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安徽省江淮十校联考2015届高三上学期8月月考数学试卷(理科)

安徽省江淮十校联考 2015 届高三上学期 8 月月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={x|﹣3≤2x﹣1≤3},集合 B={x|y=lg(x﹣1)},则 A∩B=() A.(1,2) B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2] 2. (5 分)已知 i 是虚数单位,a∈R,则“a=1”是“(a+i) =2i”的() A.充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

3. (5 分)已知双曲线

(a>0)的离心率为 2,则实数 a=()

A.2

B.

C.

D.1

4. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

5. (5 分)已知直线 l1: (1﹣a)x+ay﹣2=0,l2:ax+(2a+1)y+3=0,若 l1⊥l2,则 a 的值为() A.0 B . ﹣2 C . ﹣2 或 0 D.0 或 2 6. (5 分)设对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 () A.a>0 B. C.a>0 或 a<﹣12 D.
2

7. (5 分)设 a=log36,b=log510,c=log714,则()

A.c>b>a

B.b>c>a

C.a>c>b

D.a>b>c

8. (5 分)已知直线 l:Ax+By+C=0(A,B 不全为 0) ,两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,若 (Ax1+By1+C) ( Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|<|Ax2+By2+C|,则直线 l() A.与直线 P1P2 不相交 B. 与线段 P2P1 的延长线相交 C. 与线段 P1P2 的延长线相交 D.与线段 P1P2 相交 9. (5 分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()

A.108cm

3

B.100cm

3

C.92cm

3

D.84cm

3

10. (5 分)已知 Rt△ ABC 中,∠C=90°.AC=3,BC=4,P 为线段 AB 上的点,且 =x? A.1 +y? ,则 xy 的最大值为() B. 2 C. 3 D.4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. (5 分)若将函数 f(x)=sinx+cosx 的图象向右平移 P 个单位,所得图象关于原点对称, 则 P 的最小正值是. 12. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x) ,且在[0,2]上的解析式为 f(x) = ,则 f( )+f( )=.

13. (5 分)已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,若 a5,a10,a20 三项成等比数列,则此等 比数列的公比为.

14. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

.若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅

在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为.

15. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为棱 DD1 和 AB 上的点, 则下列说法正确的是. (填上所有正确命题的序号) ①A1C⊥平面 B1CF; ②在平面 A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线; ③△ B1EF 在侧面 BCC1B1 上的正投影是面积为定值的三角形; ④当 E,F 为中点时,平面 B1EF 截该正方体所得的截面图形是五边形; ⑤当 E,F 为中点时,平面 B1EF 与棱 AD 交于点 P,则 AP= .

三、解答题:本大题共 6 小题,计 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 把答案填在答题卡的相应位置. 16. (12 分) 如图,点 A,B 是单位圆 O 上的两点,点 C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,将锐 角 α 的终边 OA 按逆时针方向旋转 到 OB.

(1)若 A 的坐标为( , ) ,求点 B 的横坐标; (2)求|BC|的取值范围.

17. (12 分)某校 2015 届高三年级在高校自主招生期间,把学生的平时成绩按“百分制”折算 并排序,选出前 300 名学生,并对这 300 名学生按成绩分组,第一组[75,80) ,第二组[80, 85) ,第三组[85,90) ,第四组[90,95) ,第五组[95,100],如图为频率分布直方图的一部分, 其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列. (Ⅰ)请在图中补全频率分布直方图; (Ⅱ)若 B 大学决定在成绩高的第 4,5 组中用 分层抽样的方法抽取 6 名学生,并且分成 2 组,每组 3 人 进行面试,求 95 分(包括 95 分)以上的同学被分在同一个小组的概率.

18. (12 分)如图,E 是以 AB 为直径的半圆上异于点 A、B 的点,矩形 ABCD 所在的平面垂 直于该半圆所在平面,且 AB=2AD=2. (Ⅰ)求证:EA⊥EC; (Ⅱ)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F, ①求证:EF∥AB; ②若 EF=1,求多面体 ABCDEF 的体积 V.

