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高一数学必修二《圆与方程》知识点整理


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高一数学必修二《圆与方程》 高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
一、标准方程

( x ? a) + ( y ? b)
2

2

= r2

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心 ( a, b ) 和半径 r ①待定系数:往往已知圆上三点坐标,例如教材 P 例 2 119 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系,特别是:相切和相交 相切:利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交:利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法(无需记,关键能理解) 条件 方程形式 圆心在原点 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点 圆心在 y 轴上且过原点 与 x 轴相切 与 y 轴相切 与两坐标轴都相切 二、一般方程

x2 + y2 = r 2 ( r ≠ 0)

( x ? a) + ( y ? b)
2

2

= a2 + b2 ( a2 + b2 ≠ 0 )

( x ? a)

2

+ y2 = r 2 ( r ≠ 0)
2

x2 + ( y ? b) = r 2 ( r ≠ 0)

( x ? a)

2

+ y2 = a2 ( a ≠ 0)
2

x2 + ( y ? b ) = b2 (b ≠ 0)

( x ? a) + ( y ? b)
2 2

2

= b2 ( b ≠ 0) = a2 ( a ≠ 0)

( x ? a ) + ( y ? b)

2

( x ? a) + ( y ? b)
2

2

= a2 ( a = b ≠ 0)

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ( D 2 + E 2 ? 4 F > 0 )
1. Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 表示圆方程则

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? ? ?A = B ≠ 0 ?A = B ≠ 0 ? ? ? ?C = 0 ?C = 0 ? ? D 2 + E 2 ? 4 AF > 0 2 2 ? ?? D ? + ? E ? ? 4 ? F > 0 ? ? ? ? ?? A ? ? A ? A ?
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法:如教材 P 例 r 4 122 3. D + E ? 4 F > 0 常可用来求有关参数的范围
2 2

三、点与圆的位置关系 1.判断方法:点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系 d < r ? 点在圆内; d = r ? 点在圆上; d > r ? 点在圆外 2.涉及最值: (1)圆外一点 B ,圆上一动点 P ,讨论 PB 的最值

PB min = BN = BC ? r PB max = BM = BC + r

(2)圆内一点 A ,圆上一动点 P ,讨论 PA 的最值

PA min = AN = r ? AC PA max = AM = r + AC
思考:过此 A 点作最短的弦?(此弦垂直 AC ) 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法( d 为圆心到直线的距离) (1)相离 ? 没有公共点 ? ? < 0 ? d > r (2)相切 ? 只有一个公共点 ? ? = 0 ? d = r (3)相交 ? 有两个公共点 ? ? > 0 ? d < r 这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 (1)知识要点 ①基本图形

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②主要元素:切点坐标、切线方程、切线长等 问题:直线 l 与圆 C 相切意味着什么? 圆心 C 到直线 l 的距离恰好等于半径 r 恰好等于半径 (2)常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条;点在圆上——一条;点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点 ... i)点在圆外 如定点 P ( x0 , y0 ) ,圆: ( x ? a ) + ( y ? b ) = r ,[ ( x0 ? a ) + ( y0 ? b ) > r ]
2 2 2 2 2 2

第一步:设切线 l 方程 y ? y0 = k ( x ? x0 ) 第二步:通过 d = r ? k ,从而得到切线方程 特别注意: 特别注意:以上解题步骤仅对 k 存在有效,当 k 不存在时,应补上——千万不要漏了! 如:过点 P (1, 1) 作圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 6 y + 12 = 0 的切线,求切线方程. 答案: 3 x ? 4 y + 1 = 0 和 x = 1 ii)点在圆上
2 2 2 y 1) 若点 ( x0, 0 ) 在圆 x + y = r 上,则切线方程为 x0 x + y0 y = r
2

会在选择题及填空题中运用,但一定要看清题目. 2) 若点 ( x0, 0 ) 在圆 ( x ? a ) + ( y ? b ) = r 上,则切线方程为 y
2 2 2

( x0 ? a )( x ? a ) + ( y0 ? b )( y ? b ) = r 2
碰到一般方程则可先将一般方程标准化,然后运用上述结果. 由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程,非常重要的第一步就是——判断 点与圆的位置关系,得出切线的条数. ③求切线长:利用基本图形, AP = CP ? r ? AP =
2 2 2

CP ? r 2
2

求切点坐标:利用两个关系列出两个方程 ? 3.直线与圆相交 (1)求弦长及弦长的应用问题 垂径定理及勾股定理——常用 .... 弦长公式: l = 1 + k 2 x1 ? x2 =

? AC = r ?k AC ? k AP = ?1

(1 + k ) ?( x + x ) ?
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? (暂作了解,无需掌握) ?

(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合) :直线过定点,而定点恰好在圆内.

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(3)关于点的个数问题 例:若圆 ( x ? 3) + ( y + 5 ) = r 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 = 0 的距离为 1,则
2 2 2

半径 r 的取值范围是_________________.

