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中考数学总复习 全部导学案(教师版)


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思考与收获

第 1 课时

实数的有关概念

【知识梳理】 1. 实数的分类:整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限 环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数. 2. 数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴上的点一 一对应. 3. 绝对值:在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值,记作∣a∣,正 数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 4. 相反数:符号不同、绝对值相等的两个数,叫做互为相反数.a的相反数是-a, 0的相反数是0. 5. 有效数字:一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有 的数字,都叫做这个近似数的有效数字. 6. 科学记数法:把一个数写成a× n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫 10 105 10-5. 做科学记数法. 如:407000=4.07× ,0.000043=4.3× 7. 大小比较:正数大于 0,负数小于 0,两个负数,绝对值大的反而小. 8. 数的乘方:求相同因数的积的运算叫乘方,乘方运算的结果叫幂. 9. 平方根:一般地,如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a 那么这个数 x 就叫做 a 的平方根(也叫做二次方根) .一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0 只有一个平方根,它是 0 本身;负数没有平方根. 10. 开平方:求一个数 a 的平方根的运算,叫做开平方. 11. 算术平方根:一般地,如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a,那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根,0 的算术平方根是 0. 12. 立方根:一般地,如果一个数 x 的立方等于 a,即 x3=a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(也叫做三次方根),正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0 的立方根是 0. 13. 开立方:求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方. 【思想方法】 数形结合,分类讨论 【例题精讲】 例 1.下列运算正确的是( ) A. ? ?3 ? 3 B. ( )

1 3

?1

? ?3 C. 9 ? ?3

D. 3 ?27 ? ?3

例 2. 2 的相反数是( A. ? 2 例 3.2 的平方根是( A.4

) C. ?

B. 2 )

2 2

D.

2 2

B. 2

C. ? 2

D. ? 2

例 4.《广东省 2009 年重点建设项目计划(草案) 》显示,港珠澳大桥工程估算总 投资 726 亿元,用科学记数法表示正确的是( )

—◇◇

1 ◇◇—

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思考与收获 A. 7.26 ?10
10

元 元

B. 72.6 ?10 D. 7.26 ?10 元
11

9



C. 0.726 ?10

11

例 5.实数 a,b 在数轴上对应点的位置如图所示, 则必有( ) 0 a 1 b ?1 例5图 0 A. a ? b ? 0 B. a ? b ? 0 C. ab ? 0 D.

a ?0 b

例 6.(改编题)有一个运算程序,可以使:

a ⊕ b = n ( n 为常数)时,得 ( a +1)⊕ b = n +2, a ⊕( b +1)= n -3
现在已知 1⊕1 = 4,那么 2009⊕2009 = 【当堂检测】 .

? 1? 1.计算 ? ? ? 的结果是( ? 2?
A.

3



1 6

B. ?

1 6
) B.

C.

1 8

D. ?

1 8
D. ?2

2. ?2 的倒数是( A. ?

1 2

1 2


C. 2

3.下列各式中,正确的是( A. 2 ? 15 ? 3

B. 3 ? 15 ? 4

C. 4 ? 15 ? 5 D. 14 ? 15 ? 16
2

4.已知实数 a 在数轴上的位置如图所示,则化简 |1 ? a | ? a 的结果为( A.1 B. ?1 5. ?2 的相反数是( A. 2 B. ?2 C. 1 ? 2a ) C. D. 2a ? 1
?1



a 0 1 第 4 题图

1 2

D. ?

1 2
2

6.-5 的相反数是____,-

1 的绝对值是____, 2

? ?4 ?

=_____. .

7.写出一个有理数和一个无理数,使它们都是小于-1 的数 8.如果 A.
2 ? (? ) ? 1 ,则― 3
3 2

‖内应填的实数是(
2 3

) D. ?
3 2

B.

C. ?

2 3

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2 ◇◇—

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第 2 课时

实数的运算

【知识梳理】 1.有理数加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数 相加,绝对值相等时和为 0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用 较大的绝对值减去较小的绝对值;一个数同 0 相加,仍得这个数. 2.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数. 3.有理数乘法法则:两个有理数相乘,同号得正,异号得负,再把绝对值相乘; 任何数与 0 相乘,积仍为 0. 4.有理数除法法则:两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除; 0 除以任何非 0 的数都得 0; 除以一个数等于乘以这个数的倒数. 5.有理数的混合运算法则:先算乘方,再算乘除,最后算加减; 如果有括号,先算括号里面的. 6.有理数的运算律: 加法交换律: a+b=b+a(a、b 为任意有理数) 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)

【思想方法】 数形结合,分类讨论 【例题精讲】 例 1.某校认真落实苏州市教育局出台的―三项规定‖,校园生活丰富多彩.星期二 下午 4 点至 5 点,初二年级 240 名同学分别参加了美术、音乐和体育活动,其中 参加体育活动人数是参加美术活动人数的 3 倍,参加音乐活动人数是参加美术活 动人数的 2 倍,那么参加美术活动的同学其有____________名. 例 2.下表是 5 个城市的国际标准时间(单位:时)那么北京时间 2006 年 6 月 17 日上午 9 时应是( )
纽约 多伦多 伦敦 北京 汉城

8 9 国际标准时间(时) 例2图 A.伦敦时间 2006 年 6 月 17 日凌晨 1 时. B.纽约时间 2006 年 6 月 17 日晚上 22 时. C.多伦多时间 2006 年 6 月 16 日晚上 20 时 . D.汉城时间 2006 年 6 月 17 日上午 8 时. 例 3.如图,由等圆组成的一组图中,第 1 个图由 1 个圆组成,第 2 个图由 7 个圆 组成,第 3 个图由 19 个圆组成,……,按照这样的规律排列下去,则第 9 个 图形由__________个圆组成. 0

-5 -4

……

例3图

—◇◇

3 ◇◇—

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思考与收获 例 4.下列运算正确的是( A. 3 ? ) B. 3 ? 2 ?
2 2

2? 5
2

6

C. ( 3 ? 1) ? 3 ? 1 例 5.计算: (1) 3
?2

D. 5 ? 3 ? 5 ? 3

? 8 ? (? ? 1) 0 ? ? 1 ?

1 9

(2) ? 3 ? (? ?

2) 0 ? tan 45 ?

(3) 2 2 ? ( 3 ? 1) 0 ? ( ) ?1 ;

1 2

(4) (?1) 2008 ? ? 0 ? ( ) ?1 ? 3 8 .

1 3

【当堂检测】 1.下列运算正确的是( A.a4× 2=a6 a C. (?a ) ? a
3 2 5

) B. 5a 2b ? 3a 2b ? 2 D. (3ab ) ? 9a b
2 3 3 6

2.某市 2008 年第一季度财政收入为 41.76 亿元,用科学记数法(结果保留两个有 效数字)表示为( ) A. 41? 10 8 元 B. 4.1 ? 10 9 元 C. 4.2 ? 10 9 元 D. 41.7 ? 10 8 元

3.估计 68 的立方根的大小在( ) A.2 与 3 之间 B.3 与 4 之间 C.4 与 5 之间 4.如图,数轴上点 P 表示的数可能是( ) A. 7 C. ?3.2 5.计算: (1) (?1)
2009

D.5 与 6 之间 P

B. ? 7 D. ? 10

?3 ?2?1 O 1 2 3
第 4 题图

1 ? ( ) ?2 ? 16 ? cos 60 0 2

(2)

?

?1? 3 ?1 ? ? ? ? 4 ?2?
0

?

?1

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第 3 课时

整式与分解因式

【知识梳理】 1.幂的运算性质:①同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加, 即 a m ? a n ? a m? n (m、n 为正整数) ;②同底数幂的除法法则:同底数幂相除, m n 底数不变,指数相减,即 a ? a ? a m?n (a≠0,m、n 为正整数,m>n) ;③幂的 乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘,即 (ab) ? a b (n 为正整数) ;④
n n n

零指数: a 0 ? 1 (a≠0) ;⑤负整数指数: a ? n ?

1 (a≠0,n 为正整数) ; an

2.整式的乘除法: (1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. (3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式. (5)平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方, 即 (a ? b)( a ? b) ? a ? b ; (6)完全平方公式:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)
2 2

它们的积的 2 倍,即 (a ? b) ? a ? 2ab ? b
2 2

2

3.分解因式:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式分解因 式. 4.分解因式的方法: ⑴提公团式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提 出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因 式法. ⑵运用公式法:公式 a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b) ; a2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b)2 5.分解因式的步骤:分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定 先提取公团式,然后再考虑是否能用公式法分解. 6.分解因式时常见的思维误区: ⑴ 提公因式时,其公团式应找字母指数最低的,而不是以首项为准. ⑵ 提取公因式时,若有一项被全部提出,括号内的项― 1‖易漏掉. (3) 分解不彻底,如保留中括号形式,还能继续分解等 【例题精讲】 【例 1】下列计算正确的是( ) A. a+2a=3a B. 3a-2a=a 2 3 6 C. a ? a =a D.6a 2 ÷ 2 =3a 2 2a 【例 2】 (2008 年茂名)任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的 结果是( ) 平方 -m ÷m +2 结果 m A. m
2

2

B. m

2

C. m +1
2

D. m -1 .

【例 3】若 3a ? a ? 2 ? 0 ,则 5 ? 2a ? 6a ? 【例 4】下列因式分解错误的是( ) A. x ? y ? ( x ? y )( x ? y )
2 2 2

B. x ? 6 x ? 9 ? ( x ? 3)
2 2

2

C. x ? xy ? x( x ? y )
2

D. x ? y ? ( x ? y )
—◇◇

2

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思考与收获 【例 5】如图 7-①,图 7-②,图 7-③,图 7-④,…,是用围棋棋子按照某种规律 摆成的一行―广‖字, 按照这种规律, 5 个―广‖字中的棋子个数是________,第 n 第 个―广‖字中的棋子个数是________

【例 6】给出三个多项式:

1 2 1 1 x ? 2 x ? 1 , x 2 ? 4 x ? 1 , x 2 ? 2 x .请选择你 2 2 2

最喜欢的两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解.

