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高中数学 第四章 圆与方程 4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用课时作业 新人教A版必修2


4.2.2 4.2.3

圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用

【选题明细表】 知识点、方法 两圆位置关系的判断 两圆相交问题 两圆相切问题 综合应用问题
2 2

题号 1、9 6、7、8、10 3、4 2、5、11、12

基础巩固 2 2 1.(2015 吉林白山市一中期末)圆 x +y =1 和 x +y -6y+5=0 的位置关系为( A ) (A)外切 (B)内切 (C)相离 (D)内含 2 2 2 2 解析:方程 x +y -6y+5=0 化为 x +(y-3) =4,所以两圆的圆心为 C1(0,0),C2(0,3),半径为 r1=1,r2=2,而|C1C2|=3=r1+r2.则两圆相外切,故选 A. 2 2 2 2 2.已知点 A,B 分别在两圆 x +(y-1) =1 与(x-2) +(y-5) =9 上,则 A,B 两点之间的最短距离为 ( C ) (A)2 (B)2 -2 (C)2 -4 (D)2

解析:两圆心之间的距离为

=2

>4=r1+r2,所以两圆相离,所以 A、B 两点之间

的最短距离为 2
2

-4,故选 C.
2 2 2 2 2

3.两圆(x-a) +(y-b) =c 和(x-b) +(y-a) =c 相切,则( B 2 2 2 2 (A)(a-b) =c (B)(a-b) =2c 2 2 2 2 (C)(a+b) =c (D)(a+b) =2c 解析:两圆半径相等,故两圆外切, 圆心距 d=
2 2 2

)

=
2

|b-a|=2|c|,

所以(b-a) =2c ,即(a-b) =2c ,故选 B. 2 2 4.半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x +(y-3) =1 内切,则此圆的方程为( D ) 2 2 2 2 (A)(x-4) +(y-6) =6 (B)(x±4) +(y-6) =6 2 2 2 2 (C)(x-4) +(y-6) =36 (D)(x±4) +(y-6) =36 解析:由题意知,半径为 6 的圆与 x 轴相切,且圆心在 x 轴上方. 设所求圆的圆心坐标为(a,b),则 b=6, 再由 =5,可以解得 a=±4,
2 2

故所求圆的方程为(x±4) +(y-6) =36. 故选 D.

-1-

5.一辆货车宽 2 米,要经过一个半径为

米的半圆形隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距

离地面高度不得超过( B ) (A)2.4 米 (B)3 米 (C)3.6 米 (D)2.0 米 解析:以半圆直径所在直线为 x 轴,过圆心且与 x 轴垂直的直线为 y 轴,建立如图所示坐标系.

由半圆的半径为

可知,

半圆所在的圆的方程为 2 2 x +y =10(y≥0), 由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高. 2 2 此时 x=1 或 x=-1,代入 x +y =10, 得 y=3(负值舍去). 故选 B. 2 2 2 2 6.经过两圆 x +y =9 和(x+4) +(y+3) =8 的交点的直线方程为 . 解析:由两圆相减,得 4x+3y+13=0,所以过两圆交点的直线方程为 4x+3y+13=0. 答案:4x+3y+13=0 7.两圆相交于两点 A(1,3)和 B(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值 为 . 解析:由题意知,线段 AB 的中点在直线 x-y+c=0 上,且 kAB= =-1,即 m=5,又点( ,1)在该直线

上,所以

-1+c=0,所以 c=-2,所以 m+c=3.

答案:3 2 2 2 2 8.求圆心在直线 x-y-4=0 上,且经过两圆 x +y -4x-6=0 和 x +y -4y-6=0 的交点的圆的方程. 解:法一 由





即两圆的交点坐标为 A(-1,-1),B(3,3). 设所求圆的圆心坐标 C 为(a,a-4),由题意可知 CA=CB, 即 = ,

解得 a=3,所以 C(3,-1),

-2-

所以 CA=

=4,
2 2

所以,所求圆的方程为(x-3) +(y+1) =16. 2 2 2 2 法二 设经过两已知圆的交点的圆的方程为 x +y -4x-6+λ (x +y -4y-6)=0, 则其圆心坐标为( , ).

因为所求圆的圆心在直线 x-y-4=0 上, 所以 -4=0,解得λ =- .
2 2

所以所求圆的方程为 x +y -6x+2y-6=0. 能力提升 9.圆 C1:x +y +2x+8y-8=0 与圆 C2:x +y -4x+4y-2=0 的位置关系是( A ) (A)相交 (B)外切 (C)内切 (D)相离 2 2 2 2 解析:因为圆 C1:x +y +2x+8y-8=0 与圆 C2:x +y -4x+4y-2=0 分别化为 2 2 2 2 C1:(x+1) +(y+4) =25,C2:(x-2) +(y+2) =10.所以两圆心坐标分别为 C1(-1,-4),C2(2,-2).半径
2 2 2 2

分别为 5,
2 2

.因为 C1C2=
2 2

<5+

,又 C1C2=

>5-

,所以两圆相交,故选 A. ,则 a= .

10.若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0 的公共弦长为 2

解析:由已知,两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为 y= ,圆心(0,0)到直线的距离

d= =

=1,解得 a=±1.

答案:±1 11.如图,已知一艘海监船 O 上配有雷达,其监测范围是半径为 25 km 的圆形区域.一艘外籍轮 船从位于海监船正东 40 km 的 A 处出发,径直驶向位于海监船正北 30 km 的 B 处岛屿,速度为 28 km/h.

问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法) 解:如图,以 O 为原点,东西方向为 x 轴建立直角坐标系,

则 A(40,0),B(0,30),圆 O 方程为 x +y =25 ,

2

2

2

-3-

直线 AB 方程: + =1, 即 3x+4y-120=0, 设 O 到 AB 距离为 d,则 d= =24<25,

所以外籍轮船能被海监船监测到. 设监测时间为 t,则 t= = (h).

答:外籍轮船能被海监船监测到,时间是 0.5 h. 探究创新 12.已知圆 M 过两点 C(1,-1),D(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点,求四边形 PAMB 面 积的最小值. 2 2 2 解:(1)设圆 M 的方程为(x-a) +(y-b) =r (r>0). 根据题意,得 解得 a=b=1,r=2, 2 2 故所求圆 M 的方程为(x-1) +(y-1) =4. (2)因为四边形 PAMB 的面积 S=S△PAM+S△PBM= |AM|·|PA|+ |BM|·|PB|, 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以 S=2|PA|, 而|PA|= = ,

即 S=2

.

因此要求 S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线 3x+4y+8=0 上找一点 P,使得|PM|的 值最小, 所以|PM|min= =3,

所以四边形 PAMB 面积的最小值为 S=2 =2 =2 .

-4-


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