河北省石家庄市2011届高三第二次模拟考试(2011石家庄二模)(word版)：数学理

试卷类型：A

2011 年石家庄市高中毕业班第二 2011 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷 数 学(理科) 理科)

说明： 1．本试卷共 4 页，包括三道大题，22 道小题，共 150 分．其中第一道大题为选择题． 2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案． 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率 是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 P n (k)=C n p k (1-p)
k n?k

(k=0，l，2，…，n)

球的表面积公式 S=4 π R 2 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V=

4 π R 3 其中 R 表示球的半径 3

一、选择题：本大题共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中。只有 一项是符合题目要求的． 1．设集合 A = {1, 2,3, 5, 7}, B = {x ∈ Z |1 < x ≤ 6}, 全集 U = A ∪ B, 则 A ∩ C U B = A．{1，4，6，7} B．{2，3，7} C．{1， 7} D．{1}

2 1 （ ）= 2． lim 2 x →1 x ? 1 x ?1 1 1 A．-1 B． ? C． 2 2

D．1

3．等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ，若 a2 + a7 + a9 = 15, 则 S11 的值为 A．

55 2

B．50

C．55

D．110

4．将函数 y = sin( x + ? ) 的图象 F 向左平移 中心为（ A．

π
6

个单位长度后得到图象 F ′ ，若 F ′ 的一个对称

π
4

，0） ，则 ? 的一个可能取值是 B．

π
12

π
6

C．

5π 6

D．

7π 12

5．设 m 、 n 是两条不同的直线， α、β 是两个不同的平面，下列命题正确的是

A． m ⊥ α , n ? β , m ⊥ n ? α ⊥ β C． α ⊥ β , m ⊥ α , n / / β ? m ⊥ n 6．在 (2 ? A．-1

B． α / / β , m ⊥ α , n / / β ? m ⊥ n D． α ⊥ β , α ∩ β = m, n ⊥ m ? n ⊥ β

x )6 展开式中，不含 x3 项的所有列的系数和为 ．．
B．2 C．1 D． 0

7．设 D = {( x, y ) | ( x ? y )( x + y ) ≤ 0}, 记“平面区域 D 夹在直线 y = 1 与 y = t (t ∈ [ ?1,1]) 之 间的部分的面积”为 S ，则函数 S = f (t ) 的图象的大致形状为

8．对于非零向量 m ， n ，定义运算“ ? ” m ? n =| m | ? | n | sin θ , 其中 θ 为 m ， n 的夹角， ： 有两两不共线的三个向量 a、b、c ，下列结论正确的是 A．若 a ? b = a ? c, 则 b = c C． (a ? b)c = a (b ? c ) B． a ? b = ( ?)a ? b D． (a + b) ? c = a ? c + b ? c

9．将 5 名同学分到甲、乙、丙 3 个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的 分配方案的种数为 A．80 B．120 C．140 D． 50 10． 若函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x ) = f (2 ? x ) ， 且当 x ≠ 1 时其导函数 f ′( x ) 满 足 xf ′( x) > f ′( x ), 若 1 < a < 2, 则 A． f (2 ) < f (2) < f (log 2 a )
a

B． f (2) < f (log 2 a ) < f (2 )
a

C． f (log 2 a ) < f (2) < f (2 )
a

D． f (log 2 a ) < f (2 ) < f (2)
a

11 ． 直 线 3 x ? 4 y + 4 = 0 与 抛 物 线 x 2 = 4 y 和 圆 x 2 + ( y ? 1) 2 = 1 从 左 到 右 的 交 点 依 次 为

A、B、C、D, 则
A．16 B．

| AB | 的值为 | CD |
C．4 D．

1 16

1 4

12．两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的内部，且互相外切，若球 O1 与过 点 A 的正方体的三个面相切，球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切，则球 O1 和 O2 的表面积

之和的最小值为 A． 6 ? 3 3

(

)π
π

B． 8 ? 4 3

(

)π
π

C． 6 + 3 3

(

)π
．

D． 8 + 4 3

(

)π

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分；共 20 分． 13. 已知 tan(α ?