【当堂检测】

___ 1.分解因式: 9a ? a ? , ? x ? 2 x ? x ? __________ 2.对于任意两个实数对(a,b)和(c,d) ,规定:当且仅当 a=c 且 b=d 时, (a,b)=(c,d) .定义运算― ? ‖: (a,b) ? (c,d)=(ac-bd,ad+bc) .若 (1,2) ? (p,q)=(5,0) ,则 p= ,q= . 3. 已知 a=1.6?109,b=4?103,则 a2?2b=( ) 7 14 5 A. 2?10 B. 4?10 C.3.2?10 D. 3.2?1014 .
3

3

2

4.先化简,再求值: (a ? b) ? (a ? b)(2a ? b) ? 3a ,其中
2 2

a ? ?2 ? 3,b ? 3 ? 2 .

5.先化简,再求值: (a ? b)(a ? b) ? (a ? b) ? 2a ,其中 a ? 3,b ? ?
2 2

1 . 3

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第 4 课时
【知识梳理】

分式与分式方程
A 叫做分式. B

1. 分式概念:若 A、B 表示两个整式,且 B 中含有字母,则代数式

2.分式的基本性质: (1)基本性质: (2)约分: (3)通分: 3.分式运算 4.分式方程的意义,会把分式方程转化为一元一次方程. 5.了解分式方程产生增根的原因,会判断所求得的根是否是分式方程的增根. 【思想方法】 1.类比(分式类比分数) 、转化(分式化为整式) 2.检验 【例题精讲】 1.化简:

x2 ? 2 x ? 1 x ?1 ? 2 x2 ?1 x ?x

2.先化简,再求值:

x2 ? 2x ? 2x ? 4 ? ?? x ? 2? ? ,其中 x ? 2 ? 2 . 2 x ?4 ? x?2 ?

3. 先化简 1 ? (

1 x , 然后请你给 x 选取一个合适值,再求此时原式的值. ) 2 ? x ?1 x ?1

4.解下列方程(1)

5 1 ? 2 ?0 x ? 3x x ? x
2

(2)

x?2 x?2 16 ? ? 2 x?2 x?2 x ?4

5.一列列车自 2004 年全国铁路第 5 次大提速后,速度提高了 26 千米/时,现在 该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了 1 小时,已知甲、乙两站的路程是 312 千米,若设列车提速前的速度是 x 千米,则根据题意所列方程正确的是( )

A.

B.

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思考与收获 C. 【当堂检测】 D.

a2 ?1 1.当 a ? 99 时,分式 的值是 a ?1
2.当 x 时,分式
2 x ? 1 有意义;当 x x ?1



时,该式的值为 0.

3.计算

(ab) 2 的结果为 ab 2



4. .若分式方程 A. 2 5.若分式

1 k?x 有增根,则 k 为( ?3? x?2 2? x
B.1 C. 3 D.-2



2 有意义,则 x 满足的条件是: ) ( x?3 A. x ? 0 B. x ? 3 C. x ? 3 D. x ? 3
x 2 ? 2xy ? y 2 x?y x2 ? y 的值 ? ? 5x ? 4y x 5x 2 ? 4xy

6.已知 x=2008,y=2009,求

x?2 x ?1 x 2 ? 16 ? )? 7.先化简,再求值: ( 2 ,其中 x ? 2 ? 2 x ? 2x x 2 ? 4x ? 4 x 2 ? 4x

8.解分式方程. (1)

2 x ? 2 ?0 x ? 1 x ?1

(2)

x 3(x ? 2) ; ?2? x?2 x

(3)

1 1? x ? ?3 x?2 2? x

(4)

2 x ?1 ? ?1 x ?1 x -1
2

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第 5 课时

二次根式

【知识梳理】 1.二次根式: (1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2.二次根式的化简:

3.最简二次根式应满足的条件: (1)被开方数中不含有能开得尽的因数或因式. (2)根号内不含分母 (3)分母上没有根号 4.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这 几个二次根式就叫做同类二次根式. 5.二次根式的乘法、除法公式:

( (1) a ? b= ab a ? 0,b ? 0) (2)

a a = (a ? 0,b ? 0) b b

6..二次根式运算注意事项: (1)二次根式相加减,先把各根式化为最简二次根 式,再合并同类二次根式,防止:①该化简的没化简;②不该合并的合并;③ 化简不正确;④合并出错. (2)二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式 来简化计算,运算结果一定写成最简二次根式或整式. 【思想方法】 非负性的应用 【例题精讲】 【例 1】要使式子 A. x ? 1 【例 2】估计 32 ?

x ?1 有意义, x 的取值范围是( x
B. x ? 0 C. x ? ?1且x ? 0

) D. x ≥-1且x ? 0

1 ? 20 的运算结果应在( 2

) . D.9 到 10 之间 .

A.6 到 7 之间 B.7 到 8 之间 C.8 到 9 之间

【例 3】 若实数 x,y 满足 x ? 2 ? ( y ? 3) 2 ? 0 ,则 xy 的值是

【例 4】如图,A,B,C,D 四张卡片上分别写有 ?2,3, ,π 四个实数,从中 任取两张卡片. A B C D

5 7

(1)请列举出所有可能的结果(用字母 A,B,C,D 表示) ; (2)求取到的两个数都是无理数的概率.

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思考与收获 【例 5】计算: (1) 27 ? (3.14 ? ? ) 0 ? 3 tan 30? ? ) ( ?1

1 3

? 1? (2) (? ? 1) ? ? ? ? ? 5 ? 27 ? 2 3 . ? 2?
0

?1

【例 6】先化简,再求值: ( 2 ? 1 ) ? (a 2 ? 1) ,其中 a ? 3 ? 3 . a ?1 a ?1

【当堂检测】 1.计算: (1) 12 ? ?3 ? 2 tan 60 ? ( ?1 ? 2) .
? 0

(2)cos45°(- ·

1 1 -2? ) -(2 2 - 3 )0+|- 32 |+ 2 2 ?1 .

(3) 3 ? 12 ? (

6

2? 2

)0 ? cos 2 30? ? 4sin 60?

2.如图,实数 a 、 b 在数轴上的位置,化简

a 2 ? b 2 ? ( a ? b) 2

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第 6 课时

一元一次方程及二元一次方程(组)

【知识梳理】 1.方程、一元一次方程、二元一次方程(组)和方程(组)的解、解方程(组) 的概念及解法,利用方程解决生活中的实际问题. 2.等式的基本性质及用等式的性质解方程: 等式的基本性质是解方程的依据,在使用时要注意使性质成立的条件 . 3.灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组. 4.用方程解决实际问题:关键是找到―等量关系‖,在寻找等量关系时有时可以借 助图表等,在得到方程的解后,要检验它是否符合实际意义. 【思想方法】 方程思想和转化思想 【例题精讲】 例 1. (1)解方程 解:

?3 x ? 2 y ? 15 2 x ? 11 5 ? 2 x ? ? 1. (2)解二元一次方程组 ?7 x ? 2 y ? 27 ? 5 6

例 2.已知 x ? ?2 是关于 x 的方程 2( x ? m) ? 8 x ? 4m 的解,求 m 的值. 方法 1 方法 2

例 3.下列方程组中,是二元一次方程组的是(

2 ? x? y ?5 A. ? B. ? x ? y ? 10 C. ? x ? y ? 8 D. ? x ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? 5 ? xy ? 15 ? x ? y ? ?2 ?x ? y ? 3 ?x y 6 ? 例 4.在 x ? 2 y ? 3 ? 0 中,用 x 的代数式表示 y,则 y=______________.



例 5.已知 a、b、c 满足 ?

?a ? 2b ? 5c ? 0 ,则 a:b:c= ?a ? 2b ? c ? 0



例 6 .某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度,那 么这个月这户只需交 10 元用电费, 如果超过 A 度, 则这个月除了仍要交 10 元 用电费外,超过部分还要按每度 0.5 元交费. ①该厂某户居民 2 月份用电 90 度, 超 月份 用电量 交电费总数 过了规定的 A 度,则超过部分应该交 3月 80 度 25 元 电费多少元(用 A 表示)? . 4月 45 度 10 元 ②右表是这户居民 3 月、 月的用电情 4 况和交费情况:根据右表数据,求电厂规定 A 度为 .

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思考与收获 【当堂检测】 1.方程 x ? 5 ? 2 的解是___ ___.

2.一种书包经两次降价 10%,现在售价 a 元,则原售价为_______元. 3.若关于 x 的方程

1 x ? 5 ? k 的解是 x ? ?3 ,则 k ? _________. 3

?x ? 2 ?x ? 3 ?x ? 1 4.若 ? y ? ?1 , ? y ? 2 , ? y ? c 都是方程 ax+by+2=0 的解,则 c=____. ? ? ?

5.解下列方程(组) : (1) 3 x ? 2 ? ?5( x ? 2) ; (2) 0.7 x ? 1.37 ? 1.5 x ? 0.23 ;

(3) ?

?2 x ? 5 y ? 21 ?x ? 3 y ? 8



(4)

2x ? 1 1 ? 4x ? ?1; 3 5

6.当 x ? ?2 时,代数式 x 2 ? bx ? 2 的值是 12,求当 x ? 2 时,这个代数式的值.

7.应用方程解下列问题:初一(4)班课外乒乓球组买了两副乒乓球板,若每人 付 9 元,则多了 5 元,后来组长收了每人 8 元,自己多付了 2 元,问两副乒乓球 板价值多少?

8.甲、乙两人同时解方程组 ?

? mx ? ny ? ?8(1) 由于甲看错了方程①中的 m ,得 ? mx ? ny ? 5 (2)

到的解是 ? 的值.

?x ? 4 ?x ? 2 ,乙看错了方程中②的 n ,得到的解是 ? ,试求正确 m, n ?y ? 5 ?y ? 2

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第 7 课时 一元二次方程
【知识梳理】 1. 2. 一元二次方程的概念及一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程的解法:①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法

3.求根公式:当 b2-4ac≥0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为
? b ? b 2 ? 4ac 2a 4.根的判别式: 当 b2-4ac>0 时,方程有 x?

