当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

一道平面几何题的深入探究


一道平面几何题的深入探究
浙江师范大学数理与信息工程学院 数学与应用数学 董佳升 姜佳姮 吴晴飘 祝佳琪 143 班

摘要 一道平面几何题往往可以从不同的知识层面去考查我们运用所学知识分析并解决问题
的能力,如“证明三角形的三条中线共点”,便是这样一道具有多解性的好题.本文用 几何法,向量法,坐标法,综合法这 4 种不同的方法,以归纳总结的方式,对此题的多 解性展开讨论.

关键词

平面几何;多解;向量法;几何法;坐标法;综合法

1.引言 本文参考了《解析几何教材》和《平面解析几何方法证明方法》全书,归纳总结,
以供我们以后对一道几何题从不同方面进行思考。一题多解可以锻炼我们思维的全 面性,严谨性,逻辑性,从而使加深我们对几何问题的认识,初步了解几何思想, 为我们之后的几何学习奠定基础。

2.一道平面几何题目的证明
[证明] 三角形的三条中线共点
解决一道平面几何题的方法归纳:证明一个平面几何问题一般有以下几种方法:坐标法,反证法,面 积法,代数法,参量法,三角法,割补法,几何变换法,射影法,消点法,分析法等,但是以我们目前的 学习情况我们常用的大致有这些方法:反证法,面积法,代数法,参量法,分析法。

以下以证明三角形的中线交于一点为例, 从多种解题思路和目的出发, 探究了不同的证明方法.

2.1 解题思路 1:D,E 分别为 BC,AC 的中点,连接 AD,BE,
使之交于点 O,延长 CO 交 AB 于点 F, 求证:F 为 AB 中点.

解法 1.(几何法)利用中位线定理

在△ABC 中,D,E,F 分别为 BC,CA,AB 的中点, 连接 AD,BE 交于点 O, 连接 CO 并延长交 AB 于点 H, 延长 OD 于点 G,并使 OD=DG. ∵BD=CD,OD=DG ∴四边形 BOCG 是平行四边形. ∴BO∥CG, ∴OE∥CG. ∵AE=EC ∴AO=OG. 又∵OC∥BG ∴OH∥BG, 又∵AO=OG ∴AH=BH F 为 AB 中点 ∴H 与 F 重合 ∴AD、BE、CF 交于一点 即三角形的三条中线共点.

解法 2.(几何法)利用相似三角形

△ABC 的两条中线 AD,CF 交于点 O, 连接 BO 并延长交 AC 于点 E. 过点 O 作 MN∥BC,交 AB 于点 M,交 AC 于点 N; 过点 O 作 PQ∥AB,交 BC 于点 P,交 AC 于点 Q. ∵MN∥BC, ∴△AMO∽△ABD,△AND∽△ACD, ∴ MO = AO = NO
BD

AD

CD

∵AD 是△ABC 的一条中线 ∴BD=CD,MO=NO. 同理:OP=OQ. ∴△MOP∽△NOQ,∠ MPO=∠ NQO, ∴MP∥NQ 且 MP=NQ, ∴△BMR∽△BAE,△BPR∽△BOC, ∴

MR BR PR BR = , , = AE BE CE BE

易证 BMOP 是平行四边形 ∴MR=PR ∴AE=CE,即 E 为 AC 中点, ∴三角形的三条中线共点.

解法 3.(几何法)利用面积法

在△ABC 中,D,E,F 分别为 BC,CA,AB 的中点, 连接 AD,CF 交于点 O, 连接 BO 并延长交 AC 于点 E. ∵D 是 BC 中点, ∴S △ ABD =S △ ACD ,S △ OBD =S △OCD , ∴S △ ABD -S △ OBD =S △ ACD -S △OCD ,即 S △ AOB =S △ AOC . ∵F 是 AB 中点, ∴S △ CAF =S △ CBF ,S △ OAF =S △ OBF , ∴S △ CAF -S △ OAF =S △ CBF -S △ OBF ,即 S △ AOC =S △ BOC . ∴S △ BOC =S △ AOB . ∵

S△ AOE OE S△COE OE = , ,S △ AOB =S △ BOC , = S△ AOB OB S△COB OB

∴S △ AOE =S △ COE ∴AE=CE,E 为 AC 中点, ∴三角形的三条中线共点.