19. (12 分)已知数列{an}满足:a1=2,a2=3,2an+1=3an﹣an﹣1(n≥2) , (Ⅰ)求证:数列{an+1﹣an}为等比数列; (Ⅱ)求使不等式 成立的所有正整数 m、n 的值.

20. (13 分)已知圆 O:x +y =1 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,M 是圆 O 上任意 一点,直线 AM 与 BC 交于点 P,CM 交 x 轴于点 N,设直线 PM,PN 的斜率分别为 m,n. (1)试求点 M,N 坐标; (2)求证:m﹣2n 为定值.

2

2

21. (14 分)设关于 x 的方程 x ﹣mx﹣1=0 有两个实根 α,β(α<β) ,函数 f(x)= (Ⅰ)求证:不论 m 取何值,总有 αf(α)=1; (Ⅱ)判断 f(x)在区间(α,β)的单调性,并加以证明; (Ⅲ)若 λ,μ 均为正实数,证明:

2





安徽省江淮十校联考 2015 届高三上学期 8 月月考数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={x|﹣3≤2x﹣1≤3},集合 B={x|y=lg(x﹣1)},则 A∩B=() A.(1,2) B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2] 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集确定出 A 与 B,找出 A 与 B 的交集即可. 解答: 解:由 A 中的不等式解得:﹣1≤x≤2,即 A=[﹣1,2]; 由 B 中的函数 y=lg(x﹣1) ,得到 x﹣1>0,即 x>1, ∴B=(1,+∞) , 则 A∩B=(1,2]. 故选 D 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知 i 是虚数单位,a∈R,则“a=1”是“(a+i) =2i”的() A.充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 由(a+i) =2i 化为 a ﹣1+(2a﹣2)i=0,可得
2 2 2

,解得 a=1.即可判断出.

解答: 解:由(a+i) =2i 化为 a ﹣1+(2a﹣2)i=0,∴
2

2

2

,解得 a=1.

∴“a=1”是“(a+i) =2i”的充要条件. 故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则、复数相等、充要条件的判定方法,属于基础题.

3. (5 分)已知双曲线

(a>0)的离心率为 2,则实数 a=()

A.2

B.

C.

D.1

考点: 专题: 分析: 解答: e= =

双曲线的简单性质. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 由双曲线方程找出 a,b,c,代入离心率,从而求出 a. 解:由题意, =2,

解得,a=1. 故选 D. 点评: 本题考查了双曲线的定义,属于基础题. 4. (5 分)阅读程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 通过程序框图的要求,写出前四次循环的结果得到输出的值. 解答: 解:该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1,a=2; 经第二次循环得到 i=2,a=5; 经第三次循环得到 i=3,a=16; 经第四次循环得到 i=4,a=65 满足判断框的条件,执行是,输出 4 故选 B 点评: 本题考查解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环结果,找规律. 5. (5 分)已知直线 l1: (1﹣a)x+ay﹣2=0,l2:ax+(2a+1)y+3=0,若 l1⊥l2,则 a 的值为() A.0 B . ﹣2 C . ﹣2 或 0 D.0 或 2

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的垂直关系可得 a 的方程,解方程可得. 解答: 解:∵直线 l1: (1﹣a)x+ay﹣2=0,l2:ax+(2a+1)y+3=0,且 l1⊥l2, ∴(1﹣a)a+a(2a+1)=0,即 a(a+2)=0, 解得 a=0 或 a=﹣2 故选:C 点评: 本题考查直线的一般式方程和垂直关系,属基础题. 6. (5 分)设对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 () A.a>0 B. C.a>0 或 a<﹣12 D.
2