当 b -4ac=0 时, 方程有 当 b2-4ac<0 时,方程

2

实数根. 实数根. 实数根.

【思想方法】 1. 常用解题方法——换元法 2. 常用思想方法——转化思想,从特殊到一般的思想,分类讨论的思想 【例题精讲】 例 1.选用合适的方法解下列方程: (1) (x-15)2-225=0; (2) 3x2-4x-1=0(用公式法) ;

(3) 4x2-8x+1=0(用配方法) ;

(4)x2+ 2 2 x=0

例2 . 已知一元二次方程 m ? 1 x 2 ? 7mx ? m 2 ? 3m ? 4 ? 0 有一个根为零, m 求 ( ) 的值.

例 3.用 22cm 长的铁丝,折成一个面积是 30 ㎝ 2 的矩形,求这个矩形的长和宽. 又问:能否折成面积是 32 ㎝ 2 的矩形呢?为什么?

例 4.已知关于 x 的方程 x2―(2k+1)x+4(k-0.5)=0 (1) 求证:不论 k 取什么实数值,这个方程总有实数根; (2) 若等腰三角形 ABC 的一边长为 a=4,另两边的长 b.c 恰好是这个方程的两 个根,求△ ABC 的周长.

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思考与收获 【当堂检测】 一、填空 1.下列是关于 x 的一元二次方程的有_______ ③ (2x ?1)2 ? (x ?1)(4x ? 3) ④ k 2 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ⑤
2 x2 ?



1 ? 3x2 ? 2 ? 0 x

② x2 ?1 ? 0

1 3 x? ?0 4 2

⑥ 3 x 2 ? 2 ? 2x ? 0

2.一元二次方程 3x2=2x 的解是

. . . .

3.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0 有一解为 0,则 m 的值是 4.已知 m 是方程 x2-x-2=0 的一个根,那么代数式 m2-m = 5.一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一根-2,则 4a ? c 的值为
b

6. 关于 x 的一元二次方程 kx2+2x-1=0 有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围 是__________. 7.如果关于的一元二次方程的两根分别为 3 和 4,那么这个一元二次方程可以 是 . 二、选择题: 8.对于任意的实数 x,代数式 x2-5x+10 的值是一个( A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 ) )

9.已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则 m2+n2 的值是( A.3 B.3 或-2 C.2 或-3

D. 2 )

10.下列关于 x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是(

(A)x2+4=0 (B)4x2-4x+1=0(C)x2+x+3=0(D)x2+2x-1=0 11.下面是李刚同学在测验中解答的填空题,其中答对的是( A.若 x2=4,则 x=2 C.方程 x2+2x+2=0 实数根为 0 个 )

B.方程 x(2x-1)=2x-1 的解为 x=1 D.方程 x2-2x-1=0 有两个相等的实数根

12.若等腰三角形底边长为 8,腰长是方程 x2-9x+20=0 的一个根,则这个三角形的 周长是( ) 三、解下方程: (1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x2-4x-4=0 A.16 B.18 C.16 或 18 D.21

(4)x2+x-1=0

(6)(2y-1)2 -2(2y-1)-3=0

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第 8 课时

方程的应用(一)

【知识梳理】 1. 方程(组)的应用; 2. 列方程(组)解应用题的一般步骤; 3. 实际问题中对根的检验非常重要. 【注意点】 分式方程的检验,实际意义的检验. 【例题精讲】 例 1. 足球比赛的计分规则为:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分.某 队打了 14 场,负 5 场,共得 19 分,那么这个队胜了( ) A.4 场 B.5 场 C.6 场 D.13 场 例 2. 某班共有学生 49 人.一天,该班某男生因事请假,当天的男生人数恰为女生 人数的一半.若设该班男生人数为 x,女生人数为 y,则下列方程组中,能正确计 算出 x、y 的是( )
?x–y= 49 A.? ?y=2(x+1) ?x+y= 49 B.? ?y=2(x+1) ?x–y= 49 C.? ?y=2(x–1) ?x+y= 49 D.? ?y=2(x–1)

例 3. 张老师和李老师同时从学校出发,步行 15 千米去县城购买书籍,张老师比 李老师每小时多走 1 千米,结果比李老师早到半小时,两位老师每小时各走多少 千米?设李老师每小时走 x 千米,依题意得到的方程是( )

15 15 1 ? ? x ?1 x 2 15 15 1 C. ? ? x ?1 x 2 A.

B.

15 15 1 ? ? x x ?1 2 15 15 1 D. ? ? x x ?1 2

例 4.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺,总务处每发一封信都只 用一张信笺,教务处每发出一封信都用 3 张信笺,结果,总务处用掉了所有的信 封,?但余下 50 张信笺,而教务处用掉所有的信笺但余下 50 个信封,则两处各领 的信笺数为 x 张,?信封个数分别为 y 个,则可列方程组 例 5. 团体购买公园门票票价如下: 购票人数 1~50 51~100 100 人以上 每人门票(元) 13 元 11 元 9元 今有甲、乙两个旅行团,已知甲团人数少于 50 人,乙团人数不超过 100 人.若分 别购票,两团共计应付门票费 1392 元,若合在一起作为一个团体购票,总计应付 门票费 1080 元. (1)请你判断乙团的人数是否也少于 50 人. (2)求甲、乙两旅行团各有多少人? .

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思考与收获 【当堂检测】 1. 某市处理污水,需要铺设一条长为 1000m 的管道,为了尽量减少施工对交通 所造成的影响, 实际施工时, 每天比原计划多铺设 10 米, 结果提前 5 天完成任务. 设 原计划每天铺设管道 xm,则可得方程 . 2. ―鸡兔同笼‖是我国民间流传的诗歌形式的数学题,?―鸡兔同笼不知数,三十六 头笼中露,看来脚有 100 只,几多鸡儿几多兔?‖解决此问题,设鸡为 x 只,兔为 y 只,所列方程组正确的是( )

? x ? y ? 36 ? x ? y ? 36 A.? B. ? ? x ? 2 y ? 100 ?2 x ? 4 y ? 100

? x ? y ? 36 ? x ? y ? 36 C. ? D..? ?2 x ? 2 y ? 100 ?4 x ? 2 y ? 100

3.为满足用水量不断增长的需求,某市最近新建甲、乙、?丙三个水厂,这三个水 厂的日供水量共计 11.8 万 m3, ?其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的 3 倍, 丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多 1 万 m3. (1)求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米? (2)在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走 600t 土石,运输公司派出 A 型, B?型两种载重汽车,A 型汽车 6 辆,B 型汽车 4 辆,分别运 5 次,可把土石运完; 或者 A 型汽车 3 辆,B 型汽车 6 辆,分别运 5 次,也可把土石运完,那么每辆 A 型汽车,每辆 B 型汽车每次运土石各多少吨?(每辆汽车运土石都以准载重量满 载)

4. 2009 年初我国南方发生雪灾,某地电线被雪压断,供电局的维修队要到 30km 远的郊区进行抢修.维修工骑摩托车先走,15min 后,抢修车装载所需材料出发, 结果两车同时到达抢修点.已知抢修车的速度是摩托车速度的 1.5 倍,求这两种 车的速度.

5. 某体育彩票经售商计划用 45000?元从省体彩中心购进彩票 20 扎, 每扎 1000 张, 已知体彩中心有 A、B、C 三种不同价格的彩费,进价分别是 A?种彩票每张 1.5 元,B 种彩票每张 2 元,C 种彩票每张 2.5 元. (1)若经销商同时购进两种不同型号的彩票 20 扎,用去 45000 元,请你设计进 票方案; (2)若销售 A 型彩票一张获手续费 0.2 元,B 型彩票一张获手续费 0.3 元,C 型 彩票一张获手续费 0.5 元.在购进两种彩票的方案中,为使销售完时获得手续费 最多,你选择哪种进票方案? (3)若经销商准备用 45000 元同时购进 A、B、C 三种彩票 20 扎,请你设计进票 方案.

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第 9 课时

方程的应用(二)

【知识梳理】 1.一元二次方程的应用; 2. 列方程解应用题的一般步骤; 3. 问题中方程的解要符合实际情况. 【例题精讲】 例 1. 一个两位数的十位数字与个位数字和是 7,把这个两位数加上 45 后,?结果 恰好成为数字对调后组成的两位数,则这个两位数是( ) A.16 B.25 C.34 D.61 例 2. 如图,在宽为 20 米、长为 30 米的矩形地面上修 建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积 需要 551 米 2,则修建的路宽应为( ) A.1 米 B.1.5 米 C.2 米 D.2.5 米 例 3. 为执行―两免一补‖政策, 某地区 2006 年投入教育经费 2500 万元, 预计 2008 年投入 3600 万元.设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为 x ,则下列方程 正确的是( ) 2 2 A. 2500 x ? 3600 B. 2500(1 ? x) ? 3600 2 2 C. 2500(1 ? x%) ? 3600 D. 2500(1 ? x) ? 2500(1 ? x) ? 3600 例 4. 某地出租车的收费标准是: 起步价为 7 元, 超过 3 千米以后, 每增加 1 千米, ?加收 2.4 元.某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费 19 元,?设此人从甲地到 乙地经过的路程为 x 千米,那么 x 的最大值是( ) A.11 B.8 C.7 D.5 例 5. 已知某工厂计划经过两年的时间,?把某种产品从现在的年产量 100 万台提 高到 121 万台,那么每年平均增长的百分数约是________.按此年平均增长率, 预计第 4 年该工厂的年产量应为_____万台. 例 6. 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出,平均每月能售出 600 个.调查 表明:这种台灯的售价每上涨 1 元,其销售量就将减少 10 个.为了实现平均每月 10000?元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少?这时应进台灯多少个?

例 7. 幼儿园有玩具若干份分给小朋友,如果每人分 3 件,那么还余 59 件.?如果 每人分 5 件,那么最后一个人不少于 3 件但不足 5 件,试求这个幼儿园有多少 件玩具,有多少个小朋友.

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思考与收获 【当堂检测】 1. 某印刷厂 1?月份印刷了书籍 60?万册,?第一季度共印刷了 200 万册,问 2、3 月份平均每月的增长率是多少?

2. 为了营造人与自然和谐共处的生态环境,某市近年加快实施城乡绿化一体化工 程, 创建国家城市绿化一体化城市. 某校甲, 乙两班师生前往郊区参加植树活动. 已 知甲班每天比乙班少种 10 棵树, 甲班种 150 棵树所用的天数比乙班种 120 棵树所 用的天数多 2 天,求甲,乙两班每天各植树多少棵?

3. A、B、C、D 为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点 P、Q 分别从点 A、 C 同时出发,点 P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动,一直到达 B 为止,点 Q 以 2 cm/s 的速度向 D 移动. ⑴ P、Q 两点从出发开始到几秒时四边形 PBCQ 的面积为 33 cm2? ⑵ P、Q 两点从出发开始到几秒时,点 P 和点 Q 的距离是 10 cm?

4. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果,苹果的价格如下表所示.甲班分两次共购 买苹果 70kg(第二次多于第一次) ,共付出 189 元,而乙班则一次购买苹果 70kg. (1)乙班比甲班少付出多少元? (2)甲班第一次,第二次分别购买苹果多少千克? 购苹果数 每千克价格 不超过 30kg 3元 30kg 以下但 不超过 50kg 2.5 元 50kg 以上 2元

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第 10 课时
【知识梳理】

一元一次不等式(组)

1.一元一次不等式(组)的概念; 2.不等式的基本性质; 3.不等式(组)的解集和解法. 【思想方法】 1.不等式的解和解集是两个不同的概念; 2.解集在数轴上的表示方法. 【例题精讲】 例 1.如图所示,O 是原点,实数 a、b、c 在数轴上对应的点分别为 A、B、C,则 下列结论错误的是( ) A. a ? b ? 0 例 2. 不等式 ? A. x ? ? B. ab ? 0 C. a ? b ? 0 ) C. x ? ?2 D. x ? ? D. b(a ? c) ? 0
B A O C

1 x ? 1 的解集是( 2
B. x ? ?2

1 2

1 2


例 3. 把不等式组 ?

? 2 x ? 1 ? ?1 的解集表示在数轴上,下列选项正确的是( ?x ? 2 ≤ 3
0 1 B.

?1

0

1 A.

?1

?1

0

1 C.

?1

0

1 D.

例 4. 不等式组 ?

?? x ≤ 2 的整数解共有( ?x ? 2 ? 1



A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 例 5. 小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板,三人的体重一共为 150kg,爸爸坐在跷跷板 的一端,小明体重只有妈妈一半,小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸 爸那端仍然着地,那么小明的体重应小于( ) A. 49kg B. 50kg C. 24kg D. 25kg 例6.若关于x的不等式x-m≥-1的解集如图所示,则m等于( A.0 C.2 B.1 D.3
0 1 2


3 4

?2 x ? 1 ? x ? 例 7.解不等式组: (1) ?1 ? x ? 3 ?1 ?

?x ?1 3 ? x ? , ? (2) ? 5 5 ?4( x ? 4) ? 3( x ? 6) ?

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思考与收获 【当堂检测】 1.苹果的进价是每千克 3.8 元,销售中估计有 5%的苹果正常损耗.为避免亏本, 商家把售价应该至少定为每千克 元. 2. 解不等式 3x ? 2 ? 7 ,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解.

?2 x ? 2 ? 3 x ? 3 ? 3. 解不等式组 ? x ? 1 x ? 4 ,并把它的解集在数轴上表示出来. ? 3 ? 2 ? ?2 ?

4. 我市某镇组织 20 辆汽车装运完 A、B、C 三种脐橙共 100 吨到外地销售.按计 划,20 辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种脐橙,且必须装满.根据下表 提供的信息,解答以下问题: 脐 橙 品 种 A 6 12 B 5 16 C 4 10

每辆汽车运载量(吨) 每吨脐橙获得(百元) 间的函数关系式;

(1)设装运 A 种脐橙的车辆数为 x ,装运 B 种脐橙的车辆数为 y ,求 y 与 x 之 (2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于 4 辆,那么车辆的安排方案有几种?并 写出每种安排方案; (3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方案?并求出最大利润的值.

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第 11 课时

平面直角坐标系、函数及其图像

【知识梳理】 一、平面直角坐标系 1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应; 2. 各象限点的坐标的符号; 3. 坐标轴上的点的坐标特征.

? x轴 ?( a,?b) ? ? 4. 点 P(a,b)关于 ? y轴 对称点的坐标 ?( ? a, b) ?( ? a,?b) ?原点 ? ?
5.两点之间的距离

(1) P ( x1,  P2 ( x2,  P1P2 = x1 ? x2 0), 0),  1 (2) P (0,y1 ),P2 (0,y2 ), P2 = y1 ? y2 P1 1
6.线段 AB 的中点 C,若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x0 , y0 ) 则 x0 ? x1 ? x2 , y0 ? y1 ? y2
2 2

二、函数的概念 1.概念:在一个变化过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值,y 都有唯 一的值与它对应,那么就说 x 是自变量,y 是 x 的函数. 2.自变量的取值范围: (1)使解析式有意义 (2)实际问题具有实际意义 3.函数的表示方法; (1)解析法 (2)列表法 (3)图象法 【思想方法】 数形结合 【例题精讲】

2 中自变量 x 的取值范围是 ; x?2 函数 y ? 2 x ? 3 中自变量 x 的取值范围是 . 例 2.已知点 A(m ? 1 3) 与点 B(2,n ? 1) 关于 x 轴对称, m ? 则 ,
例 1.函数 y ?

, ? n



例 3.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是(10,0) ,点 B 的坐标为 (8,0),点 C、D 在以 OA 为直径的半圆 M 上,且四边形 OCDB 是平行四边形. 求点 C 的坐标.
y C O

D M B A x

例3图 例 4.阅读以下材料:对于三个数 a,b,c 用 M{a,b,c}表示这三个数的平均数,用 min{a,b,c}表示这三个数中最小的数.例如: M ??1, 3? ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ; 2,
3 3

min{-1,2,3}=-1; min ??1, a? ? ?a 2, ?
o o

??1
o

(a ≤ ?1); 解决下列问题: (a ? ?1).

(1)填空:min{sin30 ,sin45 ,tan30 }= ; (2)①如果 M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求 x;②根据①,你发现了结论―如果
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思考与收获 M{a,b,c}= min{a,b,c},那么 (填 a,b,c 的大小关系)‖. ③运用②的结论,填空:M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}若, 则 x + y= . (3)在同一直角坐标系中作出函数 y=x+1,y=(x-1)2,y=2-x 的图象(不需 列表描点) .通过观察图象,填空: y min{x+1, (x-1)2,2-x}的最大值为 .

O

x

【当堂检测】

例4图

1.点 P 在第二象限内, P 到 x 轴的距离是 4,到 y 轴的距离是 3,那么点 P 的坐 标为( ) A.(-4,3) B.(-3,-4) C.(-3,4) D.(3,-4) 2.已知点 P(x,y)位于第二象限, 并且 y≤x+4 , x,y 为整数, 写出一个符合上述条件的 .. 点 P 的坐标: . 3.点 P(2m-1,3)在第二象限,则 m 的取值范围是( ) A.m>0.5 B.m≥0.5 C.m<0.5 D.m≤0.5 4.如图,在平面直角坐标系中,直线 l 是第一、三象限的角平分线. ⑴由图观察易知 A(0,2)关于直线 l 的对称点 A? 的坐标为(2,0) ,请在图中分 别标明 B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线 l 的对称点 B? 、 C ? 的位置,并写出他们的坐 标: B? 、 C? ;

⑵结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点 P(a,b)关于第 一、三象限的角平分线 l 的对称点 P? 的坐标为 距离之和最小,并求出 Q 点坐标.
C

(不必证明) ;

⑶已知两点 D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线 l 上确定一点 Q,使点 Q 到 D、E 两点的
7 6 5 4 3 2 1

y l

A A
'

B

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2 -3

O 1

2

3

4

5

6

x

D

'

E

'

-4 -5 -6

(第22题图) 第 4 题图

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第 12 课时

一次函数图象和性质

【知识梳理】 1.正比例函数的一般形式是 y=kx(k≠0),一次函数的一般形式是 y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数 y ? kx ? b 的图象是经过( ? 3. 一次函数 y ? kx ? b 的图象与性质
k、b 的符号 图像的大致 位置 k>0,b>0 k>0,b<0 k<0,b>0 k<0,b<0

b ,0)和(0,b)两点的一条直线. k

经过象限 性质



象限



象限



象限



象限

y 随 x 的增大 而

y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大 而 而

y 随 x 的增大 而

【思想方法】数形结合 【例题精讲】 例 1. 已知一次函数物图象经过 A(-2,-3),B(1,3)两点. (1)求这个一次函数的解析式; (2)试判断点 P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上; (3)求此函数与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积.

例 2. 已知一次函数 y=(3a+2)x-(4-b),求字母 a、b 为何值时: (1)y 随 x 的增大而增大; (2)图象不经过第一象限; (3)图象经过原点; (4)图象平行于直线 y=-4x+3; (5)图象与 y 轴交点在 x 轴下方.

例 3. 如图,直线 l1 、l2 相交于点 A,l1 与 x 轴的交点坐标为(-1,0) 2 与 y ,l 轴的交点坐标为(0,-2) ,结合图象解答下列问题: (1)求出直线 l2 表示的一次函数表达式; (2)当 x 为何值时,l1 、l2 表示的两个一次函数的函 数值都大于 0?

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2 例 4.如图,反比例函数 y ? 的图像与一次函数 y ? kx ? b 的图像交于点 A(m, x
2),点 B(-2, n ),一次函数图像与 y 轴的交点为 C. (1)求一次函数解析式; (2)求 C 点的坐标; (3)求△ AOC 的面积.