解法 4.(几何法)综合法

在△ABC 中,D、E 为 AC、AB 中点, 连结 BD、CE,交于点 O,连接 AO 并延长,交 BC 于点 M, 过 O、A 作 BC 的垂线,垂足分别为 P,Q, 连接 ED、DM. ∵D、E 分别为 AC、AB 中点, ∴DE∥BC,且 DE= ∴△EDO∽△CBO ∴

1 BC, 2

BC BO CO 2 = = = , ED OD OE 1

1 ? S△BCD = S△ ABC ,且 BO:BD=2:3 2
∴ S△ BOC

2 1 = S△ BCD = S△ ABC 3 3

∵△BOC 与△ABC 同底 ∴ OQ =

1 AP 3

∴OM:AM=1:3,AO:OM=2:1=BO:OD
∴△ODM∽△OBA

∴DM∥AB
∵D 为 AC 中点 ∴M 也为 BC 中点 ∴AM 为 BC 中线, ∴△ABC 的三条中线交于一点 O.

解法 5.坐标法 以 B 为坐标原点,BC 方向为 x 轴正方向,建立平面直角坐标系.D,E,H 分别为 BC,AC,AB 的中点. 令 A(m,n),C(c,0),

则 H(

m n c m+c n , ),E( , ),D( ,0) 2 2 2 2 2

直线 BE 的方程: y =

n x m+c
n ( x - c) m - 2c

直线 CH 的方程: y = BE、CH 交于一点 O ∴

n n ( x - c) x= m - 2c m+c
x= m+c 3

解得

∴点 O 的坐标为(

m+c n , ) 3 3

连接 AQ 并延长交 BC 于点 F 直线 AF 的方程: y = 把 y=0 代入 AF
2n (x - m) +n , 2m - c

c x= ,y=0 2 c F( , 0) 2
∴点 H 与点 F 重合. ∴三角形的三条中线共点.

解法 6:向量法 在△ABC 中,令 BA = e1 , BC = e2 设

BF = λe1 ,
μ BO = μ BE = (e1 + e2) 2



AO = AB + BO = (

μ μ - 1)e1 + e2 2 2

又∵ ∴

AO = η AD = η (-2e1 +e2 )
μ -2 = -2 μ

即μ =

2 3
1 3 1 3 1 1 2 1 BA+ BC = BF + BC 3 3 3 3

∴ BO = e1 + e2 = 即λ=

1 2

∴F 是 AB 中点 ∴三角形的三条中线共点.

2.2 解题思路 2:已知 D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点 连接 AD,BE,CF,使之交于点 O 求证:点 O 在线段 CF 上

解法 1:向量法 在△ABC 中,令 BA = e1 , BC = e2

1 FC = - e1 + e2 2


μ BO = μ BE = (e1 + e2) 2
λ AO = λ AD = -λ e1 + e2 2

又∵ AO = ∴

AB + BO = (


μ μ - 1)e1 + e2 2 2

μ - 1 = -λ 2
即λ=μ =

λ μ = 2 2

2 3

∴ OC = OB + BC = - e1 + e2 = ∴O 在 FC 上 ∴三角形的三条中线共点.

1 3

2 3

2 FC 3

解法 2.向量法

在△ABC 中,D,E,F 分别为 BC,CA,AB 的中点, 连接 AD,BE 交于点 O.

BA = e1 , BC = e2
1 AD = AB+ BD = e2 - e1 , 2

1 BE = (e1 + e2 ) , 2
令 BO = λ BE ,

λ λ AO = AB + BO = ( - 1)e1 + e 2 , 2 2
∵ AO 、 AD 共线,
1 2 ∴ 2 = -1 , λ = , λ λ 3 -1 2 2

∴ CO = CB + BO =

λ λ 1 2 e1 + ( - 1) e2 = e1 - e2 , 2 2 3 3

1 2 CF = CB + BF = e1 - e2 = CD , 2 3
∴ CF 与 CO 共线,O 在 CF 上,

∴AD、BE、CF 交于一点,即三角形的三条中线共点.

解法 3.坐标法 以 B 为坐标原点,BC 方向为 x 轴正方向,建立平面直角坐标系.D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点. 令 A(m,n),C(c,0),F(

E(

c m+c n , ),D( ,0) 2 2 2

m n , ), 2 2

直线 BE 的方程: y =

n x m+c
n ( x - c) m - 2c

直线 CF 的方程: y = BE、CF 交于一点 O ∴

n n ( x - c) x= m - 2c m+c
x= m+c 3

解得

∴点 O 的坐标为(

m+c n , ) 3 3
2n c (x - ) , 2m - c 2

直线 AD 的方程: y =

把 x=

m+c 3

代入 AD

y=

2n m + c c 2n 2m+ 2c 3c n ( - )= ( - ) = 2m - c 3 2 2m - c 6 6 3

∴点 O 在直线 AD 上. ∴三角形的三条中线共点.