答案: ( 4, 6 )

4.直线与圆相离 会对直线与圆相离作出判断(特别是涉及一些参数时) 五、对称问题 1.若圆 x 2 + y 2 + m 2 ? 1 x + 2my ? m = 0 ,关于直线 x ? y + 1 = 0 ,则实数 m 的值为____. 答案:3(注意: m = ?1 时, D + E ? 4 F < 0 ,故舍去)
2 2

(

)

变式: 已知点 A 是圆 C : x 2 + y 2 + ax + 4 y ? 5 = 0 上任意一点,A 点关于直线 x + 2 y ? 1 = 0 的对称点在圆 C 上,则实数 a = _________. 2.圆 ( x ? 1) + ( y ? 3) = 1 关于直线 x + y = 0 对称的曲线方程是________________.
2 2

变式:已知圆 C1 :( x ? 4 ) + ( y ? 2 ) = 1 与圆 C2 :( x ? 2 ) + ( y ? 4 ) = 1 关于直线 l 对称,
2 2 2 2

则直线 l 的方程为_______________. 3.圆 ( x ? 3) + ( y + 1) = 1 关于点 ( 2, 3) 对称的曲线方程是__________________.
2 2

4.已知直线 l : y = x + b 与圆 C : x 2 + y 2 = 1 ,问:是否存在实数 b 使自 A ( 3, 3) 发出的光 线被直线 l 反射后与圆 C 相切于点 B ?

? 24 7 ? , ? ?若存在,求出 b 的值;若不存在,试说明 ? 25 25 ?

理由. 六、最值问题 方法主要有三种: (1)数形结合; (2)代换; (3)参数方程 1.已知实数 x , y 满足方程 x 2 + y 2 ? 4 x + 1 = 0 ,求:

y 的最大值和最小值;——看作斜率 x?5 (2) y ? x 的最小值;——截距(线性规划)
(1) (3) x 2 + y 2 的最大值和最小值.——两点间的距离的平方 2.已知 ?AOB 中, OB = 3 , OA = 4 , AB = 5 , P 是 ?AOB 内切圆上一点, 点 求以 PA ,

PB , PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.
数形结合和参数方程两种方法均可! 3.设 P ( x, y ) 为圆 x + ( y ? 1) = 1 上的任一点,欲使不等式 x + y + c ≥ 0 恒成立,则 c 的取
2 2

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值范围是____________. 答案: c ≥ 七、圆的参数方程

2 ? 1 (数形结合和参数方程两种方法均可! )

? x = r cos θ x2 + y2 = r 2 ( r > 0) ? ? , θ 为参数 ? y = r sin θ

( x ? a) + ( y ? b)
2

2

? x = a + r cos θ = r 2 ( r > 0) ? ? , θ 为参数 ? y = b + r sin θ

八、相关应用 ,始终平分圆 x 2 + y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 = 0 的周长, 1.若直线 mx + 2ny ? 4 = 0 ( m , n ∈ R ) 则 m ? n 的取值范围是______________. 2.已知圆 C : x 2 + y 2 ? 2 x + 4 y ? 4 = 0 ,问:是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得 的弦为 AB ,以 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程,若不存在,说明理 由. 提示:x1 x2 + y1 y2 = 0 或弦长公式 d = 1 + k
2 2

2

x1 ? x2 . 答案:x ? y + 1 = 0 或 x ? y ? 4 = 0

3.已知圆 C : ( x ? 3) + ( y ? 4 ) = 1 ,点 A ( 0,1) , B ( 0, 1) ,设 P 点是圆 C 上的动点,

d = PA + PB ,求 d 的最值及对应的 P 点坐标.
2 2

4.已知圆 C : x ? 1) + ( y ? 2 ) = 25 , 直线 l : 2m + 1) x + ( m + 1) y ? 7 m ? 4 = 0 m ∈ R ) ( ( (
2 2

(1)证明:不论 m 取什么值,直线 l 与圆 C 均有两个交点; (2)求其中弦长最短的直线方程. 5.若直线 y = ? x + k 与曲线 x = ? 1 ? y 恰有一个公共点,则 k 的取值范围.
2

6.已知圆 x 2 + y 2 + x ? 6 y + m = 0 与直线 x + 2 y ? 3 = 0 交于 P , Q 两点, O 为坐标原点, 问:是否存在实数 m ,使 OP ⊥ OQ ,若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 九、圆与圆的位置关系 1.判断方法:几何法( d 为圆心距) (1) d > r1 + r2 ? 外离 (3) r1 ? r2 < d < r1 + r2 ? 相交 (5) d < r1 ? r2 ? 内含 2.两圆公共弦所在直线方程 圆 C1 : x + y + D1 x + E1 y + F1 = 0 ,圆 C2 : x + y + D2 x + E2 y + F2 = 0 ,
2 2 2 2

(2) d = r1 + r2 ? 外切 (4) d = r1 ? r2 ? 内切

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则 ( D1 ? D2 ) x + ( E1 ? E2 ) y + ( F1 ? F2 ) = 0 为两相交圆公共弦方程. 补充说明: 补充说明: 若 C1 与 C2 相切,则表示其中一条公切线方程; 若 C1 与 C2 相离,则表示连心线的中垂线方程. 3 圆系问题 (1)过两圆 C1 : x + y + D1 x + E1 y + F1 = 0 和 C2 : x + y + D2 x + E2 y + F2 = 0 交点的
2 2 2 2