【当堂检测】 1.直线 y=2x+8 与 x 轴和 y 轴的交点的坐标分别是_______、_______; 2.一次函数 y1 ? kx ? b 与 y2 ? x ? a 的图象如图,则下列 y 结论:① k ? 0 ;② a ? 0 ;③当 x ? 3 时, y1 ? y2 中, 正确的个数是( ) A.0 B.1 O C.2 D.3 3

y2 ? x ? a
x

第 2 题图 3.一次函数 y ? (m ? 1) x ? 5 , y 值随 x 增大而减小,则 m 的取值范围是( A. m ? ?1 B. m ? ?1 C. m ? ?1 ) C.第三象限 D. m ? 1

y1 ? kx ? b


4.一次函数 y ? 2 x ? 3 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限

D.第四象限 )

5.已知函数 y ? kx ? b 的图象如图,则 y ? 2kx ? b 的图象可能是(

第 5 题图 6.已知整数 x 满足-5≤x≤5,y1=x+1,y2=-2x+4 对任意一个 x,m 都取 y1,y2 中的较 小值,则 m 的最大值是( ) A.1 B.2 C.24 D.-9

7.如图,点 A 的坐标为(-1,0),点 B 在直线 y=x 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标为 ( A.(0,0)
1 1 C.(- ,- ) 2 2

) B.(
2 2 ,? ) 2 2

y

B

2 2 D.(- ,- ) 2 2

A

O

x

第 7 题图
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第 13 课时

一次函数的应用

【例题精讲】 例题 1.某地区的电力资源丰富,并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了 鼓励居民用电,采用分段计费的方法来计算电费.月用电量 x(度)与相应电费 y (元)之间的函数图像如图所示. ⑴月用电量为 100 度时,应交电费 元; ⑵ 当 x≥100 时,求 y 与 x 之间的函数关系式; ⑶ 月用电量为 260 度时,应交电费多少元?

例题 2. 在一次远足活动中,某班学生分成两组,第一组由甲地匀速步行到乙地后 原路返回,第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回,两组同时 出发,设步行的时间为 t(h) ,两组离乙地的距离分别为 S1(km)和 S2(km),图 中的折线分别表示 S1、S2 与 t 之间的函数关系. (1)甲、乙两地之间的距离为 km,乙、丙两地之间的距离为 km; (2)求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙 S(km) 地到达丙地所用的时间分别是多少? 8· (3)求图中线段 AB 所表示的 S2 与 t 间的函数 6· 关系式,并写出 t 的取值范围. 4· B 2· 0 A 2 t(h)

例题 3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润 y (万元)与销售量 x (万升) 之间函数关系的图象如图中折线所示, 该加油站截止到 13 日调价时的销售利润为 4 万元, 截止至 15 日进油时的销售利润为 5.5 万元. (销售利润= (售价-成本价) × 销售量) 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息, 解答下列问题: (1)求销售量 x 为多少时,销售利润为 4 万元; (2)分别求出线段 AB 与 BC 所对应的函数关系式; (3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率,那么,在 OA、AB、BC 三段 所表示的销售信息中,哪一段的利润率最大?(直接写出答案)

1 日:有库存 6 万升,成本 价 4 元/升,售价 5 元/升. 13 日:售价调整为 5.5 元/ 升. 15 日:进油 4 万升,成本 价 4.5 元/升. 31 日: 本月共销售 10 万升.

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思考与收获 例题 4.奥林玩具厂安排甲、乙两车间分别加工 1000 只同一型号的奥运会吉祥物, 每名工人每天加工的吉祥物个数相等且保持不变,由于生产需要,其中一个车间 推迟两天开始加工.开始时,甲车间有 10 名工人,乙车间有 12 名工人,图中线 段 OB 和折线段 ACB 分别表示两车间的加工情况.依据图中提供信息,完成下列 各题: (1)图中线段 OB 反映的是________车间加工情况; y(只) (2)甲车间加工多少天后,两车间加工 1000 B 的吉祥物数相同? 960 C (3)根据折线段 ACB 反映的加工情况, 请你提出一个问题,并给出解答.

O

A 2

18 20 x(天)

【当堂检测】 1.如图(1), 在直角梯形 ABCD 中, 动点 P 从点 B 出发, D C 沿 BC, 运动至点 D 停止. CD 设点 P 运动的路程为 x , P △ ABP 的面积为 y, 如果 y 关于 x 的函数图象如图(2) A B O 5 x 2 所示,则△ BCD 的面积是( ) 图(1) 图(2) A.3 B.4 C.5 D.6 第 1 题图 2.如图,在中学生耐力测试比赛中,甲、乙两 学生测试的路程 s(米)与时间 t(秒)之间的 函数关系的图象分别为折线 OABC 和线段 OD,下列说法正确的是( A.乙比甲先到终点 B.乙测试的速度随时间增加而增大 C.比赛到 29.4 秒时,两人出发后第一次相遇 第 2 题图 D.比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快 3.小高从家门口骑车去单位上班, 先走平路到达点 A,再走上坡路到达点 B,最后走下坡路到达工作 单位,所用的时间与路程的关系如图所示.下班 后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下 坡路的速度分别保持和去上班时一致,那么他从 单位到家门口需要的时间是( ) A.12 分钟 B.15 分钟 第 3 题图 C.25 分钟 D.27 分钟 4.在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返 回.设汽车从甲地出发 x(h)时,汽车与甲地的距离为 y(km),y 与 x 的函数关系如 图所示.根据图像信息,解答下列问题: (1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说 明理由; (2)求返程中 y 与 x 之间的函数表达式; (3)求这辆汽车从甲地出发 4h 时与甲地的 距离. 第 4 题图
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第 14 课时

反比例函数图象和性质

【知识梳理】 1.反比例函数:一般地,如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y= 或 (k 为常数,k≠0)的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数. 2. 反比例函数的图象和性质 k 的符号 k>0 y 图像的大致位置 o 第 x 象限 第 k<0 y o x 象限

经过象限 性质

在每一象限内,y 随 x 的 增大而

在每一象限内,y 随 x 的 增大而

3.k 的几何含义:反比例函数 y= 的几何意义,即过双曲线 y=

k (k≠0)中比例系数 k x

k (k≠0)上任意一点 P 作 x

x 轴、 轴垂线, y 设垂足分别为 A、 则所得矩形 OAPB B, 的面积为 . 【思想方法】 数形结合 【例题精讲】 例 1 某汽车的功率 P 为一定值,汽车行驶时的速度 v(米/秒)与它所受的牵引 力 F(牛)之间的函数关系如右图所示: (1)这辆汽车的功率是多少?请写出这一函数的表达式; (2)当它所受牵引力为 1200 牛时,汽车的速度为多少千米/时? (3)如果限定汽车的速度不超过 30 米/秒,则 F 在什么范围内?

例 2 如图,一次函数 y ? kx ? b 的图象与反比例函 数y?

y A

m 的图象交于 A(?2,,B(1 n) 两点. 1) , x

O x B

(1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式; (2)求 △AOB 的面积; (3)x 为何值时,一次函数值大于反比例函数值.

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思考与收获 【当堂检测】 1. (2008 年河南)已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3) ,则 m 的值 为 .

2.(2008 年宜宾)若正方形 AOBC 的边 OA、OB 在坐标轴上,顶点 C 在第一象 限且在反比例函数 y= 3.在反比例函数 y ?

1 的图像上,则点 C 的坐标是 x

.

k ?3 图象的每一支曲线上,y 都随 x 的增大而减小,则 k 的 x 取值范围是 ( ) A.k>3 B.k>0 C.k<3 D. k<0 y 4. (2008 年广东)如图,反比例函数图象过点 P,则它的解析式为( )

1 1 (x>0) B.y=- (x>0) x x 1 1 C.y= (x<0) D.y=- (x<0) x x
A.y=

P

1

-1 O 第 4 题图

x

5.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数,其图象如图所示.当气球内的气压大于 120 kPa 时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应( ) 5 5 A.不小于 m3 B.小于 m3 4 4 4 4 C.不小于 m3 D.小于 m3 5 5 第 5 题图 k 6.2008 巴中) ( 如图, 若点 A 在反比例函数 y ? (k ? 0) 的图象上,AM ? x 轴于点 M , AMO 的面积为 3, △ 则k ? . 7. 对于反比例函数 y ?

x

2 , 下列说法不正确的是 ... ( x



第 6 题图 A.点 (?2, 1) 在它图象上 B.图象在第一、三象限 ? C.当 x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大 D.当 x ? 0 时, y 随 x 的增大而减小 8.(2008 年乌鲁木齐)反比例函数 y ? ?

6 的图象位于( x



A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第二、三象限 D.第一、二象限 9.某空调厂装配车间原计划用 2 个月时间(每月以 30 天计算) ,每天组装 150 台 空调. (1)从组装空调开始,每天组装的台数 m(单位:台/天)与生产的时间 t(单 位:天)之间有怎样的函数关系? (2)由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市,那么装配车间每天 至少要组装多少空调?

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思考与收获

第 15 课时
【知识梳理】
2

二次函数图象和性质

1. 二次函数 y ? a( x ? h) ? k 的图像和性质

a >0
y

a <0

图 开

象 O 口

x

对 称 轴 顶点坐标 最 增 减 性 值 当 x= 时,y 有最 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 值 当 x= 时, 有最 y y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而
2



在对称轴左侧 在对称轴右侧
2

2. 二次函数 y ? ax ? bx ? c 用配方法可化成 y ? a? x ? h ? ? k 的形式,其中

h=



k=
2

.
2

3. 二次函数 y ? a( x ? h) ? k 的图像和 y ? ax 图像的关系. 4. 二次函数 y ? ax ? bx ? c 中 a, b, c 的符号的确定.
2

【思想方法】 数形结合 【例题精讲】 例 1.已知二次函数 y ? x ? 4 x ,
2

(1) 用配方法把该函数化为 y ? a( x ? h) ? k (其中 a、h、k 都是常数且 a≠0)形式,并画 出这个函数的图像,根据图象指出函数的对称 轴和顶点坐标. (2) 求函数的图象与 x 轴的交点坐标.
2

y

例 2. (2008 年大连)如图,直线 y ? x ? m 和抛物线
B

y ? x ? bx ? c 都经过点 A(1,0),B(3,2).
2

⑴ 求 m 的值和抛物线的解析式; ⑵ 求不等式 x ? bx ? c ? x ? m 的解集.(直接写出答案)
2

O

A

x

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思考与收获 【当堂检测】 1. 抛物线 y ? ? x ? 2 ? 的顶点坐标是
2
2

. .