解法 4:几何法 在△ABC 中 D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点 连接 AD,BE,交于点 O, ∵DE 为△ABC 的中位线 ∴ DE ∥ AB 且 DE = ∴△ABD∽△DEO 且

1 AB 2

AO BO AB 2 = = = DO EO DE 1 1 BE 3

∴ OE =

连接 EF,与 CF 交于点 P 同理可得

1 PE = BE 3

∴点 O 与点 P 重合 即点 O 在 CF 上 ∴三角形的三条中线共点.

2.3 解题思路 3:已知 D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点, AD,BE,CF 两两分别相交于点 O,P,Q, 求证:点 O,P,Q 三点重合

解法 1:几何法 在△ABC 中,D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点, BE 与 CF 交于点 O, AD 与 CF 交于点 P.令

S△OAF = a , S△OBF = b , S△PBD = c , S△PCD = d , S△QCE = e ,

S△QAE = f , S△AOQ = g , S△OBP = h , S△PQC = i , S△OPQ = j ,
∵D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点 ∴a=b,c=d,e=f c+d+h=e+f+g+i+j a+b+g=c+d+h+i+j e+f+g=a+b+g+h+j
①+② ②+③ ①+③

??① ??② ??③

a+b=e+f+i+i+j+j e+f=c+d+h+h+j+j c+d=a+b+g+g+j+j a=e+i+j e=c+h+j c=a+g+j ??④ ??⑤ ??⑥

④+⑤+⑥

0=g+h+i+j+j+j

∴g=h=i=j=0 ∴O、P、Q 三点重合.
∴三角形的三条中线共点.

解法 2:坐标法 以 B 为坐标原点,BC 方向为 x 轴正方向,建立平面直角坐标系. D,E,F 分别为 BC,AC,AB 的中点.连接 AD,BE,CF。 令 A(m,n),C(c,0),

则 F(

m n c m+c n , ),E( , ),D( ,0) 2 2 2 2 2

直线 BE 的方程: y =

n x m+c
n ( x - c) m - 2c

直线 CF 的方程: y =

y=
直线 AD 的方程: BE、CF 交于一点 P ∴

c (x - ) c 2 m2

n

n n ( x - c) x= m - 2c m+c
x= m+c 3

解得

同理 BE,AD 交于 O AD,CF 交于 Q

得出 O(

m+c n m+c n , ),Q( , ) 3 3 3 3

故 P,Q,O 三点重合 ∴三角形的三条中线共点.

解法 3.向量法
在△ABC 中,令 BA = e1 , BC = e2 如图(1) 设 AB 边上的中线为 CD,取 O 使得 CO:OD=2:1 如图(2) BO = BC + CO = e 2 + ( e1 - e2 ) = (e1 + e2 ) 设 BC 边上的中线为 AE,取 P 使得 AP:PE=2:1

2 1 3 2

1 3

(1)

1 1 1 BP = BA+ ( BA - BC) = (e1 + e2 ) 2 2 3
如图(3) 设 AC 边上的中线为 BF,取 Q 使得 BQ:QF=2:1 (2)

2 2 1 1 BQ = BF = [BC + ( BA - BC)] = (e1 + e2 ) 3 3 2 3
∴O、P、Q 三点重合. ∴三角形的三条中线共点. (3)

3.结论
几何法是我们同学最早接触也是最为熟悉的, 而向量法与坐标法也都是解析几何重要的 思想方法和主要的研究工具。 坐标法的特点是比较具体直接,而向量法体现了抽象与具体的完 美结合。 用坐标法解决问题时,关键在于建立适当的坐标系,建立坐标系的原则是使图形中尽可 能多的顶点在坐标轴上,一般而言,我们都采用直角系。 用向量法解决问题时, 前提是会将几何命题与向量间的关系互译,关键在于选择适当的 基向量,借助向量的运算,并用基向量表示其它向量。 在具体问题中, 选用向量法还是坐标法应具体问题具体分析,多角度思考问题有利于培 养学生思维的灵活性、深刻性,提高学生的数学能力。 对解析几何的研究不应该是题海战术,而应该精选题目,多角度、多层次的探究。对一 道题目的深入探究往往要比对许多题目的浅尝辄止能学到得更多。 一题多解的探究能使自己学 会从不同角度分析问题、研究问题,领悟数学思想的精妙之处,最大限度地提高自身的思维水 平,激发对数学探索的激情。本文通过探究三角形三条中线的交于一点的证法,初步知道平面 几何问题的探究方法,有利于以后对于几何问题的深入思考。

【参考文献】

[1]吕林根,许子道,解析几何[M],高等教育出版社,2006 [2]沈文选,平面几何证明方法全书[M],哈尔滨工业大学出版社,2005 [3]郑平,对向量法与坐标法的一些认识[J],中国科技信息,2009,

???


