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指数函数、对数函数

指数函数、对数函数 1.指数函数的定义: 函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R 数的图象和性质: x 王新敞 奎屯 新疆 指数函 a ?1 0 ? a ?1 y 图 象 y y ?1 y ?1 O x O x ?1? 定义域: R 性 质 ? 2 ? 值域: ? 0, ?? ? ? 3? 过点 ? 0,1? ,即 x ? 0 时, y ? 1 ? 4 ? 在 R 上是增函数 ? 4 ? 在 R 上是减函数 1. y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的定义域为 R ,值域为 ? 0, ?? ? . 2. y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 ) 的单调性: a ? 1 时, y ? a x 在 R 上为增函数; 0 ? a ? 1 时, y ? a x 在 R 上是减函数. 3. y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )的图像特征: a ? 1 时,图象像一撇,过点 ? 0,1? ,且在 y 轴左侧 a 越大,图象越靠近 y 轴(如图1 ); 0 ? a ? 1时,图象像一捺,过点 ? 0,1? ,且在 y 轴左侧 a 越小,图象越靠近 y 轴(如图 2 ); y ? a x 与 y ? a ? x 的图象关于 y 轴对称(如图 3 ). 图1 4、指数函数的图像和性质: (1) 图2 图3 y ? a x 的函数值恒大于零,因为 a ? 0 时,对一切函数 x ,都有 a x ? 0 。 1 (2) y ? a x 的图像经过(0,1) ,因为对一切函数 a ,当 x ? 0 时, y ? 1; 对于函数 y ? a x (a ? 1) 当 x ? 0 时, y ? 1 ;当 x ? 0 时, 0 ? y ? 1 ,对于函数 y ? a x (0 ? a ? 1) ,当 x ? 0 时, 0 ? y ? 1 ;当 x ? 0 时, y ? 1 ; 1 x x y ? ( ) 关于 y 轴对称。 y ? a (3)函数 与函数 a (4)指数函数是非奇非偶函数。 主要方法: 1. 指数方程,指数不等式:常要转化为同底数的形式,在利用指数函数的单调性求解; 2. 确定与指数有关的函数的单调性时,常要注意针对底数进行讨论; 3. 要注意运用数形结合思想解决问题。 例题讲解: 1、定义域问题 例 1、求下列函数的定义域 (1) 1 x ?1 y?2 (2) y? 1 4 x ?5 ?2 2、单调性和比较大小的问题 例 2. ?1? 函数 f ( x) ? a x?b 的图象如图, 其中 a 、 b 为常数,则下列结论正确的是 y ?2 A. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 1 ? O ? 1 x ,则 a 与 b 的关系是 ? 2 ? 设 x ? 0 ,且 a x ? b x ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) A. b ? a ? 1 B. a ? b ? 1 C. 1 ? b ? a D. 1 ? a ? b ? 3? 若函数 y ? 2 ? x?1 ? m 的图象不经过第一象限,则 m 的取值范围是 A. m ? ?2 B. m ? ?2 C. m ? ?1 D. m ? ?1 2 ? 4 ? 、设 f ( x) ? 3x ? 1 , c ? b ? a 且 f (c) ? f (a) ? f (b) ,则下列关系式 一定成立的是 A. 3c ? 3b B. 3b ? 3a C. 3c ? 3a ? 2 D. 3c ? 3a ? 2 x?2 例 3. (上海模拟)已知函数 f ( x) ? a x ? (a ? 1) , x ?1 ?1? 证明函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; ? 2 ? 用反证法证明 f ( x) ? 0 没有负数根. 例 4.要使函数 y ? 1 ? 2 x ? a ? 4 x 在 x ? ?? ?,1?上 y ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 例 5、已知对任意的 x ? R ,不等式 围。 1 2x 2 ?x ?1? ?? ? ?2? 2 x 2 ? mx ? m ? 4 恒成立,求实数 m 的取值范 x x 例 6. ( 04 全国Ⅲ理)解方程: 4 ? 1 ? 2 ? 11 例 7、设 a ? 0 ,已知 f ( x ) ? a (a x ? a ? x ). a ?1 2 (1)求此函数的定义域。 (2)在 y ? f ( x ) 的图像上是否存在两个不同的点,使过这两点的直线与 x 轴平行?证明 你的结论。 (3)求证: f ( n) ? n( n ? N , 且n ? 1). ? 3 3、最值或值域问题 例 8、求下列函数的值域 (1) y ? 2 (2) y ? 4 ? x2 ? x ?x ? 21? x ? 3 3x (3) y ? x 9 ? 3x ?1 ? 2 例 9、 设0 ? x ? 2 , 求函数 f ( x ) ? 4 其中 a ? R 。 x? 1 2 ? 3a ? 2 x ? 5 的最大值 M (a ) 与最小值 m(a ) , 4、由指数函数构成的复合函数的奇偶性问题 例 10、已知 y ? 1 x (a ? a ? x ) ,其中 a ? 1 。 2 (1)用 x 表示函数 z ? y ? y 2 ? 1 并化简。 (2) z 是 x 的奇函数还是偶函数?作出示意图。 4 例 11、讨论函数 f ( x) ? 3ax 2 ? bx ? c 的奇偶性。 5、含参数的指数方程问题 例 12、已知关于 x 的方程 4 x ? m ? 2 x ? m ? 1

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