2.将抛物线 y ? ?3x 向上平移一个单位后,得到的抛物线解析式是 3. 如图所示的抛物线是二次函数 y ? ax ? 3x ? a ? 1
2 2

的图象,那么 a 的值是
2

. ) 第 3 题图

4.二次函数 y ? ( x ? 1) ? 2 的最小值是( A.-2 B.2 C.-1 D.1

5. 请写出一个开口向上,对称轴为直线 x=2,且与 y 轴的 交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式
2

.

6.已知二次函数 y ? ? x ? 2 x ? m 的部分图象如右图所示, 则 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ? x ? 2x ? m ? 0 的 解 为 . 7.已知函数 y=x2-2x-2 的图象如图所示,根据其中提供的信
2

第 6 题图

息,可求得使 y≥1 成立的 x 的取值范围是( A.-1≤x≤3 B.-3≤x≤1
2

) D.x≤-1 或 x≥3

C.x≥-3

8. 二次函数 y ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )的图象如图所示,则下列结论: ① a >0; ② c >0; ③ b2-4 a c >0,其中正确的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

第 7 题图
2

第 8 题图

9. 已知二次函数 y ? ax ? 4 x ? 3 的图象经过点(-1,8). (1)求此二次函数的解析式; (2)根据(1)填写下表.在直角坐标系中描点,并画出函数的图象; x y (3)根据图象回答:当函数值 y<0 时,x 的取值范围是什么? 0 1 2 3 4

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思考与收获

第 16 课时
【知识梳理】 1. 二次函数的解析式: (1)一般式: 2. 顶点式的几种特殊形式.

二次函数应用
; (2)顶点式:



,⑵
2

,⑶

, (4)
2

.

3.二次函数 y ? ax ? bx ? c 通过配方可得 y ? a( x ?

线关于直线 x ? 对称,顶点坐标为( , ). ⑴ 当 a ? 0 时,抛物线开口向 ,有最 (填―高‖或―低‖)点, 当 时, y 有最 (―大‖或―小‖)值是 ; x? ⑵ 当 a ? 0 时,抛物线开口向 时, y 有最 x?

b 2 4ac ? b ,其抛物 ) ? 2a 4a

,有最 (填―高‖或―低‖)点, 当 (―大‖或―小‖)值是 .

【思想方法】 数形结合 【例题精讲】 例 1. 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池,并在水池中央垂直安装一个柱子 OP, 柱子顶端 P 处装上喷头,由 P 处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的 抛物线路径落下(如图所示).若已知 OP=3 米,喷出的水流的最高点 A 距水平 面的高度是 4 米,离柱子 OP 的距离为 1 米. (1)求这条抛物线的解析式; (2)若不计其它因素,水池的半径至少要多少米, 才能使喷出的水流不至于落在池外?

例 2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林 专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润 y1 与投 资量 x 成正比例关系,如图(1)所示;种植花卉的利润 y 2 与投资量 x 成二次函 数关系,如图(2)所示(注:利润与投资量的单位:万元) ⑴ 分别求出利润 y1 与 y 2 关于投资量 x 的函数关系式; ⑵ 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木, 他至少获得多少利润?他 能获取的最大利润是多少?

(1)
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(2)

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思考与收获 【当堂检测】 1. 有一个抛物线形桥拱,其最大高度为 16 米,跨度为 40 米,现在它的示意图放在平面直角坐标系中如图,则 此抛物线的解析式为 . 第 1 题图 2. 某公司的生产利润原来是 a 元, 经过连续两年的增长达 到了 y 万元, 如果每年增长的百分数都是 x, 那么 y 与 x 的函数关系是 ( )

A.y=x2+a B.y= a(x-1)2 C.y=a(1-x)2 D.y=a(l+x)2 3.如图,用长为 18 m 的篱笆(虚线部分) ,两面靠墙围成矩形的苗圃. 2 ⑴ 设矩形的一边为 x?m ? 面积为 y (m ),求 y 关于 x 的函数关系式,并写出自 变量 x 的取值范围; ⑵ 当 x 为何值时,所围苗圃的面积最大,最大面积是多少?

4.体育测试时,初三一名高个学生推铅球,已知铅球所经过的路线为抛物线

y??

1 2 2 5 x ? x ? 的一部分,根据关系式回答: 12 3 3

⑴ 该同学的出手最大高度是多少? ⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少? ⑶ 该同学的成绩是多少?

5.某企业信息部进行市场调研发现: 信息一:如果单独投资 A 种产品,则所获利润 y A (万元)与投资金额 x (万元)之间 存在正比例函数关系: y A ? kx ,并且当投资 5 万元时,可获利润 2 万元; 信息二:如果单独投资 B 种产品,则所获利润 y B (万元)与投资金额 x (万元)之间 存在二次函数关系: yB ? ax ? bx ,并且当投资 2 万元时,可获利润 2.4 万元;
2

当投资 4 万元,可获利润 3.2 万元. (1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式; (2) 如果企业同时对 A、B 两种产品共投资 10 万元,请你设计一个能获得最大利 润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少.

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第 17 课时

数据的描述、分析(一)

【知识梳理】 1.掌握总体、个体、样本、样本容量四个基本概念; 2.理解样本平均数、极差、方差、 标准差、中位数、众数. 【思想方法】 1. 会运用样本估计总体的思想 【例题精讲】 例 1.某校高一新生参加军训,一学生进行五次实弹射击的成绩(单位:环) 如下:8,6,10,7,9,则这五次射击的平均成绩是 环,中位数 环,极差是 环,方差是 环 .
2

例 2.已知样本 x1、x2、x3、x4 的平均数是 2,则 x1+3、x2+3、x3+3、x4+3 的平均 数为 ; .已知样本 x1,x2,x3,…,xn 的方差是 1,那么样本 2x1+3, 2x2+3,2x3+3,…,2xn+3 的方差是 , 标准差是 . 例 3.小明上学期六门科目的期末考试成绩(单位:分)分别是:120,115, x,60,85,80.若平均分是 93 分,则 x=_________,一组数据 2,4,x,2, 3,4 的众数是 2,则 x= . 例 4.为了了解我市九年级学生中考数学成绩,从所有考生的试卷中抽取 1000 份试卷进行统计分析,在这个问题中,样本是被抽取的 1000 名学生,则总体 是 ,个体是 , 样本是 ,样本容量是 . 例 5.某校九年级(1)班积极响应校团委的号召, 每位同学都向―希望工程‖ 捐献图书,全班 40 名同学共捐图书 320 册.特别值得一提的是李扬、王州两 位同学在父母的支持下各捐献了 50 册图书. 班长统计了全班捐书情况如下 表(被粗心的马小虎用墨水污染了一部分): 册 数 人 数 4 6 5 8 6 1 5 7 8 5 0 2

⑴ 分别求出该班级捐献 7 册图书和 8 册图书的人数; ⑵ 请算出捐书册数的平均数、中位数和众数, 并判断其中哪些统计量不能 反映该班同学捐书册数的一般状况,说明理由.

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思考与收获 【当堂检测】 1.下列调查方式,合适的是( ) A.要了解一批灯泡的使用寿命,采用普查方式. B.要了解淮安电视台―有事报道‖栏目的收视率,采用普查方式. C.要保证―神舟六号‖载人飞船成功发射,对重要零部件的检查采用抽查 方式. D.要了解外地游客对―淮扬菜美食文化节‖的满意度,采用抽查方式. 2.刘翔为了备战 2008 年奥运会,刻苦进行 110 米跨栏训练,为判断他的成绩是否 稳定,教练对他 10 次训练的成绩进行统计分析,则教练需了解刘翔这 10 次成绩 的( ) A.众数 B.方差 C.平均数 D.频数 3.人民商场对上周女装的销售情况进行了统计,如下表所示: 颜色 数量(件) 黄色 100 绿色 180 白色 220 紫色 80 红色 550

经理决定本周进女装时多进一些红色的,来解释这一现象的统计知识是( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 4.下列调查方式中.不合适的是( ) A. 了解 2008 年 5 月 18 日晚中央也视台―爱的奉献‖抗震救灾文艺晚会的收视率, 采用抽查的方式. B.了解某渔场中青鱼的平均重量,采用抽查的方式. C.了解某型号联想电脑的使用寿命,采用普查的方式. D.了解一批汽车的刹车性能,采用普查的方式. 5.某校参加―姑苏晚报· 可口可乐杯‖中学生足球赛的队员的年龄如下(单位: 13, 岁): 14,16,15,14,15,15,15,16,14,则这些队员年龄的众数是____. 6.在校园歌手大赛中,七位评委对某位歌手的打分如下:9.8,9.5,9.7, 9.6,9.5,9.5,9.6,则这组数据的平均数是 ,极差是 . 7.数据 1 , ?3 , 4 , ?2 的方差 S 2 ? .

8.江苏省《居住区供配电设施建设标准》规定,住房面积在 120m2 及以下的 居民住宅,用电的基本配置容量(电表的最大功率)应为 8 千瓦.为了了解某 区该类住户家用电器总功率情况,有关部门从中随机调查了 50 户居民,所 得数据(均取整数)如下: 家用电器总功率 (单位:千瓦) 户数 2 2 3 4 4 8 5 12 6 16 7 8

(1)这 50 户居民的家用电器总功率的众数是 千瓦,中位数 是 千瓦; (2)若该区这类居民约有 2 万户,请你估算这 2 万户居民家用电器总功率 的平均值; (3)若这 2 万户居民原来用电的基本配置容量都为 5 千瓦,现市供电部门 拟对家用电器总功率已超过 5 千瓦用户的电表首批增容,改造为 8 千瓦, 请计算该区首批增容的用户约有多少户?