相关文章:
一道平面几何题的深入探究.doc
一道平面几何题的深入探究 - 从一道平面集合题,笔者给出了多种不同角度不同的解法
一道平面几何题的探索过程_图文.pdf
一道平面几何题的探索过程_教学案例/设计_教学研究_教育专区。l6 中等数学 一 道平面 几何 题 的探 索过程 曹珏赘 ( 上海 贝尔软件 有限公 司, 201206) 中...
一道全国初中数学联赛平面几何题的多角度探究.pdf
一道全国初中数学联赛平面几何题的多角度探究 - 201 7年第 4期 中学数 学研 究 ? 49? 一 道全 国初 中数 学联赛 平面 几何题的多 角度 探...
一道平面几何预赛题的证法探究_图文.pdf
一道平面几何预赛题的证法探究 - 201 4年l 0月 解法探究 学 谋 一 道平面几何预赛题的证法探究 ⑩江苏省如东县掘港 高级 中学 张春霞 ...
一道几何高考模拟题的研究性学习.doc
第一部分被安排在“必修 2”的第一章“空间几何体”和第二章“点、直线、平面之间的位置关系” ,一般 一道几何高考模拟题的研究性学习 摘要:高中阶段立体几何...
平面几何题多解法探究_论文.pdf
平面几何题多解法探究 - 0 思路方法 平面几何题多解法 探究 ■刘小波 摘要: 在初中数学 中, 平面几何在训练学生的 探究二 : 加倍 中线 法 空间思维...
解析几何问题的平面几何解法.doc
近期考试中有这样一道题,它考察了解析几何中的定值问题,有两种方法可以解决。但 如果深入思考,该题可以通过平面几何方法给予更快捷的解法,下边我们来做一探究。 ...
平面几何教学中几何变换的探究.doc
逐步深入实施几何变换教学.同时,引导学生自主进行几何...二、几何变换探究式教学 几何变换不仅仅是一个数学...平面几何变换的性质,更简化了学生对几何 图形的理解...
九年级数学一道习题的演变_图文.ppt
九年级数学一道习题的演变 - 一道平面几何题 的演变 潮阳实验学校 黄曜 一道平面几何题 的演变 在探究中学习 在学习中探究 已知:⊙O1和⊙O2相交于A、 B...
一道中考几何压轴题的解法探究和亮点赏析_论文.pdf
201 5年 5月 一 道中考几何压轴题的解法探究和亮点赏析 ⑧江苏省海门市海南中学杨春鸟 随着数 学新课程标 准的深入实施 , 为提高考试 的区 方法3 : 利用...
深入探究寻优解 反思回顾揭本质对一道高三调研试题....pdf
深入探究寻优解 反思回顾揭本质对一道高三调研...题目平面直 角坐标 系中 ,已知点A(1,一2),...构造几何图形 解: 由题意知 四边形P ABN 的周长...
阿波罗尼斯圆的深入探究.pdf
“到一个定点和一 条定直线的距离之比”可以定义...《例说高考解析几何试 题的源和流》一文). 这里...深入的探究,供同学们参考. 问题 已知某平面上有两...
一道值得探究的“探究题”_图文.pdf
小题,确实值得深入探究. 探究题(本题9分) 如图1...就可以.按照他的建 议,笔者用几何画板验证,马上...提出一个关于三角形的有 趣问题:在三角形所在平面...
一道联考试题的多种解法及探究_图文.pdf
一道联考试题的多种解法及探究_数学_高中教育_教育...几何 性质的类比,平面几何与立体几何相关性质的类比 ...”在数学教学中,教师要深入研究课本中的 一些典型的...
2012年大学自主招生考试一道平面几何题分析_吴立宝.pdf
2012年大学自主招生考试一道平面几何题分析_吴立宝 - 2013 年 第5期
对一道竞赛题的深入探究_论文.pdf
一道竞赛题的深入探究 - 1原题及参考解答 1.1题目(第22届全国中学生物理
平面几何习题.doc
平面几何习题_数学_初中教育_教育专区。寒假辅导习题...有垂直相交于 M 的两直线,它们与 AB,AC 分别...探究线段 DP 与 DQ 的数量关系; ⑵当 K≠ 1 ...
一道立体几何应用题的赏析与改编_图文.pdf
一道立体几何应用题的赏析与改编_数学_高中教育_...如若 不加 以深入探讨分析 ,不仅 不能准确把握问题...(1 )数据处理能力 ,对试题给出的信息,研究 出有...
2014-2015中考数学平面几何经典题.doc
2014-2015中考数学平面几何经典题_中考_初中教育_...锐角”三种情况进行探究. [深入探究 ] 第一种情况...°角的三角尺的一条直角边重合 ,则∠ 1 的度数...
2014年中考平面几何探究题.doc
2014年中考平面几何探究题 - 平面几何探究题 (2014?咸宁)如图,在△A
更多相关标签: