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河南省南阳市第一中学2017届高三上学期第三次月考数学试题Word版含答案.doc


南阳一中 2016 年秋高三第三次月考 数学试题
命题人:王喜朝 审核人:宋起克 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的. 1.函数 y ? 10.29

? x2 ? x ? 2 的定义域为 ln x
B. [一 2,1] C. (0,1)D. (0,1]

A. (一 2,1) 2.已知复数 z=

1 ? 3i (i 为虚数单位) ,则复数 z 的共扼复数为 3 ?i
B.

A.

3 1 ? i 2 2

3 1 ? i 2 2

C. 3 ? i

D. 3 ? i

2 3. 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax ? b ? 0 ,则下列选

项的命题中为假命题的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) B. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) D. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) 4.设 2 ? 5 ? m ,且
a b

1 1 ? ? 2 ,则 m ? a b
B.10 C.20 D.100

A. 10

5.已知点 A(4 3 ,1) ,将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 = ? ,则 tan ? = A.

?
6

至 OB,设 C(1,0) ,∠COB

3 12

B.

3 3

C.

10 3 11

D.

5 3 11

6. 平面向量 a , b 共线的充要条件是 A. a , b 方向相同 B. a , b 两向量中至少有一个为零向量

C. ?? ? R, 使 b ? ? a D.存在不全为零的实数 ?1, ?2 ,使 ?1 a ? ?2 b ? 0 7. 已知关于 x 的不等式

x ?1 ? 2 的解集为 P ,若 1 ? P ,则实数 a 的取值范围为 x?a
B . D. (?1 , 0]

A. (?? , ?1] ? [0 , ??)

[?1 , 0]

C. (?? , ?1) ? (0 , ??)

8 . 已 知 数 列 ?an ? 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 S n , 若 a1a2 a3 ? 15, 且

3 15 5 3 ? ? ? ,则 a 2 ? S1 S 3 S 3 S 5 S 5 S1 5
A. 2 B.

1 2

C. 3

D.

1 3

?x ? y ? 0 ? 9.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,当且仅当 x=y=4 时,z=ax 一 y 取得最小值, ?x ? 4 ?
则实数 a 的取值范围是 A. [?1,1] B. (??,1) C. (0,1)

(??, ?1) ? (1, ??) D.

10.已知函数 f(x)= cos ? x (sin

,如果存在实数 x0,使得对任意 ? x ? 3cos ?)( x ? >0)

的实数 x,都有 f(x0)≤f(x)≤f(x0+2016 ? )成立,则 ? 的最小值为 A.

1 2016?

B.
3

1 4032?

C.

1 2016

D.

1 4032

11.若函数 f(x)= loga ( x ? 2x)(a ? 0 且 a ? 1 )在区间(一 2 ,一 1)内恒有 f(x) >0,则 f(x)的单调递减区间为 A. (??, ?

6 6 ) , ( , ??) 3 3 6 6 ) , ( , ??) 3 3

B. (? 2 , ?

6 ), ( 2 ,+ ? ) 3

C. (? 2, ?

D. (一

6 6 , ) 3 3

12.已知函数 f(x)=

ex 2 ,关于 x 的方程 f ( x) ? (m ? 1) f ( x) ? m ? 4 ? 0 ( m ?R)有四 |x|

个相异的实数根,则 m 的取值范围是

A. (?4, ?e ?

4 ) B. (?4, ?3) e ?1

C. ( ? e ? 第Ⅱ卷

4 4 , ?3) D. (?e ? , ??) e ?1 e ?1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在△ ABC 中,∠A=90° ,AB=3,AC=2, CD ? 2DB ,则 AB?AD = 14.已知函数 f(x)= ( ?

??? ?

??? ?

??? ? ????

.

1 2

1 )· x,则方程 f(x 一 1)=f(x2 一 3x+2)的所有实根构 2 ?1
x

成的集合的非空子集个数为

. .

15.数列{an}满足 an+1+(-1)n an = 2n (n ? N ? ) ,则{an}的前 40 项和为 16.已知 a ? 4b ? 1 ,则 2a ? 4ab 的最大值为
2 2 2

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. ) 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ?

