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3.2一元二次不等式及其解法


3.2.1一元二次不等式 及其解法

想一想,当x取何值时,y 的值大 于零?(或小于零?) y O m x y n O x

复习

当x ? m时y ? 0 当x ? m时y ? 0

当 x ? n时 y ? 0 当 x ? n时 y ? 0

考察:对一次函数y=2x-7,当x为何值 时,y=0;当x为何值时,y<0;当x为何值 时,y>0?
当x=3.5时,y=0, y



2x-7=0;
O 3.5 x

当x<3.5时,y<0,



2x-7<0;

当x>3.5时,y>0, 即 2x-7>0

一般地,设直线y=ax+b与x轴的 交点是(x0,0),则有如下结果: 1.一元一次方程ax+b=0的解是x0; (即直线与x轴的交点的横坐标) y y
O x0 x

x0 O

x

y
O m x

y
n O x

2.①当a>0时, ax+b>0的解集是 {x|x>m}; ax+b<0的解集是{x|x<m}. ②当a<0时,ax+b>0的解集是 {x|x<n}; ax+b<0的解集是{x|x>n}.

思考

对二次函数 y=x2-x-6,当x为何值时,
y=0?当x为何值时,y<0? 当x为何值时, y>0 ? y

结合函数图 象进行思考

-2 O

3

x

思考:对二次函数 y=x2-x-6,当x为何值 时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时, y>0 ?

y

当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2?x?6=0 当?2<x<3 时, y<0 即 x2?x?6<0 当 x<?2 或 x>3 时, y>0 即 x2?x?6>0

-2 o

3

x

思考: 一元二次方程、 二次函数、一元二 次不等式三者之间 存在怎样的联系

y

o

x

可不可以利用二次函数图象解一 元二次不等式?

若一元二次方程x2-x-6=0

y

的解是x1=-2,x2=3.
则抛物线y=x2-x-6与 x轴的交点就是 (-2,0)与(3,0), 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解集是 {x|-2<x<3}, x2-x-6>0 的解集是 {x|x<-2或x>3}.

-2 O

3

x

结论:

解一元二次不等式

ax2+bx+c>0

(a>0,△=0 )的步骤: ① 将二次不等式化成一般式;

② 求出方程ax2+bx+c=0的两根; ③ 画出y=ax2+bx+c的图象;
④ 根据图象写出不等式的解集.

求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框 图:

△≥0

x ? ?

b 2a

x< x1或x> x2

举例
例1 解不等式x2-6x-7>0 y

解:方程x2-6x-7=0的解是
x1 ? ? 1, x 2 ? 7

作函数图象的草图 所以,不等式的解集是

-1 o

7 x

{x | x<-1 或 x > 7 }

练习 1. 解不等式 2 x ? 3 x ? 2 ? 0
2

解:方程 2 x ? 3 x ? 2 ? 0 的解是
2

y

x1 ? ?
2

1 2

, x2 ? 2

-0.5

o

所以,不等式的解集是
x

{x | x< -

1 2

或x>2 }

练习

2. 解下列不等式:

y
1?

(1) ? 3 x ? 6 x ? 2
2

o

3 3

1?

3 3

x

y

1?

o

3 3

1?

3 3

x

y

(2) 4 x ? 4 x ? 1 ? 0
2

o

0.5

x y

(3)? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

y o o x x

一元二次不等式的解法 判别式 △=b2- 4ac △>0 y

△=0
y x2 x O x1 x

△<0
y

y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O

O 没有实根

x

ax2+bx+c=0 (a>0)的根

有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2= ?
2a

ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
ax2+bx+c<0 {x|x1< x <x2 } (a>0)的解集

{x|x≠ ?

b

}

2a

R Φ

Φ

小结 解一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0 )的 步骤: ① 将二次不等式化成一般式;

② 求出方程ax2+bx+c=0的两根; ③ 画出y=ax2+bx+c的图象;
④ 根据图象写出不等式的解集.

作业

课本80页练习1、2 课本80页习题3.2

A组1—6题


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