2017-2018学年高中数学人教a版选修1-1练习：第3章 导数及其应用3.3.2 含解析

第三章 3.3 3.3.2 A级 基础巩固 一、选择题 1．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f ′(x)在(a，b)内的图象如图 所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 导学号 03624830 ( A ) A．1 个 C．3 个 [解析] B ．2 个 D．4 个 极小值点应有先减后增的特点， 即 f ′(x)<0→f ′(x)＝0→f ′(x)>0. 由图象可知只有 1 个极小值点． 2．已知函数 y＝x3－3x＋c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c＝ 导学号 03624831 ( A A．－2 或 2 C．－1 或 1 [解析] ) B．－9 或 3 D．－3 或 1 ∵y′＝3x2－3，∴当 y′＝0 时，x＝± 1， 则 x，y′，y 的变化情况如下表： x y′ y (－∞，－1) －1 ＋ c＋2 (－1,1) － c－2 1 (1，＋∞) ＋ 因此，当函数图象与 x 轴恰有两个公共点时，必有 c＋2＝0 或 c－2＝0，∴ c＝－2 或 c＝2. 3．(2016· 四川)已知 a 为函数 f(x)＝x3－12x 的极小值点，则 a＝ 导学号 03624832 ( D ) A．－4 C．4 [解析] 2<x<2， ∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减， ∴当 x＝2 时， f(x)取极小值，即 2 是函数 f(x)的极小值点，故 a＝2. 4．设函数 f(x)＝xex，则 导学号 03624833 ( D ) A．x＝1 为 f(x)的极大值点 B．x＝1 为 f(x)的极小值点 C．x＝－1 为 f(x)的极大值点 D．x＝－1 为 f(x)的极小值点 [解析] f ′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)， B．－2 D．2 f′(x)＝3x2－12，令 f′(x)>0 得 x<－2 或 x>2，令 f′(x)<0 得－ 令 f ′(x)>0，得 x>－1， 令 f ′(x)<0，得 x<－1， ∴函数 f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当 x＝－1 时，f(x) 取得极小值． 2 5．设函数 f(x)＝ ＋ln x，则 导学号 03624834 ( D ) x 1 A．x＝ 为 f(x)的极大值点 2 1 B．x＝ 为 f(x)的极小值点 2 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点 [解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题． 2 1 1 2 f ′(x)＝－ 2＋ ＝ (1－ )， x x x x 由 f ′(x)＝0 可得 x＝2. 当 0<x<2 时，f ′(x)<0，f(x)递减，当 x>2 时， f ′(x)>0，∴f(x)单调递增．所以 x＝2 为极小值点． 对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域． 6．若 a>0，b>0，且函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2 在 x＝1 处有极值，则 ab 的最大值等于 导学号 03624835 ( D ) A．2 C．6 [解析] B ．3 D．9 f ′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知 f ′(1)＝0，∴a＋b＝6，∴ a＋b ab≤( )2＝9，等号在 a＝b＝3 时成立，故选 D． 2 二、填空题 1 1 7．函数 f(x)＝－ x3＋ x2＋2x 取得极小值时，x 的值是__－ 3 2 1__. 导学号 03624836 [解析] f ′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)， 令 f ′(x)>0 得－1<x<2， 令 f ′(x)<0， 得 x<－1 或 x>2， ∴函数 f(x)在(－∞， －1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当 x＝－1 时，函数 f(x)取得极小值． 8．(2015· 陕西文)函数 y＝xex 在其极值点处的切线方程为 1 e . 导学号 03624837 [解析] ∵y＝xex，∴y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当 x＝－1 时 y 有极小值，此 y＝－ 1 1 时 y|x＝－1＝－ ，而 y′|x＝－1＝0，∴切线方程为 y＝－ . e e 三、解答题 9．设函数 y＝x3＋ax2＋bx＋c 的图象如图所示，且与 y＝0 在原点相切，若 函数的极小值为－4. (1)求 a、b、c 的值； (2)求函数的递减区间. 导学号 03624838 [解析] (1)因为函数的图象经过点(0,0)， 易得 c＝0. 又图象与 x 轴相切于点(0,0)，且 y′＝3x2＋2ax＋b， 故 0＝3×02＋2a×0＋b，解得 b＝0. 所以 y＝x3＋ax2，则 y′＝3x2＋2ax. 2 令 y′＝0，解得 x＝0 或 x＝－ a， 3 2 即 x＝0 和 x＝－ a 是极值点． 3 由图象知函数在 x＝0 处取极大值， 2 故在 x＝－ a 时取极小值． 3 2 当 x＝－ a 时，函数有极小值－4， 3 2 2a 所以(－ a)3＋a(－ )2＝－4， 3 3 整理得 a3＝－27，解得 a＝－3.故 a＝－3、b＝0、c＝0. (2)由(1)得 y＝x3－3x2，则 y′＝3x2－6x， 令 y′<0，即 y′＝3x2－6x<0，解得 0<x<2， 所以，函数的递减区间是(0,2)． B级 素养提升 一、选择题 1．函数 y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有 导学号 03624839 ( C A．极大值 5，极小值－27 B．极大值 5，极小值－11 C．极大值 5，无极小值 D．极小值－27，无极大值 [解析] y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)， ) ∵－2<x<2， ∴令 y′>0 得－2<x<－1，令 y′<0 得－1<x<2， ∴函数在(－2，－1)上递增，在(－1,2)上递减， ∴当 x＝－1 时，f(x)取极大值 f(－1)＝－1－3＋9