1 ? ? ) sin 2 x ? m sin( x ? ) sin( x ? ). tan x 4 4
? ? 3? ? 上的取值范围; , ?8 4 ? ?

(1) 当 m=0 时,求 f ( x ) 在区间 ?

(2) 当 tan ? ? 2 时, f (? ) ?

3 ,求 m 的值。 5

18.(本小题满分 12 分) 数列 {an } 满足 a1 ? 1, a n ?1 ?

an
2

2

4a n ? 1

( n ? N ? ),

(1)证明 ? (2)设 S n

? ? 1 ? ? 为等差数列并求 an ; 2 ? ? ? an ? ?

? a1 ? a2 ? ? ? an , bn ? S 2n?1 ? S n ,是否存在最小的正整数 m, 使对
m 成立?设若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由. 25

2

2

2

任意 n ? N ? ,有 bn ?

19. (本题满分 12 分)

已知 m∈R,设 p:x1 和 x2 是方程 x2-ax-2=0 的两个实根,不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任 意实数 a∈[-1,1]恒成立;Q:函数 f(x)=x3+mx2+(m+ 求使“P 且 Q”正确的 m 的取值范围.

4 )x+6 在(-∞,+∞)上有极值, 3

20. (本题满分 12 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 2, an?1 ? Sn ? n , 等差数列 ?bn ? 的各项为正, 其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 9 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列. (1)求

?an ? , ?bn ? 的通项公式;
1 1 1 4 ? 2 ? ??? ? 2 ? . 2 5 b1 b2 bn

(2)求证:当 n ? 2 时,

21.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,点 D 为边 BC 的中点, ?BAD ? 90 .
?

(1)若 cos B ?

2 ,求 cos C ; 3

(2)求 cos C 的取值范围.

22. (本题满分 12 分)
2 2 已知函数 f ? x ? ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x (其中 a ? R ).

?

?

(1) 若 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,求 a 的值; (2) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ?

?1 2 ? x ? x ? 1? ; ?2 ?

(3) 若函数 f ? x ? 在区间 ? 1, 2 ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围.

南阳一中 2016 年秋高三第三次月考数学答案
一.DACAD 二. (13)6 DBCBD (14)3 BA (15)

7 ? 241 ? 14 15

(16) 2 ? 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. )

17. 解: (1)当 m=0 时, f ( x) ? (1 ?

cos x ) sin 2 x ? sin 2 x ? sin x cos x sin x

?

1 ? cos 2 x ? sin 2 x 1 ? ? 3? ? [ 2 sin(2 x ? ) ? 1] ,由已知 x ? [ , ] ,得 2 2 4 8 4

sin(2x ?
( 2

?
4

)? [?

2 1? 2 ,1]从而得: f ( x) 的值域为 [0, ] ------(5 分) 2 2
cos x ? ? ) sin 2 x ? m sin( x ? ) sin( x ? ) sin x 4 4
化 , 简 得 :



f ( x) ? (1 ?

1 1 当 tan ? ? 2 ,得: f ( x) ? [sin 2 x ? (1 ? m) cos 2 x] ? 2 2,

sin 2a ?

2sin a cos a 2 tan a 4 3 ? ? , cos 2a ? ,代入上式,m=-2. -----(10 分) 2 2 2 sin a ? cos a 1 ? tan a 5 5

18. 解: (1)证明:? a n ?1 ?

an
2

2

4a n ? 1

,? a n ?1 ?

2

an
2

2

4a n ? 1

,?

1 a n?1
2

?

4a n ? 1 an
2

2

?

1 an
2

?4



1 a n?1
2

?

1 an
2

? 1 1 ? 1 ? ? ?4 ,? ? 2? 为等差数列.? ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 3 , 2 ? an a1 ? an ? ?

2 ? an ?

