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2.1.3求曲线的方程(李用)_图文

2.1.2求曲线的方程

求曲线方程的一般步骤: 1. 建系:建立适当的直角坐标系(如果已给出,本步
骤省略);

2. 设点:设曲线上任意一点的坐标(x,y); 3. 列式:根据曲线上点所适合的条件,写出等式;

4. 化简:用坐标x、y表示这个等式,并化方程为最简
形式;

5. 证明:验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲
上的点.(一般变为确定点的范围即可)

课前练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.

解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM ? x ? ( y ? 4)
2 2

∴ y = x ? ( y ? 4)
2
2 2 2

2

∴ y ? x ? y ? 8 y ? 16 2 ∴ x ? 8 y ? 16 这就是所求的轨迹方程.

几种常见求轨迹方程的方法
1.直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性 质而得出)的动点所满足的几何条件列 出等式,再用坐标代替这等式,化简 得曲线的方程,这种方法叫直接法.

例1.求到x轴距离等于2的点的轨迹方程。
分析:动点P的轨迹很容易知道就是两条平行
于x轴的直线,所以根据图形的几何特点直接 可以写出轨迹方程为:y=±2。

直接法:由题设所给(或通过分析图形的 几何性质而得出)的动点所满足的几何条 件列出等式,再用坐标代替这等式,化简 得曲线的方程。

模仿练习1.动点M与距离为2a的两个定点A,B的 连线的斜率之积等于-1/2,求动点M的轨迹方程。
解:如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线

为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0)。
M .

.

.
B

A

设M(x,y)是轨迹上的任意一点,则 y y kMA ? ,k M B ? , (x ? ?a) x?a x?a 1 y y 1 ?kMA ? kMB ? ? , ? ? ?? . 2 x?a x?a 2 化简,得 :x 2 ? 2y2 ? a2 (x ? ?a)

(1)

由上可知,动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程 (1);容易证明,以方程(1)的解为坐标的点都在轨 迹上。所以,方程(1)就是动点M的轨迹方程。

模仿练习
2.到F(2,0)和Y轴的距离相等的动点的
轨迹方程是:__________________ y2=4(x-1) 3.在三角形ABC中,若|BC|=4,BC边上的中线 AD的长为3,求点A的轨迹方程. x2+y2=9(y≠0)

2.相关点法
2 相关点法(代入法,坐标转移法,代换法) : 对于两个动点 P( x0 , y0 ), Q( x, y) ,点 P 在已知曲线 上运动导致点 Q 运动形成轨迹时,只需根据条件 找 到这两 个点的 坐标之 间的等 量关系 并化为 ? x0 ? f ( x, y ) ? ? y0 ? g ( x , y ) 然后将其代入已知曲线的方程即得到点 Q 的轨迹 方程.

规律技巧:在求轨迹方程时经常遇到已知 一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹 方程的问题,而解决这类问题的解法称 为代入法(或相关点法).而此法的关键

是如何来表示出相关的点.

例2、如下图,已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程.
y

M

B

A
o x

解:设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是 ,由 于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点,所 以 x0 ? 4 y0 ? 3

x?

于是有

x0 ? 2x ? 4, y0 ? 2 y ? 3


2

,y?

2



因为点A在圆(x+1)? +y? =4上运动,所以点A的坐标满足 方程(x+1)? +y? =4,

即:(x0 ?1)2 ? ( y0 ?1)2 ? 4
把①代入②中,得(2x-4+1)? +(2y-3)? =4

3 3 所以,点M的轨迹是以( , ) 为圆心,半径长是1的圆。 2 2

3 3 2 整理得: (x ? ) ? ( y ? ) 2 ? 1 2 2

模仿练习 4.点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上 任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求 点M的轨迹方程. 分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标 表示,利用代入法,代入圆的方程即可.
解 :由题意, 设点M的坐标为 ? x, y ? , 点P的坐标为 ? x 0 , y 0 ? , 则 ?2 x ? x0 ? 3, ? x0 ? 2 x ? 3, 2 2 ? 又 x , y 在圆 x ? y ? 1上, ? 0 0? ? ? ? 2 y ? y0 , ? y0 ? 2 y. 3 2 1 2 2 2 ? ? 2x ? 3? ? 4y ? 1,? ( x ? ) ? y ? . 2 4

例3在圆x? +y? =4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段 PD,D为垂足。当点P在圆上运动时,线段PD的中点 M的轨迹是什么?为什么? y

解:设点 M的坐标为( x, y ), 点P的坐标为( x0 , y0 ),
o

P M D x

y0 由D的坐标为( x0 ,0), 则x ? x0 , y ? . 2
因为点P( x0 , y0 )在圆x ? y ? 4上,所以 x0 ? y0 ? 4
2 2 2 2