考点: 函数恒成立问题;二次函数的性质. 分析: 法一:y=x +ax﹣3a 的对称轴是 x= 与 a≤﹣2 相矛盾. ②当 故
2

.①当﹣ ≥1 时,x=﹣1 时有最大值 a> ,

时, x=﹣1 或 x=1 时, 有最大值. x=﹣1 有最大值 a> , ,故 .③当 ≤﹣1,即 a≥2 时,

;当 x=1 有最大值 1﹣2a<0,a

x=1 时有最大值 1﹣2a<0,a
2

,a≥2.由此能求出实数 a 的范围.
2

法二:设 f(x)=x +ax﹣3a,由对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立,知 ,由此能求出实数 a 的范围.
2

解答: 解法一:y=x +ax﹣3a 的对称轴是 x=



①当﹣ ≥1,即 a≤﹣2 时,x=﹣1 离对称轴最远,而函数开口向上,所以有最大值, 其最大值是 a> ,与 a≤﹣2 相矛盾. ∴a∈?; ②当 ,即﹣2<a<2 时,

x=﹣1 或 x=1 时,有最大值. 由①知,x=﹣1 有最大值时,其最大值是 a> ,故 当 x=1 有最大值时,其最大值是 1﹣2a<0,即 a ∴ ; ,故 ; .

③当

≤﹣1,即 a≥2 时,

x=1 时有最大值, 其最大值是 1﹣2a<0,a ∴a≥2. 综上所述,a> . 故选 B. 2 解法二:设 f(x)=x +ax﹣3a, 2 ∵对任意实数 x∈[﹣1,1],不等式 x +ax﹣3a<0 恒成立, ∴ , ,







,故



故选 B. 点评: 本题考查函数的恒成立问题,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化 思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是 2015 届高考的重 点.解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讲座思想的合理运用. 7. (5 分)设 a=log36,b=log510,c=log714,则() A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b

D.a>b>c

考点: 对数值大小的比较;不等关系与不等式. 专题: 计算题. 分析: 利用 loga(xy)=logax+logay(x、y>0) ,化简 a,b,c 然后比较 log32,log52,log72 大小即可. 解答: 解:因为 a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72, 因为 y=log2x 是增函数,所以 log27>log25>log23, ∵ , ,

所以 log32>log52>log72, 所以 a>b>c, 故选 D. 点评: 本题主要考查不等式与不等关系,对数函数的单调性的应用,不等式的基本性质的 应用,属于基础题.

8. (5 分)已知直线 l:Ax+By+C=0(A,B 不全为 0) ,两点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,若 (Ax1+By1+C) ( Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|<|Ax2+By2+C|,则直线 l() A.与直线 P1P2 不相交 B. 与线段 P2P1 的延长线相交 C. 与线段 P1P2 的延长线相交 D.与线段 P1P2 相交 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 利用题中条件: (1) (Ax1+By1+C) (Ax1+By1+C)>0 的含义:点在直线的同侧; (2) |Ax1+By1+C|<|Ax2+By2+C|的含义:点到直线的距离的大小关系.即可得出答案. 解答: 解: :∵(Ax1+By1+C) (Ax2+By2+C)>0,表示两点在直线的同一旁, 又∵|Ax1+By1+C|<|Ax1+By1+C|表示 P1 到直线的距离小于 P2 到直线的距离, 所以 P1P2 直线不会与直线平行(否则距离相等) , 并且 P1 到直线的距离小,所以在线段 P2P1 方向的延长线上会与直线相交, 故选 B. 点评: 本题就是考查线性规划问题、点到直线的距离公式、二元一次不等式(组)与平面 区域等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于基础题. 9. (5 分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()

A.108cm

3

B.100cm

3

C.92cm

3

D.84cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 由三视图可知:该几何体是一个棱长分别为 6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为 4, 4,3 的一个三棱锥(长方体的一个角) .据此即可得出体积. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个棱长分别为 6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别 为 4,4,3 的一个三棱锥(长方体的一个角) . ∴该几何体的体积 V=6×6×3﹣ 故选 B. =100.