1 ,又由题知 an ? 0 ? a n ? 4n ? 3

1 4n ? 3

.—————6 分

(2)解: bn ? S 2n?1 ? S n ,? bn?1 ? S 2n?3 ? S n?1 ,

?bn?1 ? bn ? (S2n?3 ? S2n?1 ) ? (Sn?1 ? Sn ) ? a2n?3 ? a2n?2 ? an?1
? 1 1 1 40n ? 31 ? ? ?? ?0, 8n ? 9 8n ? 5 4n ? 1 (8n ? 9)(8n ? 5)(4n ? 1)

2

2

2

? bn?1 ? bn .即数列 ?bn ? 为递减数列,则要使 bn ?
? b1 ? S 3 ? S1 ? a 2 ? a3 ?
2 2

m m 恒成立,只需 b1 ? , 25 25

14 14 m 70 ,? ? ,m ? . 45 45 25 9 m 成立.———12 分 25

? 存在最小的正整数 m ? 8 ,使对任意 n ? N ? ,有 bn ?

?? ? a 2 ? 8 ? 0 ? 19.解:P: ? x1 ? x 2 ? a ,又∵|x1 –x2|2=(x1 +x2)2 -4x1x2≤ 9 ? x x ? ?2 ? 1 2
∴ |m2-5m-3|≥3,--------------------------------------(4 分) m ≤-1 或 0≤m ≤5 或 m≥6, Q:f/(x)=3x2+2mx+(m+ -------------------------------(6 分)

4 )=0,①△<0,无极值;②△=0 时,列表可知,无极值; 3

③△>0 时,列表可知,有极值。解得: m<-1 或 m>4 ∵P、Q 分)

-------------(10 分)

同时为真,则:m<-1 或 4<m≤5 或 m≥6 。-----------------(12

20.解: (Ⅰ)由 an ?1 ? Sn ? n ,得 an ? Sn ?1 ? (n ? 1) (n ? 2) ,两式相减得

an ?1 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? 1 ? an ? 1 ,所以 an ?1 ? 2an ? 1

所以 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) (n ? 2)

又 a2 ? 3, 所以 an ? 1 ? 2n ? 2 (a2 ? 1) ? 2n , 从而 an ? 2n ? 1 (n ? 2) ,而 a1 ? 2 , 不符合上式, 所以 an ? ?

?2 ,
n

n ?1

?2 ? 1, n ? 2

--(3 分) 由

因为 {bn } 为等差数列,且前三项的和 T3 ? 9 ,所以 b2 ? 3 ,可设 b1 ? 3 ? d , b3 ? 3 ? d



于 a1 ? 2, a2 ? 3, a3 ? 7 , 于 是 a1 ? b1 ? 5 ? d , a2 ? b2 ? 6, a3 ? b3 ? 10 ? d , 因 为

a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,所以 (5 ? d )(10 ? d ) ? 36 , d ? 2 或 d ? ?7 (舍)
所以 bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 (Ⅱ)因为 ----------(6 分)

1 1 1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 (2k ? 1) (2k ? 1) ? 1 2k (2k ? 2) 4 ? k ? 1 k ? bk

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 ? 2 ?? 2 1 3 (2n ? 1)2 b2 bn 所以,当 n ? 2 时, b1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? 1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 4 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n ? 1 n ?? ? 1 ? 1 ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 5 ----(12 分) 4 4 4? ? n? ?
t? A B D 21.解: (1) 在R

? cos B ? 中, 设 AB ? 2 单位长度,
2 2 2

2 ? BD ? 3, BC ? 2BD ? 6 3, ,
2 2

在 ?ABC 中,由余弦定理得, AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ? 2 ? 6

2 ?2 ? 2 ? 6 ? ? 24 , ? AC ? 2 6 , 在 ?ABC 中 , 由 余 弦 定 理 得 , 3

cos C ?

AC 2 ? BC 2 ? AB2 24 ? 62 ? 22 7 6 ? ? . ----------(6 分) 2 AC ? BC 18 2?2 6 ?6
?
2 , ?DAC ? ? ? ?ADC ? C ?

(2)设 BD ? CD ? x, AC ? y, 由题可得, ?ADC ? B ?

?
2

? B ? C,

在 ?ABC 中,由正弦定理得, 在 ?ADC 中,由正弦定理得,

AC BC y 2x ? ,? ? , ①, sin B sin ?BAC sin B sin( B ? C )

AC CD ? , sin ?ADC sin ?DAC


?

y

sin( B ? ) 2

?