) = 2, 则 tan(α + ) 的值为 12 3
x

14．若函数 f ( x ) = log 2 (4 + 2) ，则不等式 f

?1

( x) ≤

15 ． 以 等 腰 直 角 ? ABC 的 两 个 顶 点 为 焦 点 ， 且 经 过 第 三 个 顶 点 的 双 曲 线 的 离 心 率 为 ．

1 的解集为 2

．

?1 ? an , (an为偶数) 16 ． 已 知 数 列 {a n } 满 足 an +1 = ? 2 ， 若 a3 = 1, 则 a1 的 所 有 可 能 的 取 值 ?an ? 2n, (an为奇数) ?
为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 l0 分) 已知函数 f ( x ) = cos( x ?

2π 3 ) ? m cos x(m ∈ R) 的图象经过点 P(0, ? ). 3 2

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期； (Ⅱ) ? ABC 内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ，若 f ( B ) = ?

3 , b = 1, c = 3, 且 2

a > b, 试判断 ? ABC 的形状，并说明理由．

18．(本小题满分 12 分) 小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种症状中的一种：兴奋、无变化（药物没 ．． 有发生作用） 、迟钝．若出现三种症状的概率依次为 、 、 , 现对三只小白鼠注射这种药物． （I）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率； （II）用 ξ 表示三只小白鼠共表现症状的种数，求 ξ 的颁布列及数学期望． ．．

1 1 1 2 3 6

19．(本小题满分 12 分) 如 图 ， 在 四 棱 锥 S ? ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， SA ⊥ 平 面 ABCD ，

AB = 2, AD = 1, SB = 7 , ∠BAD = 120 , E 在棱 SD 上．
（I）当 SE = 3ED 时，求证 SD ⊥ 平面 AEC ; （II）当二面角 S ? AC ? E 的大小为 30 时，求直线 AE 与平面 CDE 所成角的大小．

20．(本小题满分 l2 分) 已知函数 f ( x ) = ( ax 2 ? 2 x + 1) ? e ? x ( a ∈ R，e 为自然对数的底数 ). (I) 当时，求函数 f ( x ) 的极值； (Ⅱ) 若函数 f ( x ) 在上单调递减，求 a 的取值范围．

21．(本小题满分 l2 分) 已知椭圆的中心在坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，离心率为

1 ，点 P （2，3） A、B 在该椭 、 2

圆上，线段 AB 的中点 T 在直线 OP 上，且 A、O、B 三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线 AB 的斜率； (Ⅱ)求 ?PAB 面积的最大值．

22．(本小题满分 l2 分) 已知数列 {a n } 满足， a1 =

1 3(an +1 ? an ) 1 ? an +1 , = ，且 an +1 ? an < 0 ． n ∈ N*） （ 2 1 + an +1 an +1 + an

（I）求数列 {a n } 的通项公式； （II）若 { b n } = an +1 ? an , 试问数列 { b n } 中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？
2 2

若存在，求出满足条件的等差数列，若不存在；说明理由.

2010-2011 年度石家庄市第二次模拟考试 理科数学答案
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. （A 卷答案）:1-5 CBCDB 6-10 DCBAC 11-12 BA （B 卷答案）:1-5 BCBDC 6-10 DCCAB 11-12 CA 二、填空题: 本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13．

1 3

14.

{x | 1 < x ≤ 2}

15.

2 +1

16. 4,7,10

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

解： （Ⅰ）∵ f ( 0 ) = ? ∴ f ( x ) = cos ? x ?

1 3 ? m = ? ，∴ m = 1 ．…………………2 分 2 2

? ?

2π ? 3 3 π? ? sin x ? cos x = 3 sin ? x ? ? ? ? cos x = 3 ? 2 2 3 ?. ?

故函数 f ( x ) 的最小正周期为 2π ．…………………………5 分 （Ⅱ）解法一： f ( B ) = 3 sin ? B ? ∵ 0 < B < π ，∴ ?

? ?

π? 3 π? 1 ? ，∴ sin ? B ? ? = ? ． ?=? 3? 2 3? 2 ?

π π 2π π π π ，∴ B ? = ? ，即 B = ．……………………7 分 < B? < 3 3 3 3 6 6

2 2 2 b2 ∴ 由余弦定理得： = a + c ? 2ac cos B ， 1 = a + 3 ? 2 × a × 3 ×

3 ， a 2 ? 3a + 2 = 0 ， 即 2

故 a = 1 （不合题意，舍）或 a = 2 ．……………………………9 分 又 b + c = 1 + 3 = 4 = a ，所以 ? ABC 为直角三角形.………………………10 分
2 2 2

解法二： f ( B ) = 3 sin ? B ? ∵ 0 < B < π ，∴ ?

