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高二上期中考试模拟题(解三角形、数列、不等式)

一、选择题(每题 5 分,共 60 分)
1、Δ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 sin A ?

1 , b ? 3sin B ,则 a 等于 3

A. 3

3

B.

3

C.

3 2

D.

3 3

2、在?ABC中,若sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C,则?ABC的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
3、已知

?a n ? 是等差数列,且 a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 48 ,则 a6 ? a7 ?
B.16 C.20 D.24

(

)

A.12

4、数列

?a n ? 中,若 a1 ?

1 1 , an ? (n ? 2, n ? N ) ,则 a2013 的值为( 2 1 ? an?1



A.-1

B.

1 2

C.1

D.2

5、若正项等比数列

?a n ? 满足 a1a4 ? 1, S3 ? 13, bn ? log3 an ,则数列 ?bn? 的前 10 项和是(
C.25 D.-25 ,则 tan(a2 ? a12 ) 的值为(

)

A.65

B.-65

6、已知数列

?a n ? 为等差数列且 a1 ? a7 ? a13 ? 4?
? 3
? 3 3

)

A.

3

B.

C.

D.

? 3

7、已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的整数解构成等差数列
2

?a n ? 的前三项,则数列 ?a n ? 的第四项(
??? ?

)

A.3

B.

-1

C.2

D.3 或-1 若 B ?a n ? 的前 n 项和为 Sn , O C.200 D.201

8、 已知等差数列

??? ?

??? ? aO 1 a O 002 ?A C ?

且 A、B、C 三点共线(该直线不过点 O ), S200 = 则

A.100

B.101

9、若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式 ① ab ? 1 ;



a ? b ? 2 ; ③ a 2 ? b2 ? 2 ;

1 1 ④ a3 ? b3 ? 3 ; ⑤ + ? 2 ,对一切满足条件的 a , b 恒成立的所有正确命题是( a b



A.①②③

B.①③⑤

C

C.①②④

D.③④⑤

10、不等式 2x +mx+n ? 0 的解集是 {x | x>3或x<-2} ,则二次函数
2

y=2x2+mx+n 的表达式是(

)

A.

y=2x2+2x+ 12

B.

y=2x2-2x+ 12

C.

y=2x2+2x- 12

D.

y=2x2-2x- 12

?x ? 2 ? 0 ? 11、已知点 P(x,y) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的取值范围是( ) ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2]

12、不等式组 ?

? x2 ?1 ? 0 ? 的解集是( 2 ? x ? 3x ? 0 ?



A. {x|﹣1<x<1}

B. {x|1<x≤3}

C. {x|﹣1<x≤0}

D. {x|x≥3 或 x<1}

二、填空题(每空 5 分,共 20 分)
13、

1 1 1 1 + + + =________. 3 15 63 99

14、已知实数

x,

?x ? 0 y 满足约束条件 ? y ? 0 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为 ? ?x ? y ? 2 ?
2



15、 已知不等式 x -2x-3 ? 0 的解集为 A, 不等式 x +x-6 ? 0 的解集是 B, 不等式 x +ax+b ? 0 的解集是 A
2 2

?B

那么 a+ b 等于 16、若函数 ?



? x ?=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 a?(-2x) ? 0 的解集是____

____.

三、简答题(共 70 分) 17、 (10 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a, b, c ,已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1. (1)求角 A 的大小; (2)若 ?ABC 的面积 S

? 5 3, b ? 5, 求sin B sin C的值

18、(12 分)已知等比数列

?an? 中, a2 ? 2, a5 ? 128.若bn ? log2 an.数列?bn?的前n项和为Sn

(Ⅰ) Sn

? 35, 求n的值 ;(Ⅱ)求不等式 Sn ? 2bn 的解集.

19、(12 分)已知不等式 ax +(a- x+a- <0 对于所有的实数 x 都成立,求 a 的取值范围. 1) 1
2

20、(12 分)(1)已知 x ?

5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2+ 的最大值 4 4x ? 5

(2)已知 a>0,b>0,c>0,求证:

bc ac ab ? + ? a?b?c. a b c

21、(12 分)已知函数 (1)解关于 x 不等式

f ( x) ? x .


