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简单的三角恒等变换:课件三(21张PPT)


简单的三角恒等变换

复习 和(差)角公式

倍角公式

例1 试用cos?表示 sin 解 ?是
?
的二倍角.

2

?
2

, cos

2

?
2

, tan

2

?
2

.

2 ? 2 在公式 cos 2? ? 1 ? 2 sin ?中, 以?代替2? , 以 代替? , 2 2 ? cos ? ? 1 ? 2 sin 2 1 ? cos ? 2 ? sin ?       ① 2 2
2

在公式 cos 2? ? 2 cos ? ? 1中, 以?代替2? , 以 cos ? ? 2 cos
2 ?

?

2 1 ? cos ? 2 ? cos ?      ② 2 2

?1

2

代替? ,

1 ? cos ? ① 2 ?  得 tan ? ② 2 1 ? cos ?

可表示为 : 1 ? cos? sin ? ? 2 2 1 ? cos? cos ? ? 2 2 1 ? cos? tan ? ? 2 1 ? cos? 称为半角公式, 符号 由

?

?

?

?
2

所在象限决定.

例2 求证 ?1?sin ? cos ?

1 ? ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ??; 2 ?2?sin ? ? sin ? ? 2 sin ? ? ? cos ? ? ? . 2 2

解 (1) sin(?+?)和sin(?-?)是我们学过的知识,所
以从右边着手 sin(?+?) = sin?cos?+cos?sin? sin(?-?) = sin?cos?-cos?sin? 两式相加,得 sin(?+?) + sin(?-?) = 2sin?cos?
1 sin ? cos ? ? ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2

(2) 由(1)可得 sin(?+?) + sin(?-?) = 2sin?cos? 设 ?+?=?, ?-?=?



??

? ??
2

,? ?

? ??
2

把?,?的值代入①,即得

sin ? ? sin ? ? 2 sin

? ??
2

cos

? ??
2

.

思考

在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法?

例2证明中用到换元思想, ①式是积化和差的形式, ②式是和差化积的形式; 在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式.

例3 求函数y ? sin x ? 3 cos x的周期,最大值和最小值
分析:利用三角恒等变换,先把函数式化简,再求相 应的值.

解 y ? sin x ? 3 cos x

?1 ? 3 ? 2? sin x ? cos x ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? 2? sin x cos ? cos x sin 3 ? ?? ? ? 2 sin ? x ? ? 3? ?

点评:例3是三角 恒等变换在数学中 应用的举例,它使 三角函数中对函数 ? ? 的性质研究得到延 ? 伸,体现了三角变 3? 换在化简三角函数 式 中 的 作 用 .

所以,所求的周期为2??,最大值为2,最小值为-2.

例4 如图,已知 OPQ是半径为1,圆心角为

?

3 弧上的动点 ,ABCD是扇形的内接矩形 . 记?COP ? ? , 求

的扇形 ,C是扇形

当角?取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积.

分析:要求当角?取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与?之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.



在Rt△OBC中,OB=cos?,BC=sin?
在Rt△OAD中,
DA ? tan 60 ? ? 3 OA

3 3 3 OA ? DA ? BC ? sin ? 3 3 3 3 AB ? OB ? OA ? cos ? ? sin ? 3

设矩形ABCD的面积为S,则

S ? AB ? BC ? ? 3 ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? ? 3 ? ?
3 ? sin ? cos ? ? sin 2 ? 3

?? 3 ? ? sin ? 2? ? ? ? 6? 6 3 ? ? ? ? ? 由于0 ? ? ? , 所以当 2? ? ? , 即 ? ? 时, 3 6 2 6 1 3 3 S最大 ? ? 6 3 6
1

1 3 ?1 ? cos 2? ? ? sin 2? ? 2 6 1 3 3 ? sin 2? ? cos 2? ? 2 6 6 ? 1 ? 3 1 3 ? ?? ? ? 2 sin 2? ? 2 cos 2? ? 6 3? ?

通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如通过三角 变换把形如 y=asinx+bcosx的函数 转化为形如 y=Asin(??+?)的函数, 从而使问题得到简化

练习
sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x f ( x) ? 2 ? sin 2 x
3 1 最大值为 4 ,最小值为 4 .

函数

的最小正周期为

π

分析:欲求最小正周期主最大最小值,首先要将函数式化为单一函数.

sin4 x ? 2 sin2 x cos 2 ? cos 4 x ? sin2 x cos 2 x f ( x) ? 2 ? 2 sin x cos x

1 ? sin2 xcox2 x ? 2(1 ? sin x cos x ) 1 ? (1 ? sin x cos x ) 2

1 3 。 ? f ( x ) 的最小正周期为π,最大值为 ,最小值为 4 4

1 1 ? sin 2 x ? 4 2

练习
1 ? tan2 75? 1. tan 75?
的值是 ( )

2 3 A. 3
C. 2

2 3 B. ? 3
D.

3

?2 3

练习
2.cos 40? ? cos 60? ? cos 80? ? cos 160? 的值是( )

A.0

B.

3 2

1 C. 2

D.-1

练习
3.设 则

1 7 ? ? (0, ) , ? ? ( , ? ) ,且 cos ? ? ? ,sin(? ? ? ) ? 9 2 2 3

?

?

sin?

等于(



1 A. 27 1 C. 3

5 B. 27 23 D. 27

练习
f ( x) ? 2 sin
2

?
2

?1

4.若

2 sin cos 2 2

?

?

,则 f (

?
12

) 的值是(



4 A. ? 3 3
C.

B.

?4 3

4 3

D.

6? 3

练习

3 ? 2 ? 1 22 5. tan(? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,则 tan( ? ? ) ? _______. 4 5 4 4

6.化简:

1 sin 2 2 ? 1 3 cos ? cos 2 2

1 sin 2

1 7.已知 sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? 1 ,则 tan ? ? cot ? ? 5 2 3

8.若

1 ? ( tan ? ?1 舍之) ? 2 2 tan ? ? sec? ? 3 ,则 tan ? _______________________.
2

小结
对变换过程中体现的换元、逆向使用公式 等数学思想方法加深认识,学会灵活运用

作业
课本第143页习题3.2A组 题1、(6)---(8).2


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