? ?

π? 3 π? 1 ? ，∴ sin ? B ? ? = ? ． ?=? 3? 2 3? 2 ?

π π 2π π π π ，∴ B ? = ? ，即 B = ．……………………7 分 < B? < 3 3 3 3 6 6

由正弦定理得：

3 a 1 3 ，∴ sin C = ， = = 2 sin A sin π sin C 6

π 2π 或 ． 3 3 π π 2π π 当 C = 时， A = ；当 C = 时， A = ． （不合题意，舍）……………………9 分 3 2 3 6
∵ 0 < C < π ，∴ C = 所以 ? ABC 为直角三角形.…………………10 分 18． （本小题满分 12 分）

2, 解： （Ⅰ）用 Ai ( i = 1， 3) 表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 2, 用 Bi ( i = 1， 3) 表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 2, 用 C i ( i = 1， 3) 表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝.
三只小白鼠反应互不相同的概率为

P = A33 P ( A1B2C3 )

…………………3 分

1 1 1 1 = 6× × × = 2 3 6 6

………………………5 分

2 3 （Ⅱ） ξ 可能的取值为 1， ， .
?1? ?1? ?1? 1 P (ξ = 1) = P ( A1B1C1 + A2 B2C2 + A3 B3C3 ) = ? ? + ? ? + ? ? = , ? 2? ?3? ?6? 6
P (ξ = 3) =
3 3 3

1 ，………………………………………8 分 6 1 1 2 P (ξ = 2) = 1 ? P (ξ = 1) ? P (ξ = 3) = 1 ? ? = ．或 6 6 3

P(ξ = 2) = C32 ? P( A1B1C2 + A1B1C3 + A2 B2C1 + A2 B2C3 + A3 B3C1 + A3 B3C2 ) ?1? 1 ?1? 1 = C (? ? × + ? ? × ?2? 3 ?2? 6
2 3 2 2

.……………………10 分
2 2

?1? 1 ?1? 1 ?1? 1 ?1? 1 2 +? ? × + ? ? × + ? ? × + ? ? × ) = ? 3? 6 ? 3? 2 ? 6? 2 ? 6? 3 3
所以， ξ 的分布列是

2

2

ξ
P

1

2

3

1 6

2 3

1 6

所以， Eξ = 1 ×

1 2 1 + 2 × + 3 × = 2 ．…………12 分 6 3 2

19．(本小题满分 12 分) 解 ： Ⅰ ） 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 由 AD = 1 ， CD = 2 ， （ ∠BAD = 120° ， 易知 CA ⊥ AD ，…………………2 分 又 SA ⊥ 平面 ABCD ，所以 CA ⊥ 平面 SAD , ∴ SD ⊥ AC ， 在直角三角形 SAB 中，易得 SA = 3 ， 在直角三角形 SAD 中， ∠ADE = 60 ， SD = 2 ， 又 SE = 3ED ，∴ DE = 可得 AE =

1 ， 2

AD 2 + DE 2 ? 2 AD ? DE cos 600

1 1 1 3 = 1+ ? 2× × = . 4 2 2 2

∴ SD ⊥ AE ，……………………5 分 又∵ AC ∩ AE = A ，∴ SD ⊥ 平面 AEC ．……………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知, CA ⊥ SA , CA ⊥ AE ， 可知 ∠EAS 为二面角 E ? AC ? S 的平面角，

∠EAS = 30 ，此时 E 为 SD 的中点. ……………8 分
过 A 作 AF ⊥ CD ,连结 SF ,则平面 SAF ⊥ 平面 SCD , 作 AG ⊥ SF ,则 AG ⊥ 平面 SCD ,连结 EG , 可得 ∠AEG 为直线 AE 与平面 SCD 所成的角． 因为 AF =

3 , SA = 3 , 2

3 × 3 15 2 所以 AG = = .……………10 分 5 15 2
在 Rt ?AGE 中， tan ∠AEG =

AG 15 = ， AE 5

直线 AE 与平面 CDE 所成角的大小为 arcsin

15 .……………………12 分 5

解法二：依题意易知 CA ⊥ AD ， SA ⊥ 平面 ACD．以 A 为 坐标原点，AC、AD、SA 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标 系，则易得 A ( 0, 0,0 ) , C

(

3, 0,0 , D ( 0,1,0 ) , S 0,0, 3 ，
? ? ? 3 3? , ? ，……………3 分 ? 4 4 ?
从 而

)

(

)

（Ⅰ）由 SE : ED = 3 有 E ? 0,

易

得

? SD ? AC = 0 ? ? ? SD ? AE = 0 ?