(2)若不等式 f ( x ? 1) ? f (2 x) ?

1 1 ? 对任意 a ? (0,1) 恒成立,求 x 的取值范围. a 1? a
,当 a1 ? 1, 当n ? 2, S n ? an ( S n ? )
2

22、(12 分)在数列

?an? 中, Sn 是数列 ?an? 前 n 项和,

1 2

(I)求 an ;(II)设 bn ?

Sn 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; 2n ? 1
?

(III)是否存在自然数 m,使得对任意自然数 n ? N ,都有 Tn ? 存在,请说明理由。

1 (m ? 8) 成立?若存在,求出 m 的最大值;若不 4

参考答案
一、选择题

a 2 ? b2 ? c2 1、D2、解析 由正弦定理可将 sin A+sin B<sin C 转化为 a +b <c ,又由余弦定理可得 cosC= <0,则 2ab
2 2 2 2 2 2

C 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形.3、D 4、A 5、D ∴ 公比 .

解析:∵

为正项等比数列,

,∴

.又∵







,解得 q=

,∴

,∴







,∴



=-25.

6、D

解析:由题意可得

,∴



,∴





=-

.

7、D

解析:由



,得 =0,1,2.∴

=3 或

=-1.故选 D.

8、A

解析:∵

,且

三点共线,



.

9、 10、 B D11、 12、 C 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 原不等式相当于不等式组 接下来分别求解不等式①②即可,最后求①②解集的交集即得所求的解集.



解答: 解析: 原不等式相当于不等式组

不等式①的解集为{x|﹣1<x<1}, 不等式②的解集为{x|x

<0 或 x>3}.因此原不等式的解集为{x|x<0 或 x>3}∩{x|﹣1<x<1}={x|﹣1<x≤0}故答案为{x|﹣1<x≤0} 故选 C.点评:本小题主要考查不等关系与不等式应用、一元二次不等式的解法、集合的运算等基础知识,考查运算 求解能力.属于基础题.

二、填空题

13、 14、8

∴ 原式=





.

15、-3;16、



三、简答题

17、

18、 解:(Ⅰ)



是以

为首项,2为公差的等差数列.

(Ⅱ)

即,所求不等式的解集为

19、(-∞,- 20、考点:

)

综合法与分析法(选修);基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析:

(1)化简可得函数 y=3﹣(5﹣4x+

),而由基本不等式可得 5﹣4x+

的最小值为 2,从而求得函数 y=3

﹣(5﹣4x+

) 的最大值.

(2)由条件利用基本不等式可得 即可正得不等式成立. 解答:





,把这三个不等式相加在同时除以 2,

解:(1)∵已知 x< ,函数 y=4x﹣2+

=4x﹣5+

+3=3﹣(5﹣4x+

),

而由基本不等式可得 (5﹣4x)+

≥2,当且仅当 5﹣4x=

,即 x=1 时,等号成立,

故 5﹣4x+

的最小值为 2,

故函数 y=3﹣(5﹣4x+

) 的最大值为 3﹣2=1.

(2)∵已知 a>0,b>0,c>0,∴





,当且仅当 a=b=c 时,取等号.

把这三个不等式相加可得



∴ 点评:

成立.

本题主要考查利用基本不等式求函数的最值, 利用基本不等式证明不等式, 注意检验等号成立的条件以及不等式的使 用条件,属于中档题.

21、(1)不等式可化为:

.



时,解集为



时,解集为



时,解集为

(2)由 f(x+1)+f(2x)≤



得:

|x+1|+|2x|≤



.

∵0<a<1,∴0<1-a<1,









=4.

当且仅当 a=1-a,即 a=

时取“=”.

∴原问题等价于|x+1|+|2x|≤4,







∴-

≤x≤1.

∴x 的取值范围是{x|-

≤x≤1}.

22、解:(I)







数列

是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,





?5 分

(II )

?9 分

(III)令





上是增函数,当

时,

取得最小值

,依

题意可知,要使得对任意

,都有

,只要








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