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 10. (5 分)已知 Rt△ ABC 中,∠C=90°.AC=3,BC=4,P 为线段 AB 上的点,且 =x? A.1 +y? ,则 xy 的最大值为() B. 2 C. 3 D.4

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 想着用一个变量来表示 x,y, 存在 λ 使 ,所以 , 和 共线,根据共线向量基本定理 ,所以便得到:

, 从而解出 x, y 带入 xy 即可得到关于 λ 的函数, 求这个函数的最大值即可. 解答: 解: = (0≤λ≤1) ;





∴xy=12(1﹣λ)λ= 当 λ= 时取“=“;

≤3

∴xy 的最大值是 3. 故选 C. 点评: 找到一个变量来表示 x,y 是求解本题的关键,本题考查向量的加法运算,共线向量 基本定理,共面向量基本定理,二次函数的最值. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.

11. (5 分)若将函数 f(x)=sinx+cosx 的图象向右平移 P 个单位,所得图象关于原点对称, 则 P 的最小正值是 .

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 根据辅助角公式,化简函数得 y= 为 y= sin (x+ sin(x+ ) ,从而得出平移后的图象对应的函数

﹣P) . 由平移后的图象关于原点对称, 根据正弦函数的图象与性质得到∴

﹣P=kπ(k∈Z) ,再取 k=0 得到 P 的最小正值. 解答: 解:y=sinx+cosx= (sinxcos +cosxsin )= sin(x+ ) . ]= sin(x+ ﹣P)的

将函数的图象向右平移 P 个单位长度后,得到 y= 图象. ∵平移后得到的图象关于坐标原点对称, ∴ ﹣P=kπ(k∈Z) ,可得 P= ﹣kπ(k∈Z) , .

sin[(x﹣P)+

取 k=0,得到 P 的最小正值为 故答案为: .

点评: 本题给出三角函数表达式,已知函数图象右移 P 个单位个图象关于原点对称,求平 移的最小长度. 着重考查了三角恒等变换公式、 正弦函数的图象与性质和函数图象平移公式等 知识,属于中档题. 12. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x) ,且在[0,2]上的解析式为 f(x) = ,则 f( )+f( )= .

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和周期性,以及分段函数的表达式代入即可得到结论. 解答: 解:由 f(x+4)=f(x) ,得函数的周期是 4,则 f( ∵f(x)是奇函数,∴,f(﹣ )=﹣f( )=﹣ × =﹣ f( 则 f( )=f(8﹣ )=f(﹣ )=﹣f( )=﹣sin )+f( )= ﹣ = , =sin , , )=f(8﹣ )=f(﹣ ) ,

故答案为:



点评: 本题主要考查函数值的计算,根据函数的奇偶性和周期性以及分段函数的表达式进 行转化是解决本题的关键. 13. (5 分)已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,若 a5,a10,a20 三项成等比数列,则此等 比数列的公比为 2. 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的通项公式,用 a1 和 d 分别表示出等差数列的第 5、10、20 项,利用 等比中项的性质建立等式求得 a1 和 d 的关系,再由 q= 解答: 解:设数列{an}是公差为 d,且 d≠0, 因为 a5,a10,a20 三项成等比数列, 2 所以(a1+9d) =(a1+4d) (a1+19d) , 2 整理得 5a1d=5d ,解得 d=a1, 则公比 q= = =2, 化简求值.

故答案为:2. 点评: 本题主要考查了等比数列的性质和等差数列的通项公式,属于基础题.

14. (5 分)已知变量 x,y 满足约束条件

.若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅

在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为 a



考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题;数形结合.

分析: 本题考查的知识点是线性规划, 处理的思路为: 根据已知的约束条件



画出满足约束条件的可行域,再用图象判断,求出目标函数的最大值. 解答: 解:画出可行域如图所示, 其中 B(3,0) ,C(1,1) ,D(0,1) , 若目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0)取得最大值, 由图知,﹣a<﹣

解得 a> 故答案为 a>

点评: 用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是 关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束 条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到 目标函数的最优解. 15. (5 分)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为棱 DD1 和 AB 上的点, 则下列说法正确的是②③④⑤. (填上所有正确命题的序号) ①A1C⊥平面 B1CF; ②在平面 A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线; ③△ B1EF 在侧面 BCC1B1 上的正投影是面积为定值的三角形; ④当 E,F 为中点时,平面 B1EF 截该正方体所得的截面图形是五边形; ⑤当 E,F 为中点时,平面 B1EF 与棱 AD 交于点 P,则 AP= .