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第 18 课时

数据的描述、分析(二)

【知识梳理】 1. 明确扇形图、条形图、折线统计图的区别与联系. 【思想方法】 1. 基本图形的识别. 【例题精讲】 例 1.下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图,下列对两户教 育支出占全年总支出的百分比作出的判断中,正确的是( ) A.甲户比乙户大 B.乙户比甲户大 C.甲、乙两户一样大 D.无法确定哪一户大

例1图

例 2.在―不闯红灯,珍惜生命‖活动中,文明中学的关欣和李好两位同学某天 来到城区中心的十字路口,观察、统计上午 7:00~12:00 中闯红灯的人 次.制作了如下的两个数据统计图. (1)求图(一)提供的五个数据(各时段闯红灯人次)的众数和平均数. (2)估计一个月(按 30 天计算)上午 7:00~12:00 在该十字路口闯红灯 的未成年人约有________人次. (3)请你根据统计图提供的信息向交通管理部门提出一条合理化建议.

例2图

例 3.数学课上,年轻的刘老师在讲授―轴对称‖时,设计了如下四种教学方法: ①教师讲,学生听; ②教师让学生自己做; ③教师引导学生画图,发现规律; ④教师让学生对折纸,观察发现规律,然后画图. 数学教研组长将上述教学方法作为调研内容发到全年级 8 个班 420 名同学手中,
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思考与收获 要求每位同学选出自己最喜欢的一种,他随机抽取了 60 名学生的调查问卷,统 计如图: (1)请将条形统计图补充完整,并计算扇形统计图中方法③的圆心角. (2) 年级同学中最喜欢的教学方法是哪一种?选择这种教学方法的约有多少人? (3)假如抽取的 60 名学生集中在某两个班,这个调查结果还合理吗?为什么? (4)请你对老师的教学方法提出一条合理化的建议.

【当堂检测】 1.国家规定―中小学生每天在校体育活动时间不低于 1 小时‖. 为此, 某市就―你每 天在校体育活动时间是多少‖的问题随机调查了辖区内 300 名初中 生. 根据调 查结果绘制成的统计图(部分)如图所示,其中分组情况是: A 组: t ? 0.5h ; B 组:0.5h≤t<1h C 组: 1h ≤ t ? 1.5h D 组: t ≥1.5h 请根据上述信息解答下列问题: (1)C 组的人数是 ; (2)本次调查数据的中位数落在 组内; (3)若该辖区约有 24 000 名初中学生,请你估计 其中达国家规定体育活动时间的人约有多少?

第 1 题图 2.(2009 年吉林省)某校七年级有 13 名同学参加百米竞赛,预赛成绩各不相同, 要取前 6 名参加决赛,小梅已经知道了自己的成绩,她想知道自己能否进入决赛, 还需要知道这 13 名同学成绩的( ) A.中位数 B.众数 C.平均数 D.极差 3.(2009 年鄂州)有一组数据如下:3、a、4、6、7,它们的平均数是 5,那么这组 数据的方差是( ) A.10 B. 10 C.2 D. 2

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第 19 课时

概率问题及其简单应用(一)

【知识梳理】 1.了解频数、频率、必然事件和不可能事件、确定事件、随机事件、频率的 稳定性等概念,并能进行有效的解答或计算. 2.在具体情境中了解概率的意义;能够运用列举法(包括列表、画树状图) 求简单事件发生的概率.能够准确区分确定事件与不确定事件. 3. 必然事件发生的概率是 1, 记作 P A) 不可能事件发生的概率为 0, ( =1 记作 P (A)=0 随机事件发生的概率是 0 和 1 之间的一个数,即 0<P(A)<1 【思想方法】 概率主要是研究现实生活中和客观世界中的随机现象,它通过对事件发生可 能性的刻画,来帮助人们做出合理的决策.随着社会的不断发展 概率的思想方法 也越来越重要.因此, 概率知识是各地中考重点考查内容之一. 加强统计与概率的联系,这方面的题型以综合题为主,将逐渐成为新课标下 中考的热点问题. 【例题精讲】 例 1.(2008 年张家界)下列事件中是必然事件的是( ) A.明天我市天气晴朗 B.两个负数相乘,结果是正数 C.抛一枚硬币,正面朝下 D.在同一个圆中,任画两个圆周角,度数相等 例 2.在一次抽奖游戏中,主持人说,这次中奖的可能性有 10%,就是说 100 个 人中有 10 个人可以获奖.旁边的一个人就想,我在这儿等着,等前面的 90 个人抽 完,看看他们抽到奖没有,如果他们没有抽到奖,那我就可以抽到奖了.因为中奖 的可能性是 10%.你说这个人的想法对吗? 例 3. (2008 年湘潭)某中学为促进课堂教学,提高教学质量,对七年级学生 进行了一次―你最喜欢的课堂教学方式‖的问卷调查.根据收回的问卷,学校绘制 了―频率分布表‖和―频数分布条形图‖(如图 2) .请你根据图表中提供的信息,解 答下列问题. 频率分布表: 代号 1 2 3 4 教学方式 老师讲,学生听 老师提出问题,学生探索思考 学生自行阅读教材,独立思考 分组讨论,解决问题 最喜欢的频数 20 100 30 0.15 0.25 频率 0.10

(1)补全―频率分布表‖; (2)在―频数分布条形图‖中,将代号为―4‖的部分补充完整; (3)你最喜欢以上哪一种教学方式或另外的教学方式,请提出你的建议,并简要 说明理由. (字数在 20 字以内)

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思考与收获 【当堂检测】 1.下列事件你认为是必然事件的是( ) A.中秋节的晚上总能看到圆圆的月亮; B.明天是晴天 C.打开电视机,正在播广告; D.太阳总是从东方升起 2.将五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、正六边形的卡片 任意摆放,将有图形的一面朝下,从中任意翻开一张卡片,图形一定是中心对称 图形的概率是( ) A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

3.在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球,这 a 个球中红球只有 3 个.每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复 摸球实验后发现,摸到红球的频率稳定在 25%,那么可以推算出 a 大约是( ) A.12 B.9 C.4 D.3 4.在中考体育达标跳绳项目测试中,1min 跳 160 次为达标,?小敏记录了他预测 时,1min 跳的次数分别为 145,155,140,162,164,?则他在该次预测中达标的 概率是_________. 5.有一道四选一的选择题,某同学完全靠猜测获得结果,则这个同学答对的概率 是________. 6.在一所 4000 人的学校随机调查了 100 人,其中有 76 人上学之前吃早饭,?在 这所学校里随便问一个人,上学之前吃过早餐的概率是________. 7. 书架上有数学书 3 本,英语书 2 本,语文书 5 本,从中任意抽取一本是数学书 的概率是( )

3 3 1 C. D. 5 10 5 8.小华与小丽设计了 A,B 两种游戏: 游戏 A 的规则:用 3 张数字分别是 2,3,4 的扑克牌,将牌洗匀后背面朝上
A. B. 放置在桌面上,第一次随机抽出一张牌记下数字后再原样放回,洗匀后再第二次 随机抽出一张牌记下数字.若抽出的两张牌上的数字之和为偶数,则小华获胜; 若两数字之和为奇数,则小丽获胜. 游戏 B 的规则:用 4 张数字分别是 5,6,8,8 的扑克牌,将牌洗匀后背面朝 上放置在桌面上,小华先随机抽出一张牌,抽出的牌不放回,小丽从剩下的牌中 再随机抽出一张牌.若小华抽出的牌面上的数字比小丽抽出的牌面上的数字大, 则小华获胜;否则小丽获胜. 请你帮小丽选择其中一种游戏,使她获胜的可能性较大,并说明理由.

1 10

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第 20 课时
【知识梳理】

概率问题及其简单应用(二)

1.频数、频率、概率:对一个随机事件做大量实验时会发现,随机事件发生的次 数(也称为频数)与试验次数的比(也就是频率)总是在一个固定数值附近摆 动,这个固定数值就叫随机事件发生的概率,概率的大小反映了随机事件发生 的可能性的大小. 2.概率的性质:P(必然事件)= 1,P(不可能事件)= 0, 0<P(不确定事件)<1. 【思想方法】 频率与概率是两个不同的概念,概率是伴随着随机事件客观存在着的,只要有 一个随机事件存在,那么这个随机事件的概率就一定存在;而频率是通过实验得 到的,它随着实验次数的变化而变化,但当试验的重复次数充分大后,频率在概 率附近摆动,为了求出一随机事件的概率,我们可以通过多次实验,用所得的频 率来估计事件的概率. 【例题精讲】 例 1.小明、小华用 4 张扑克牌(方块 2,黑桃 4,黑桃 5,?梅花 5)玩游戏,他俩 将扑克牌洗匀后,背面朝上放置在桌面上,小明先抽,小华后抽,?抽出的牌不放 回. (1)若小明恰好抽到了黑桃 4. ①请在下边框中绘制这种情况的树状图; ②求小华抽出的牌面数字比 4 大的概率. (2)小明、小华约定:若小明抽到的牌面数字比小华的大,则小明胜;反之, ?则小明负,你认为这个游戏是否公平?说明你的理由.

例 2 (2008 年宁夏)张红和王伟为了争取到一张观看奥运知识竞赛的入场券,他们 各自设计了一个方案: 张红的方案是:转动如图所示的转盘,如果指针停在阴影区域,则张红得到 入场券; 如果指针停在白色区域, 则王伟得到入场券 (转盘被等分成 6 个扇形. 若 指针停在边界处,则重新转动转盘). 王伟的方案是:从一副扑克牌中取出方块 1、2、3,将 它们背面朝上重新洗牌后,从中摸出一张,记录下牌面数字 后放回,洗匀后再摸出一张.若摸出两张牌面数字之和为奇 数,则张红得到入场劵;若摸出两张牌面数字之和为偶数, 则王伟得到入场券. (1)计算张红获得入场券的概率,并说明张红的方案是否公平? (2)用树状图(或列表法)列举王伟设计方案的所有情况,计算王伟获得入场券 的概率,并说明王伟的方案是否公平?