，

SD ⊥

平

面

ACE．……………………6 分 (Ⅱ )由 AC ⊥ 平 面 SAD ， 二面 角 E ? AC ? S 的 平 面角

∠EAS = 30° . 又 ∠ASD = 30° ，则 E 为 SD 的中点，
即 E ? 0, ?

? ?

1 3? , ? ,………………8 分 ? 2 2 ?

设平面 SCD 的法向量为 n = ( x, y , z )

则?

?n ? DC = 3x ? y = 0, ? ?n ? SD = y ? 3z = 0. ?

，令 z = 1 ,得 n = 1, 3,1

(

) ，…………10 分

1 3 ?1 0 ?1 + 3+ AE ? n 15 2 2 = = 从而 cos < AE , n >= 5 ， | AE || n | 1? 5
所以 AE 与平面 SCD 所成角大小为 arcsin 20. (本小题满分 12 分) 解： （I）当 a = 1 时， f ( x) = ( x 2 ? 2 x + 1) ? e ? x ，

15 ．………………12 分 5

f ′( x) = (2 x ? 2) ? e ? x ? ( x 2 ? 2 x + 1) ? e ? x = ?( x ? 1)( x ? 3) ? e ? x ………………2 分
当 x 变化时， f (x ) ， f ′(x ) 的变化情况如下表：

x
f ′(x) f (x)

(?∞， 1)
－ 递减

1 0 极小 值

(1， 3)
＋ 递增

3 0 极大 值

(3， ∞) +
－ 递减

所以，当 a = 1 时，函数 f (x ) 的极小值为 f (1) = 0 ，极大值为 f (3) = 4e ?3 .……………5 分 （II） f ′( x ) = (2ax ? 2) ? e ? x ? ( ax 2 ? 2 x + 1) ? e ? x = ?e ? x [ ax 2 ? 2ax ? 2 x + 3] 令 g ( x ) = ax 2 ? 2( a + 1) x + 3 ①若 a = 0 ，则 g ( x ) = ?2 x + 3 ，在 ( ? 1， 内， g ( x ) > 0 ，即 f ′( x ) < 0 ，函数 f (x ) 在区间 1)

[ ? 1， 上单调递减.………………7 分 1]
② 若 a > 0 ， 则 g ( x ) = ax 2 ? 2( a + 1) x + 3 ， 其 图 象 是 开 口 向 上 的 抛 物 线 ， 对 称 轴 为

x=

a +1 > 1， a

当且仅当 g (1) ≥ 0 ，即 0 < a ≤ 1 时，在 ( ? 1， 内 g ( x ) > 0 ， f ′( x ) < 0 ， 1) 函数 f (x ) 在区间 [ ? 1， 上单调递减.………………9 分 1] ③若 a < 0 ，则 g ( x ) = ax 2 ? 2( a + 1) x + 3 ，其图象是开口向下的抛物线，

当且仅当 ?

? g (?1) ≥ 0 5 ，即 ? ≤ a < 0 时，在 ( ? 1， 内 g ( x ) > 0 ， f ′( x ) < 0 ， 1) 3 ? g (1) ≥ 0

函数 f (x ) 在区间 [ ? 1， 上单调递减.………………………11 分 1] 综上所述，函数 f (x ) 在区间 [ ? 1， 上单调递减时，a 的取值范围是 ? 1] 12 分 21. (本小题满分 12 分)

5 ≤ a ≤ 1 ．…………… 3

x2 y2 解： （I）设椭圆的方程为 2 + 2 = 1( a > b > 0) ， a b

? a2 ? b2 1 = ? ? a 2 ，得 a 2 = 16 ， b 2 = 12 . 则? ? 4 + 9 =1 ? a2 b2 ?
所以椭圆的方程为

x2 y2 + = 1 .…………………3 分 16 12

设直线 AB 的方程为 y = kx + t (依题意可知直线的斜率存在)，

? x2 y 2 =1 ? + 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ，则由 ?16 12 ，得 ? y = kx + t ?

