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2017-2018学年高中数学人教a版选修1-1练习:第3章 导数及其应用3.3.2 含解析

第三章 3.3 3.3.2 A级 基础巩固 一、选择题 1.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f ′(x)在(a,b)内的图象如图 所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 导学号 03624830 ( A ) A.1 个 C.3 个 [解析] B .2 个 D.4 个 极小值点应有先减后增的特点, 即 f ′(x)<0→f ′(x)=0→f ′(x)>0. 由图象可知只有 1 个极小值点. 2.已知函数 y=x3-3x+c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c= 导学号 03624831 ( A A.-2 或 2 C.-1 或 1 [解析] ) B.-9 或 3 D.-3 或 1 ∵y′=3x2-3,∴当 y′=0 时,x=± 1, 则 x,y′,y 的变化情况如下表: x y′ y (-∞,-1) -1 + c+2 (-1,1) - c-2 1 (1,+∞) + 因此,当函数图象与 x 轴恰有两个公共点时,必有 c+2=0 或 c-2=0,∴ c=-2 或 c=2. 3.(2016· 四川)已知 a 为函数 f(x)=x3-12x 的极小值点,则 a= 导学号 03624832 ( D ) A.-4 C.4 [解析] 2<x<2, ∴f(x)在(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递减, ∴当 x=2 时, f(x)取极小值,即 2 是函数 f(x)的极小值点,故 a=2. 4.设函数 f(x)=xex,则 导学号 03624833 ( D ) A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 [解析] f ′(x)=ex+xex=ex(1+x), B.-2 D.2 f′(x)=3x2-12,令 f′(x)>0 得 x<-2 或 x>2,令 f′(x)<0 得- 令 f ′(x)>0,得 x>-1, 令 f ′(x)<0,得 x<-1, ∴函数 f(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,∴当 x=-1 时,f(x) 取得极小值. 2 5.设函数 f(x)= +ln x,则 导学号 03624834 ( D ) x 1 A.x= 为 f(x)的极大值点 2 1 B.x= 为 f(x)的极小值点 2 C.x=2 为 f(x)的极大值点 D.x=2 为 f(x)的极小值点 [解析] 本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题. 2 1 1 2 f ′(x)=- 2+ = (1- ), x x x x 由 f ′(x)=0 可得 x=2. 当 0<x<2 时,f ′(x)<0,f(x)递减,当 x>2 时, f ′(x)>0,∴f(x)单调递增.所以 x=2 为极小值点. 对于含有对数形式的函数在求导时,不要忽视定义域. 6.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 导学号 03624835 ( D ) A.2 C.6 [解析] B .3 D.9 f ′(x)=12x2-2ax-2b,由条件知 f ′(1)=0,∴a+b=6,∴ a+b ab≤( )2=9,等号在 a=b=3 时成立,故选 D. 2 二、填空题 1 1 7.函数 f(x)=- x3+ x2+2x 取得极小值时,x 的值是__- 3 2 1__. 导学号 03624836 [解析] f ′(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1), 令 f ′(x)>0 得-1<x<2, 令 f ′(x)<0, 得 x<-1 或 x>2, ∴函数 f(x)在(-∞, -1),(2,+∞)上递减,在(-1,2)上递增,∴当 x=-1 时,函数 f(x)取得极小值. 8.(2015· 陕西文)函数 y=xex 在其极值点处的切线方程为 1 e . 导学号 03624837 [解析] ∵y=xex,∴y′=ex+xex=ex(x+1),当 x=-1 时 y 有极小值,此 y=- 1 1 时 y|x=-1=- ,而 y′|x=-1=0,∴切线方程为 y=- . e e 三、解答题 9.设函数 y=x3+ax2+bx+c 的图象如图所示,且与 y=0 在原点相切,若 函数的极小值为-4. (1)求 a、b、c 的值; (2)求函数的递减区间. 导学号 03624838 [解析] (1)因为函数的图象经过点(0,0), 易得 c=0. 又图象与 x 轴相切于点(0,0),且 y′=3x2+2ax+b, 故 0=3×02+2a×0+b,解得 b=0. 所以 y=x3+ax2,则 y′=3x2+2ax. 2 令 y′=0,解得 x=0 或 x=- a, 3 2 即 x=0 和 x=- a 是极值点. 3 由图象知函数在 x=0 处取极大值, 2 故在 x=- a 时取极小值. 3 2 当 x=- a 时,函数有极小值-4, 3 2 2a 所以(- a)3+a(- )2=-4, 3 3 整理得 a3=-27,解得 a=-3.故 a=-3、b=0、c=0. (2)由(1)得 y=x3-3x2,则 y′=3x2-6x, 令 y′<0,即 y′=3x2-6x<0,解得 0<x<2, 所以,函数的递减区间是(0,2). B级 素养提升 一、选择题 1.函数 y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有 导学号 03624839 ( C A.极大值 5,极小值-27 B.极大值 5,极小值-11 C.极大值 5,无极小值 D.极小值-27,无极大值 [解析] y′=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1), ) ∵-2<x<2, ∴令 y′>0 得-2<x<-1,令 y′<0 得-1<x<2, ∴函数在(-2,-1)上递增,在(-1,2)上递减, ∴当 x=-1 时,f(x)取极大值 f(-1)=-1-3+9

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