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由正方体的结构特征,对所给的几个命题用线面,面面之间的位置关系直接判断正 误即可得到答案. 解答: 解:对于①,A1C⊥平面 B1EF,不一定成立, 因为 A1C⊥平面 AC1D,而两个平面面 B1EF 与面 AC1D 不一定平行.故①错误; 对于②,在平面 A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线, 此两平面相交,一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面, 故②正确; 对于③,△ B1EF 在侧面 BCC1B1 上 的正投影是面积为定值的三角形,

此是一个正确的结论,因为其投影三角形的一边是棱 BB1, 而 E 点在面上的投影到此棱 BB1 的距离是定值,故③正确; 对于④当 E,F 为中点时, 平面 B1EF 截该正方体所得的截面图形是五边形 B1QEPF,故④正确; 对于⑤由面面平行的性质定理可得 EQ∥B1F, 故 D1Q= ,B1Q∥PF,故 AP= ,故⑤正确. 故正确的命题有:②③④⑤. 故答案为:②③④⑤.

点评: 本题考点是棱柱的结构特征,考查对正方体的几何特征的了解,以及线面垂直,线 面平行等位置关系的判定,涉及到的知识点较多,综合性强. 三、解答题:本大题共 6 小题,计 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 把答案填在答题卡的相应位置. 16. (12 分) 如图,点 A,B 是单位圆 O 上的两点,点 C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,将锐 角 α 的终边 OA 按逆时针方向旋转 到 OB.

(1)若 A 的坐标为( , ) ,求点 B 的横坐标; (2)求|BC|的取值范围.

考点: 任意角的三角函数的定义;三角函数线. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用三角函数的定义可得 cosα= ,sinα= ,∠COB=α+ 可求得 cos(α+
2

,利用两角和的余弦

)=

,从而可得点 B 的横坐标; )的取值范围,再开方即可求得|BC|的取值范围.

(2)先求|BC| =2﹣2cos(α+

解答: 解: (1)由于 A 的坐标为( , ) ,由三角函数的定义知,cosα= ,sinα= …2 分 又∠COB=α+ ∴cos(α+ , )=cosαcos ﹣sinαsin …6 分 )…9 分 < , = …5 分

∴点 B 的横坐标为 (2)|BC| =2﹣2cos(α+ ∵0<α< ∴cos(α+
2 2

,故

<α+

)∈(﹣ ) ,

,﹣ ) ,

∴|BC| ∈(1,2+ ∴|BC|∈(1,

)…12 分

点评: 本题考查任意角的三角函数的定义,突出考查两角和的余弦与余弦函数的性质,属 于中档题. 17. (12 分)某校 2015 届高三年级在高校自主招生期间,把学生的平时成绩按“百分制”折算 并排序,选出前 300 名学生,并对这 300 名学生按成绩分组,第一组[75,80) ,第二组[80, 85) ,第三组[85,90) ,第四组[90,95) ,第五组[95,100],如图为频率分布直方图的一部分, 其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列. (Ⅰ)请在图中补全频率分布直方图; (Ⅱ)若 B 大学决定在成绩高的第 4,5 组中用 分层抽样的方法抽取 6 名学生,并且分成 2 组,每组 3 人 进行面试,求 95 分(包括 95 分)以上的同学被分在同一个小组的概率.