?

sin( ? B ? C ) 2

?

x

,

y x ? , cos B cos( B ? C )







?







1 ? B t a C n ( ? t aB ) n,? ( C ? ) B2 ? t ta a C n n ?, tB a ? n C ( ?(B ) 2 t a B n t aB ? n ( C ? ) B t a n ? B 2 B t a n 1 ? ? ? ? ,由题知 2 B B t ca on Bt 2 t a n 1 ? t Ba? n C ?( B) ? t a? n B 1 1? B2 2 t t a a n n ? t aB ? n B?( 0 , 2

?

) , n ta B? ( 0 ? ,? c o )B ,t ?

2 tB a? n? ?

2 ?? 2, ,

?

? tan C ?

? ?2 2 ? 1 2? ?? 0, cos C ? ,1? ? ? , ? .----------(12 分) cot B ? 2 tan B ? 4 3 ? ? ? ?
? ?

2 2 2 x 22.【解析】(Ⅰ)因为 f ? x ? ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e

2 2 2 2 2 ? x f ? ? x ? ? ?2ax ? ? a ? 1? ? e x ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x ? ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? e ? ? ? ? 0 因为 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,所以由 f ? ? 0? ? ae ? 0 ,解得 a ? 0

检验,当 a ? 0 时, 所以 x ? 0 为

f ? ? x ? ? xex ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 .

f ? x ? 的极值点,故 a ? 0 .……………4 分
1 2 ? 1 2 ? x ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? e x ? ? x ? 1? ? x ? x ? 1? , ? ?2 ? ?2 ?

(Ⅱ) 当 a ? 0 时 , 不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ? ?

? 整理得 ? x ? 1? ?e x ? ? 1 x 2 ? x ? 1? ? ? 0 , 即 ? x ? ?? ? ?2 ?? ? ?e ?

?x ?1 ? 0

?x ?1 ? 0 ? 或? x ?1 2 令 ?1 2 ? ? ? ? x ? x ? 1? ? 0 ?e ? ? x ? x ? 1? ? 0 ?2 ? ?2 ? ?

?1 ? x x g ? x ? ? e x ? ? x 2 ? x ? 1? , h ? x ? ? g? ? x ? ? e ? ? x ? 1? , h? ? x ? ? e ?1 , 当 x ? 0 ?2 ?
时 , h? ? x ? ? e
x

?1 ? 0 ;当 x ? 0 时 , h? ? x ? ? ex ?1 ? 0 , 所以 h ? x ? 在 ? ??,0? 单调递减 , 在
所以 g ? x ? 在 R 上单调递增,而

(0, ??) 单调递增,所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,即 g? ? x ? ? 0 ,

g ? 0? ? 0 ;
故 ex ? ?

?1 2 ? ?1 ? x ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ; e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 , ?2 ? ?2 ?

所以原不等式的解集为 ? x x ? 0或x ? 1? ;………………………………8 分 (Ⅲ) 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? ? ax ? a ? 1 x ? a ? ? e

?

2

?

2

?

?

x

因为 x ? ?1, 2 ? ,所以 f ? ? x ? ? 0 ,所以 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ① 由 ?1, 2 ? ? ? ? ②

f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上是增函数.

? ?

1? x ? ? e , x ? ?1, 2? 时, f ? x ? 是增函数, f ? ? x ? ? 0 . a?
? ? 1? x ? 1 ? ? e ? 0 ? x ? ? ? , ?a ? , a? ? a ?

若 a ? ?1 , 则 f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ?

? 1 ? , ? a ? 得 a ? ?2 ; ? a ?
若 ?1 ? a ? 0 ,则 f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ? ? e x ? 0 ? x ? ? ?a, ? ? ,由

? ?

1? a?

? ?

1? a?

?1, 2 ? ? ? ? ? a, ?
?

1? 1 ?得? 2 ? a ? 0 . a?
2

③ 若 a ? ?1 , f ? ? x ? ? ? ? x ? 1? ? e x ? 0 ,不合题意,舍去 综上可得,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2? ? ? ?

? 1 ? , ?? ? …………………………12 分 ? 2 ?


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