( 3 + 4k ) x
2

2

+ 8ktx + 4t 2 ? 48 = 0

,由

?>0

，得

b 2 < 12 + 16k 2

，

8kt ? ? x1 + x2 = ? 3 + 4k 2 ? ，设 T ( x0 , y0 ) ? 4t 2 ? 48 ?x x = ? 1 2 3 + 4k 2 ?
x0 = ? 4kt 3t ,易知 x0 ≠ 0 , y0 = 2 3 + 4k 3 + 4k 2 ，

由 OT 与 OP 斜率相等可得

y0 3 1 = ，即 k = ? ， 2 x0 2

x2 y2 1 所以椭圆的方程为 + = 1 ，直线 AB 的斜率为 ? .……………………6 分 16 12 2
（II）设直线 AB 的方程为 y = ?

1 x + t ，即 x + 2 y ? 2t = 0 ， 2

1 ? ? y = ? 2 x + t， ? 由? 2 2 ? x + y = 1. ?16 12 ?
得 x ? tx + t ? 12 = 0 ，
2 2

? = t 2 ? 4(t 2 ? 12) > 0 ， ?4 < t < 4 .………………8 分

? x1 + x2 = t , 2 2 . | AB |= (1 + k )[( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2 ] = ? 2 ? x1 ? x2 = t ? 12.
点 P 到直线 AB 的距离为 d = 于是 ?PAB 的面积为

5 15 (48 ? 3t 2 ) = 16 ? t 2 ． 4 2

| 8 ? 2t | 5

.

S ?PAB =

1 | 8 ? 2t | 15 1 ? ? ? 16 ? t 2 = (4 ? t )3 ? (12 + 3t ) ……………………10 分 2 2 2 5

设 f (t ) = (4 ? t )3 (12 + 3t ) ， f '(t ) = ?12(t ? 4) 2 (t + 2) ，其中 ?4 < t < 4 . 在区间 ( ?2, 4) 内， f '(t ) < 0 ， f (t ) 是减函数；在区间 ( ?4, ?2) 内， f '(t ) > 0 ， f (t ) 是增函 数.所以 f (t ) 的最大值为 f (?2) = 6 4 .于是 S ?PAB 的最大值为 18.…………………12 分 22. (本小题满分 12 分) 解： （I）由 a1 =

1 ， a n +1 ? a n < 0 知， 2

当 n 为偶数时， a n < 0 ；当 n 为奇数时， a n > 0 ；……………2 分 由

3(a n+1 ? a n ) 1 ? a n +1 2 2 2 2 2 = ，得 3( a n +1 ? a n ) = 1 ? a n +1 ，即 4a n +1 ? 3a n = 1 ， 1 + a n+1 a n+1 + a n
2 2

所以 4( a n +1 ? 1) = 3( a n ? 1) ， 即数列 {a n ? 1} 是以 a1 ? 1 = ?
2 2

3 3 为首项， 为公比的等比数列 4 4
n n

3?3? 所以， a ? 1 = ? ? ? 4?4?
2 n

n ?1

?3? ?3? 2 = ?? ? ， a n = 1 ? ? ? ， ?4? ?4?

故 a n = ( ?1)

n ?1

?3? 1 ? ? ? （ n ∈ N*）…………………5 分 ?4?

n

（II）由（I）知 bn = a n +1 ? a n = 1 ? ? ?
2 2
?

?3? ?4?

n +1

1 ?3? ?3? ?1 + ? ? = ? ? ? ， 4 ?4? ?4?

n

n

则对于任意的 n ∈ N , bn > bn+1 .………………7 分 假设数列 {bn } 中存在三项 br，bs，bt （ r < s < t ）成等差数列， 则 br > bs > bt ，即只能有 2bs = br + bt 成立，

1?3? 1?3? 1?3? ?3? ?3? ?3? 所以 2 ? ? ? = ? ? + ? ? ， 2 ? ? ? = ? ? + ? ? ………………9 分 4?4? 4?4? 4?4? ?4? ?4? ?4?
所以， 2 ? 3 ? 4
s t ?s

s

r

t

s

r

t

= 3 r ? 4 t ? r + 3t ，

因为 r < s < t ，所以 t ? s > 0，t ? r > 0 ， 所以 2 ? 3 ? 4
s t ?s

是偶数， 3 ? 4
r

t ?r

+ 3t 是奇数，而偶数与奇数不可能相等，

因此数列 {bn } 中任意三项不可能成等差数列．…………………12 分