x0=3x,x2 0=-3y, 消去 x0,得曲线 D 的方程为 y=-3x2(x≠0). (Ⅱ)将 y=-3x2 代入直线 l 方程,并整理得 3x2+2x0x-x2 0=0, x0 x2 0 由(Ⅰ)知,M ,- ,设 N (x1,-3x2 1), 3 3

(

)

…3 分

(

)

…6 分

(

)

x0 x2 0 则 ·x1=- ,x1=-x0. 3 3 对 y=-3x2 求导,得 y?=-6x,

…9 分

x2 x0 0 2 于是直线 m、n 的方程分别为 y+ =-2x0 x- 和 y+3x0 =6x0(x+x0), 3 3 x2 0 2 即 y=-2x0x+ 和 y=6x0x+3x0 , 3 2 由此得点 Q 纵坐标为 x0,故 PQ 平行于 x 轴. …12 分

(

)

(21)解: 1 -2ln x+x- x (Ⅰ)f ?(x)= . (x-1)2 1 设 g (x)=-2ln x+x- , x (x-1)2 则 g (1)=0,且 g ?(x)= ≥0,g (x)在(0,+∞)单调递增. x2 当 x∈(0,1)时,g (x)<0,从而 f ?(x)<0,f (x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g (x)>0,从而 f ?(x)>0,f (x)单调递增. 因此,f (x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增. (x+1)ln x x+1 2(x-1) (Ⅱ)原不等式就是 -2>0,即 ln x- >0. x-1 x-1 x+1 2(x-1) 令 h (x)=ln x- , x+1 (x-1)2 则 h (1)=0,则 h ?(x)= ≥0,h (x)在(0,+∞)单调递增. x(x+1)2 当 x∈(0,1)时,h (x)<0;当 x∈(1,+∞)时,h (x)>0. 所以当 x>0,且 x≠1 时,f (x)>2. …2 分

…6 分

[

]

…9 分 …12 分

(23)解: (Ⅰ)在 ρ=2(cos θ+sin θ)中,两边同乘以 ρ, 得 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ), 则 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2. (Ⅱ)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 t2-t-1=0, 点 E 对应的参数 t=0,设点 A、B 对应的参数分别为 t1、t2,则

…4 分

t1+t2=1,t1t2=-1, |EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2= 5.

…10 分


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