圆系方程为 x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 + λ x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0 ( λ ≠ ?1 ) 说明: 说明:1)上述圆系不包括 C2 ;2)当 λ = ?1 时,表示过两圆交点的直线方程(公共弦) ( 2 ) 过 直 线 Ax + By + C = 0 与 圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 交 点 的 圆 系 方 程 为

(

)

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ ( Ax + By + C ) = 0
(3)有关圆系的简单应用 (4)两圆公切线的条数问题 ①相内切时,有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;③相交时,有两条公切线;④相 离时,有四条公切线 十、轨迹方程 (1)定义法(圆的定义) :略 (2)直接法:通过已知条件直接得出某种等量关系,利用这种等量关系,建立起动点坐标 的关系式——轨迹方程. 例:过圆 x 2 + y 2 = 1 外一点 A ( 2, 0 ) 作圆的割线,求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程. 分析: OP + AP = OA
2 2 2

(3)相关点法(平移转换法) :一点随另一点的变动而变动





动点 主动点 特点为:主动点一定在某一已知的方程所表示的(固定)轨迹上运动. 例 1.如图,已知定点 A ( 2, 0 ) ,点 Q 是圆 x 2 + y 2 = 1 上的动点, ∠AOQ 的平分线交 AQ 于

M ,当 Q 点在圆上移动时,求动点 M 的轨迹方程.

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分析:角平分线定理和定比分点公式.

例 2.已知圆 O : x 2 + y 2 = 9 ,点 A ( 3, 0 ) , B 、 C 是圆 O 上的两个动点, A 、 B 、 C 呈逆 时针方向排列,且 ∠BAC = 法 1:Q ∠BAC =

π
3

,求 ?ABC 的重心 G 的轨迹方程.

π
3

,∴ BC 为定长且等于 3 3

xA + xB + xC 3 + xB + xC ? = ?x = ? 3 3 设 G ( x, y ) ,则 ? y A + yB + yC yB + yC ?y = = ? 3 3 ?
取 BC 的中点为 xE ∈ ? ?
2 2 2

? 3 3 3? ? 3 3? , ? , yE ∈ ? ? ? 4 , 2? ? 2 4? ? ? 9 LL (1) 4

Q OE + CE = OC ,∴ xE 2 + yE 2 =

3 + 2 xE xB + xC 3x ? 3 ? ? ? ? xE = ?x = 3 ? xE = 2 ? x + x = 2 xE ? ? ? 2 ,∴ ? ?? ?? B C ? ? yB + yC = 2 yE ? y = 2 yE ?y = 3 y ? y = yB + yC E ? E 2 ? ? 3 ? ? 2 ?
2 2 ? 3 ? 2 ? 3x ? 3 ? ? 3 ? 9 ? 3? 2 故由(1)得: ? , 1? ? ? + ? y ? = ? ( x ? 1) + y = 1 x ∈ ?0, ?, y ∈ ? ? 4 ? 2 ? ?2 ? ? 2? ? 2 ?

法 2: (参数法) 设 B ( 3cos θ , 3sin θ ) ,由 ∠BOC = 2∠BAC =

2π ,则 3

? 2π ? C ? 3cos ? θ + 3 ? ?
设 G ( x, y ) ,则

2π ? ? ? ? ? , 3sin ? θ + ?? 3 ?? ? ?

? 2π ? ? 3 + 3cos θ + 3cos ? θ + ? ? x +x +x 2π ? 3 ? ? ? ?x = A B C = = 1 + cos θ + cos ? θ + ?L (1) 3 3 3 ? ? ? ? 2π ? ? ? 3sin θ + 3sin ? θ + ? ? y + yB + yC 2π ? 3 ? ? ? y= A = = sin θ + sin ? θ + ? ?LL( 2 ) 3 3 3 ? ? ?

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? 2 3 ? 2 2 ? π 4π ? ? 3? 2 θ ∈? , ? ,由 ( (1) ? 1) + ( 2 ) 得: ( x ? 1) + y = 1 x ∈ ?0, ?, y ∈ ? ? ? 2 , 1? ? 2? ?3 3 ? ? ?
参数法的本质是将动点坐标 ( x, y ) 中的 x 和 y 都用第三个变量(即参数)表示,通过消 . 参得到动点轨迹方程,通过参数的范围得出 x , y 的范围. . (4)求轨迹方程常用到得知识

xA + xB + xC x1 + x2 ? ? ?x= ?x = 2 ? ? 3 ②中点 P ( x, y ) , ? ①重心 G ( x, y ) , ? ? y = y A + yB + yC ? y = y1 + y2 ? ? ? 2 3 ?
③内角平分线定理:

BD CD

=

AB AC

④定比分点公式: ⑤韦达定理.

AM x + λ xB y + λ yB = λ ,则 xM = A , yM = A MB 1+ λ 1+ λ


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