考点: 频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列;概率与统计. 分析: (Ⅰ)由频率分布直方图求出第五组的数据,再根据题意求出第一组、第四组、第 二组、第三组的数据来,由此绘制频率分布直方图; (Ⅱ)根据分层抽样求出从第四、五组中抽取人数,组成样本,用列举法列出这六人分成两 组的基本事件数,求出第五组中的 2 人被分在一组的概率即可. (另解:用排列与组合的方法求出两人被分在一组的概率也可) . 解答: 解: (Ⅰ)由频率分布直方图知, 第五组为:0.02×5×300=30 人, 第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以 30 为首项,总和为 300 的等 差数列, ∴第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是 30 人,45 人,60 人,75 人,90 人. ∴绘制的频率分布直方图如右图所示;…(6 分) (Ⅱ)第四组中抽取人数: 第五组中抽取人数: 人, 人,

∴两组共 6 人; 设第四组抽取的四人为 A1,A2,A3,A4,第五组抽取的 2 人为 B1,B2, 这六人分成两组有两种情况, 情况一:B1,B2 在同一小组: (A1,A2,A3) , (A4,B1,B2) ; (A1,A2,A4) , (A3,B1,B2) ; (A1,A3,A4) , (A2,B1,B2) ; (A2,A3,A4) , (A1,B1,B2) ,共有 4 种可能结果; 情况二:B1,B2 不在同一小组: (B1,A1,A2) , (B2,A3,A4) ; (B1,A1,A3) , (B2,A2, A4) ; (B1,A1,A4) , (B2,A2,A3) ; (B1,A2,A3) , (B2,A1,A4) ; (B1,A2,A4) , (B2,A1,A3) ; (B1,A3,A4) , (B2,A1,A2) ,共有 6 种可能结果; 两种情况总共 10 种可能结果, ∴两人被分在一组的概率为 .…(12 分)

(另解:两人被分在一组的概率为

) . (此法亦可相应给分)

点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了等差数列的应用问题,古典概型 的概率的计算问题,是综合题. 18. (12 分)如图,E 是以 AB 为直径的半圆上异于点 A、B 的点,矩形 ABCD 所在的平面垂 直于该半圆所在平面,且 AB=2AD=2. (Ⅰ)求证:EA⊥EC; (Ⅱ)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F, ①求证:EF∥AB; ②若 EF=1,求多面体 ABCDEF 的体积 V.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 利用面面垂直的性质, 可得 BC⊥平面 ABE, 再利用线面垂直的判定证明 AE⊥ 面 BCE,即可证得结论; (Ⅱ)①先证明 AB∥面 CED,再利用线面平行的性质,即可证得结论; ②分别取 AB、EF 的中点为 O、M,连接 OM,利用 V=VD﹣AEF+VE﹣ABCD,可得结论. 解答: (Ⅰ)证明:∵E 是半圆上异于 A、B 的点,∴AE⊥EB, 又∵矩形平面 ABCD⊥平面 ABE,且 CB⊥AB, 由面面垂直性质定理得:CB⊥平面 ABE,∴平面 CBE⊥平面 ABE, 且二面交线为 EB,由面面垂直性质定理得:AE⊥平面 CBE, 又 EC 在平面 CBE 内,故得:EA⊥EC…(4 分) (Ⅱ①证明:由 CD∥AB,得 CD∥平面 ABE, 又∵平面 CDE∩平面 ABE 于直线 EF,

∴根据线面平行的性质定理得:CD∥EF,CD∥AB,故 EF∥AB

…(7 分) ,

②解:分别取 AB、EF 的中点为 O、M,连接 OM,则在直角三角形 OME 中,OM= ∵矩形 ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在平面,OM⊥AB, ∴OM⊥平面 ABCD,即 OM 为 M 到面 ABCD 之距, 又∵EF∥AB,∴E 到到面 ABCD 之距也为 OM= ∴V=VD﹣AEF+VE﹣ABCD= + ,…(9 分) =

…(12 分)

点评: 本题考查面面垂直的性质,线面垂直的判定与性质,考查线面垂直,考查体积的计 算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 19. (12 分)已知数列{an}满足:a1=2,a2=3,2an+1=3an﹣an﹣1(n≥2) , (Ⅰ)求证:数列{an+1﹣an}为等比数列; (Ⅱ)求使不等式 成立的所有正整数 m、n 的值.

