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【创新教程】高考数学大一轮复习 第二章 第11节 导数在研究函数中的应用课件 理 新人教A版_图文

第11节 导数在研究函数中的应用 Ⅰ. 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函 数的单调性,会求函数的单调区间 ( 其中多项式函数不超过三 次). Ⅱ.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 会用导数求函数的极大值、极小值 ( 其中多项式函数不超过三 次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不 超过三次). 整合· 主干知识 1.函数的单调性与导数 (1)函数y=f(x)在某个区间内可导 单调递增 ①若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内_________ ; 单调递减 ②若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内_________ ; 常函数. ③如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为________ (2)单调性的应用 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f′(x)在该区间上 不变号. 质疑探究1:若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有 f′(x)>0吗?f′(x)>0是否是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件? 提示:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f′(x)≥0, f′(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件. 2.函数的极值与导数 (1)函数极小值的概念满足 ①函数 y= f(x) 在点x = a 处的函数值 f(a) 比它在点 x = a附近 小; 其他点的函数值都___ ②f′(a)=__0 ; f′(x)<0 ,右侧_________ f′(x)>0 ; ③在点x=a附近的左侧_________ 极小值点 , f(a) 叫做函数 y = 则点 x = a 叫做函数 y = f(x) 的 _________ 极小值. f(x)的______ (2)函数极大值的概念满足 ①函数 y= f(x) 在点x = b 处的函数值 f(b) 比它在点 x = b附近 大; 其他点的函数值都___ ②f′(b) __0 =; f′(x)>0 ,右侧________ f′(x)<0 ; ③在点x=b附近的左侧________ 极大值点 , f(b) 叫做函数 y = 则点 x = b 叫做函数 y = f(x) 的 _________ 极大值 ;极小值点与极大值点统称为 _______ 极值点 ,极小值 f(x) 的 _______ 极值 . 与极大值统称为_____ (3)求可导函数极值的步骤 ①求导数f′(x),写出导数的定义域; ②求方程f′(x)=0的根; ③列表,检验 f′(x) 在方程 f′(x) = 0 的根左右两侧的符号 ( 判 断y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果左正右负(左增右减), 极大值 那么f(x)在这个根处取得 _______ .如果左负右正 (左减右增), 极小值 那么f(x)在这个根处取得_______ .如果左右两侧符号一样,那 么这个根不是极值点. 质疑探究2:f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取极值的什 么条件? 提示: 必要不充分条件,因为当 f′(x0)= 0且 x0 左右两端的 导数符号变化时,才能说f(x)在x=x0处取得极值.反过来,如 果可导函数f(x)在x=x0处取极值,则一定有f′(x0)=0. 3.函数的最值与导数 求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求y=f(x)在(a,b)内的_____; 极值 (2) 将函数 y = f(x) 的各极值与端点处的函数值 f(a) 、 f(b) 比 较,其中_____的一个为最大值, _____的一个为最小值. 最大 最小 4.利用导数解决实际生活中的优化问题 (1) 分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的 数学模型,写出相应的函数关系式y=f(x)并确定定义域; (2)求导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)判断使f′(x)=0的点是极大值点还是极小值点; (4) 确定函数的最大值或最小值 ,还原到实际问题中作 答. 1 2 1. (2015· 哈尔滨模拟)函数 y= x -ln x 的单调递减区间为( 2 A.(-1,1] C.[1,+∞) B.(0,1] D.(0,+∞) ) 解析:由题意知函数的定义域为(0,+∞), 1 又由 y′=x-x≤0,解得 0<x≤1, 所以函数的单调递减区间为(0,1]. 故选 B. 答案:B 2.函数 y=xex 的最小值是( A.-1 1 C.- e 解析:y′=ex+x· ex, 令 y′=0,则 x=-1, ) B.-e D.不存在 ∵x<-1 时,y′<0,x>-1 时,y′>0, ∴x=-1 是函数的唯一极小值点,即为最小值点, 1 ∴x=-1 时,ymin=- ,故选 C. e 答案:C 3.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相 同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为 ( ) A.12 cm3 C.144 cm3 B.72 cm3 D.160 cm3 解析:设盒子容积为 y cm3,盒子的高为 x cm. 则 y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x(0<x<5), ∴y′ =12x2-104x+160. 20 令 y′=0,得 x=2 或 x= (舍去), 3 ∴ymax=6×12×2=144(cm3).故选 C. 答案:C 4.已知 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是增函数,则 a 的最大 值是________. 解析:f′(x)=3x2-a≥0 在[1,+∞)上恒成立,即 a≤3x2 在[1,+∞)上恒成立, 而(3x2)min=3×12=3.所以 a≤3,故 amax=3. 答案:3 5.给出下列命题: ①f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件; ②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的; ③函数的极大值不一定比极小值大; ④

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