把x0 ? x, y0 ? 2 y代入方程,得x ? 4 y ? 4,
2 2

x2 2 即 ? y ? 1.所以点M的轨迹是一个圆。 4

相关点 法

2 2 x ? y ? 25 上的动点,点 D 是 P 模仿练习 5 如图,设 P 是圆

4 在 x 轴上投影,M 为 PD 上一点,且 | MD |? 5 | PD | .当 P 在圆上

运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程。

解:设点 M 的坐标是(x,y) , P 的坐标是 ( x p , y p ) , 因为点 D 是 P 在 x 轴上投影, M 为 PD 上一点,且 | MD |?
4 | PD | , 5

5 x ? x y ? 所以 p ,且 p 4 y ,

5 2 2 x ? ( y ) ? 25 , ∵P 在圆 x ? y ? 25 上,∴ 4 x2 y 2 整理得 25 ? 16 ? 1 ,
2 2

即C

x2 y 2 的方程是 25 ? 16 ? 1 .

例4:过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于 A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:解法1:设点M的坐标为(x,y). ∵M为线段AB的中点, ∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).

∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4), ∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.

4?0 4 ? 2y 而k PA ? (x ? 1), k PB ? , 2 ? 2x 2?0 2 2? y ? ? ?1( x ? 1). 1? x 1

整理得x+2y-5=0(x≠1). ∵当x=1时,A?B的坐标分别为(2,0)?(0,4), ∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0. 综上所求,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.

规律技巧:在平面直角坐标系中,遇到垂直问题,常利用斜率之

积等于-1解题,但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论,如
解法1.求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷.

解法2:∵l1⊥l2,OA⊥OB, ∴O,A,P,B四点共圆,且该圆的圆心为M. ∴|MP|=|MO|.

∴点M的轨迹为线段OP的中垂线.
4?0 kOP ? ? 2, OP 的中点坐标为(1,2), 2?0 1 y ? 2 ? ? ( x ? 1), ∴点M的轨迹方程是 2

即x+2y-5=0. 在求曲线方程的过程中,根据题中所给几何特征,利用平面 几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程,这种方法 叫做几何法。

2 2 x ? y ? 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 相交于 例 4.经过原点的直线 l 与圆

两个不同点 A、B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. y 解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) A 2 2 x1 ? x2 ? ? ? x1 ? y1 ? 6 x1 ? 4 y1 ? 9 ? 0 ① x? ? ? 且? 2 2 2 则? M x ? y ? 6 x ? 4 y ? 9 ? 0 ② ? y ? y ? 2 2 2 2 2 ?y ? 1

由①─②得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 )

? ?

2

B

? ?C

l

?6( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 0 y y1 ? y2 ∵ kOM ? k AB 即 ? (易知 x1 ? x2 ) x x1 ? x2 ∴化简得 x2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? 0 y y ∴ 2x ? ? 2 y ? 6 ? 4 ? 0
x x

x

∴所求轨迹方程为 x2 ? y2 ? 3x ? 2 y ? 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程)

点差法

3.参数法(交规法):
当动点P的坐标x,y之间的直接关系 不易建立时,可适当地选取中间变 量t,并用t表示动点的坐标x,y,从 而得到动点轨迹的参数方程 x ? f (t )
P x, y

,消去参数t,便得到动点的轨迹的 普通方程。

? ? ? y ? g (t )

4.定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、 双曲线的定义、抛物线的定义直接写出 所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做 定义法.这种方法要求题设中有定点与 定直线及两定点距离之和或差为定值的 条件,或利用平面几何知识分析得出这 些条件.

求曲线方程的过程中: 1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程 可以使过程变得简洁.(数形结合!) 2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系 是相当困难的 , 这时我们要巧妙地借助与它 相关的点来分析 , 会更容易发现问题中的代 数关系,从而列出方程.(相关点坐标分析法, 代入法)

例2.已知定点A(6,0),曲线C:x2+y2=4上的动点B, 点M满足 AM ? 1 MB ,求点M的轨迹方程.
2

y

B
M

代入法(坐标转移法):

x

O

A(6,0)

特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的

变化而变化 方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0), 然后代入已知曲线方程,即的从动点轨迹方程.

例2、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O: x ? y ? 1.
2 2

动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数

? (? ? 0),

求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?
y

M

N 0 Q

x

(江苏,06)已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面 内的动点,满足 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 。则动点P(x,y)的

轨迹方程为



例3、求抛物线 y ? x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ?1(m ? R) 的顶 点的轨迹方程。


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