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 2an+1=3an﹣an﹣1(n≥2) ,得 2(an+1﹣an)=an﹣an﹣1(n≥2) ,由此能证明{an+1 ﹣an}是等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知: ,从而得 ,由此能求出使不

等式

成立的所有正整数 m、n 的值.

解答: 解: (Ⅰ)由 2an+1=3an﹣an﹣1(n≥2) , 得 2(an+1﹣an)=an﹣an﹣1(n≥2) , ∴{an+1﹣an}是以 a2﹣a1=1 为首项,以 为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 累加得 , ,



,即:



由题意知 m≥4 时无解, 则 .

点评: 本题考查等比数列的证明,考查不等式的解法,是中档题,解题时要注意递推公式 的合理运用. 20. (13 分)已知圆 O:x +y =1 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,M 是圆 O 上任意 一点,直线 AM 与 BC 交于点 P,CM 交 x 轴于点 N,设直线 PM,PN 的斜率分别为 m,n. (1)试求点 M,N 坐标; (2)求证:m﹣2n 为定值. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: (1)设 M(s,t) ,P(x,y) ,由直线 AM:y=m(x+1) ,BC:x+y=1,联立两方程 得,P( , ) .再由 s +t =1,①m=
2 2 2 2

②求出 M 的坐标,再由 C,M,N 共线,得

到 N 的坐标; (2)由于直线 PN 的斜率为 n,且 P( , ) .N( ,0) .运用直线的斜率公式,

化简整理即可得到 m﹣2n 为定值 1. 解答: (1)解:A(﹣1,0) ,B(1,0) ,C(0,1) ,设 M(s,t) ,P(x,y) , 2 2 则 s +t =1,① 直线 AM:y=m(x+1) ,BC:x+y=1,联立两方程得, x= 又 m= ,y= ② ,即 P( , ) .

由①②解得,s=

,t=



设 N(v,0) ,则由 C,M,N 共线,得 ,则 v= = ,

故点 M(



) ,N(

,0) .

(2)证明:由于直线 PN 的斜率为 n,且 P(



) .N(

,0) .

则 n=

=



故 m﹣2n=1.即 m﹣2n 为定值 1.

点评: 本题考查直线方程和圆的方程及运用,考查直线的斜率的公式,化简整理的能力, 属于中档题.

21. (14 分)设关于 x 的方程 x ﹣mx﹣1=0 有两个实根 α,β(α<β) ,函数 f(x)= (Ⅰ)求证:不论 m 取何值,总有 αf(α)=1; (Ⅱ)判断 f(x)在区间(α,β)的单调性,并加以证明; (Ⅲ)若 λ,μ 均为正实数,证明:

2





考点: 不等式的证明;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ) 由 α, β 是方程 x ﹣mx﹣1=0 的两个实根, 根据韦达定理, 结合 f (x) = 化简,即可得出 αf(α)=1; (Ⅱ)利用 f'(x)>0,可得结论; (Ⅲ)证明 可知, , ,αβ=﹣1,即可证明结论.
2 2



,由(Ⅰ)

解答: 证明: (Ⅰ)∵α,β 是方程 x ﹣mx﹣1=0 的两个根,∴α+β=m,αβ=﹣1, ∴ ∴αf(α)=1…(4 分) (Ⅱ)∵ , ,

当 x∈(α,β)时,f'(x)>0,∴f(x)在(α,β)上单调递增;…(8 分) (Ⅲ)∵ ∴由(Ⅱ)可知: , ,同理可证: ,

∴ 由(Ⅰ)可知, ∴ ∴ , ,αβ=﹣1, ,

,…(12 分)

.…(14 分)

点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,函数的单调性的判断与证明,一元二 次方程根与系数的关系(韦达定理) ,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)是 解答的关键.


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