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思考与收获 【当堂检测】 1.某校九年级三班在体育毕业考试中,全班所有学生得分的情况如下表,那么该 班共有_______人, 随机地抽取 l 人, 恰好是获得 30 分的学生的概率是_______, 从表中你还能获取的信息是________(写出一条即可)

2.完全相同的 4 个小球,上面分别标有数字 1、-1、2、-2,将其放入一个不 透明的盒子中摇匀,再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀).把第一次、 第二次摸到的球上标有的数字分别记作 m、n,以 m、n 分别作为一个点的横坐标 与纵坐标,求点(m,n)不在第二象限的概率.(用树状图或列表法求解)

3.如图的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等, 那么两个指针同时落在偶数上的概率是 .

4.掷 2 枚 1 元钱的硬币和 3 枚 1 角钱的硬币,1 枚 1 元钱的硬币和至少 1 枚 1 角 钱的硬币的正面朝上的概率是 . 5. 小红、 小明、小芳在一起做游戏时需要确定做游戏的先后顺序,他们约定用―剪 子、包袱、锤子‖的方式确定,问在一个回合中三个人都出包袱的概率是____ 6.图(2)是中国象棋棋盘的一部分,图中红方有两个马,黑方有三个卒子和一 个炮,按照中国象棋中马的行走规则(马走日字,例如:按图(1)中的箭头 方向走) ,红方的马现在走一步能吃到黑方棋子的概率是多少? 卒 卒 马 卒 炮 马 图 (1) 图 (2) 马

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第 21 课时

线段、角、相交线与平行线

【知识梳理】 1、线段、角、相交线与平行线的概念,互余、互补的概念 2、线段、角的大小的比较 3、平行线的性质和判定 【例题精讲】 例题 1. 如图,AB∥CD,AE 交 CD 于点 C,DE⊥AE,垂足为 E,∠A=37? ,求∠D 的度数. E C D

A 例题 2. 如图所示,下列条件中,不能判断 L1∥L2 的是( ) A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°

B

例题 3.(1)数轴上有两点 A、B 分别表示实数 a、b,则线段 AB 的长度是( ) A.a-b B.a+b C.│a-b│ D.│a+b│ (2)已知线段 AB,在 BA 的延长线上取一点 C,使 CA=3AB,则线段 CA 与 线段 CB 之比为( ) A.3:4 B.2:3 C.3:5 D.1:2 例题 4. 如图, 已知直线 AB∥CD, ∠C=115° ,∠A=25° ?E ? ( ,则 A. 70
?

)

B. 80

?

C . 90

?

D . 100

?

例题 5. 如图,DE+AB=AD,∠1=∠E, 求证: (1)∠2=∠B; (2) 若∠E+∠1+∠2+∠B=180° 则 DE∥AB. ,

(第 4 题)

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思考与收获 【当堂检测】 1.如图,已知 a∥b,∠1=50° ,则∠2=______度.

第1题图

第4题图

第5题图

2.已知∠α 与∠β 互余,且∠α=40°,则∠β 的补角为______度. 3.时钟在 4 点整时,时针与分针的夹角为_______度. 4.如图,点 A、B、C 在直线 L 上,则图中共有______条线段. 5. (2009 年 常 德 )如图,已知 AE // BD ,∠1=130o,∠2=30o,则∠C= 6.(2009 年黄石市)如图, AB ∥CD,?1 ? 50° ?2 ? 110° 则 ?3 ? , , 7.(2008 年安徽)如图,已知 a∥b,∠1=70° ,∠2=40° ,则∠3= __________. 1 2 E 第8题图 F D

. .

A

13 2 第6题图

B

C

C

D

A

B

第7题图 8.(2009 年清远)如图, AB ∥CD , EF ? AB 于 E,EF 交 CD 于 F ,已知 ) ?1 ? 60°,则 ?2 ? ( E A.20° B.60° C.30° D.45° G 1 B 9.(2009 重庆綦江)如图,直线 EF 分别与直线 AB、CD A 相交于点 G、H,已知∠1=∠2=60° ,GM 平分∠HGB 交直 H 2 3 M 线 CD 于点 M.则∠3=( ) C D A.60° B.65° C.70° D.130° F 第9题图 10.如图,已知 AB⊥BC,DC⊥BC,BE∥CF,求证:∠1=∠2.

第10题图

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第 22 课时

三角形基础知识

【知识梳理】 1、三角形三边的关系;三角形的分类 2、三角形内角和定理; 3、三角形的高,中线,角平分线 4、三角形中位线的定义及性质 【 思想方法】 方程思想,分类讨论等 【例题精讲】 例 1. 如图, 在△ ABC 中, 是 BC 边上一点, D ∠1=∠2, ∠3=∠4, ∠BAC=63° 求 . ∠DAC 的度数.
A
1

2

3

4

B

D
A

C

例 2. 如图,已知 DE∥BC,CD 是∠ACB 的平分线,∠B=70° ,∠ACB=50° , 求∠EDC 和∠BDC 的度数.
D

E

B

C

例 3.现有 2cm、4cm、8cm 长的四根木棒,任意选取三根组成一个三角形,那么 可以组成三角形的个数为( A. 1 个 B. 2 个 ). C. 3 个 D. 4 个

例 4.(2009 年绍兴市)如图, D,E 分别为 △ABC 的 AC , BC 边的中点,将 此三角形沿 DE 折叠,使点 C 落在 AB 边上的点 P 处.若 ?CDE ? 48° ,则 ) ?APD 等于( A . 42° B . 48° C . 52° D. 58°

例 5(2009 年衡阳市)如图 2 所示,A、B、C 分别表示三个村庄,AB=1000 米, BC=600 米,AC=800 米,在社会主义新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一 个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心 P 的位置 应在( ) A A.AB 中点 B.BC 中点 C.AC 中点 D.∠C 的平分线与 AB 的交点 C B

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A 【当堂检测】 70 1.如图,在△ ABC 中,∠A=70° ,∠B=60° ,点 D 在 A ° BC 的延长线上,则∠ACD= 度. 60 B 2. △ABC 中, D,E 分别是 AB,AC 的 ° A 中点,当 BC ? 10cm 时, DE ? cm. 第 1 题图 B 3.如图在△ ABC 中,AD 是高线,AE 是角平分线,AF 中线. (1) ∠ADC= =90° ;(2) ∠CAE= =0.5 (3) CF= =0.5 ; (4) S△ ABC=

思考与收获

C D

C
; .

D

C F E D B

A

第 3 题图 第 4 题图 4.如图, ⊿ABC 中, = 40° ∠A ,∠B = 72° CE 平分∠ACB, , CD⊥AB 于 D, DF⊥CE, 则∠CDF = 度. 5.(2009 年十堰市)下列命题中,错误的是( ) . A.三角形两边之和大于第三边 B.三角形的外角和等于 360° C.三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 D.等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形 6.(2009 年重庆)观察下列图形,则第 n 个图形中三角形的个数是( …… 第1个 第2个 第3个 D B A E F C )

A. 2n ? 2 B. 4n ? 4 C. 4n ? 4 D. 4n 7. (2008 佳木斯)如图,将 △ABC 沿 DE 折叠, 使 点 A 与 BC 边 的 中 点 F 重 合 , 下 列 结 论 中 :

1 第 7 题图 ① EF ∥ AB 且 EF ? AB ;② ?BAF ? ?CAF ; 2 ③S 四边形 ADFE=0.5AF·DE;④ ?BDF ? ?FEC ? 2?BAC ,正确的个数是(
A.1 B.2 C.3 D.4 8. △ ABC 中,AD 是高,AE、BF 是角角平分线相交于点 O, ∠BAC=50° ,∠C=70° . 求∠DAC,∠BOA 的度数.
O A



F

B

E

D

C

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思考与收获

第 23 课时

全等三角形

【知识梳理】 1、定义:能够完全重合的两个三角形全等. 2、性质:两个全等的三角形的对应边和对应角分别相等 3、边角边(SAS)角边角(ASA)推论 角角边(AAS)边边边(SSS)―HL‖ 【例题精讲】 1.如图,OA ? OB ,OC ? OD ,?O ? 50 ,?D ? 35 , ?AEC 等于 则 (
? ?



A. 60

?

B. 50

?

C. 45

?

D. 30

?

O

B E D

A C

2.如图,在 Rt△ ABC 中, AB ? AC ,D、E 是斜边 BC 上两点,且∠DAE=45° ,将△ ADC 绕点 A 顺时针 F 旋转 90 ? 后,得到△ AFB ,连接 EF ,下列结论: ①△ AED ≌△ AEF ; ②△ ABE ∽△ ACD ; ③ BE ? DC ? DE ; ④ BE 2 ? DC 2 ? DE 2 其中正确的是( ) A.②④; B.①④; C.②③; D.①③. 3.如图,在边长为 4 的等边三角形 ABC 中,AD 是 BC 边上的高,点 E、F 是 AD 上的两点,则图中阴影部分 的面积是( ) A.4 3 B.3 3 C.2 3 D. 3
B E

(4 题图)
A

D (第8题图)

C

4.如图,点 P 在 ∠AOB 的平分线上,若使 △AOP ≌△BOP ,则需添加的一 个条件是 (只写一个即可,不添加辅助线) :

A P

A H

O







B

D 5.如图,点 C、E、B、F 在同一直线上, AC∥DF ,AC=DF, BC=EF, △ ABC 与△ DEF 全等吗?证明你的结论.

思考与收获 6.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置,图 2 是由它抽象出的
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几何图形,B、C、E 在同一条直线上,连结 DC. (1)请找出图 2 中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的 字母) ; D (2)证明: DC ? BE . A C 图2 E

图1

第 6 题图

7.已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=DC,CF 平分∠BCD,DF∥AB, BF 的延长线交 DC 于点 E. 求证: (1)△ BFC≌△DFC; (2)AD=DE

A

D E F

B

第 7 题图

C

8.如图,矩形 ABCD 中,点 E 是 BC 上一点,AE=AD,DF⊥AE 于 F,连结 DE, 求证:DF=DC.
A D

F B E C

第 8 题图

思考与收获

第 24 课时

等腰三角形 46 ◇◇—

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【知识梳理】 1. 等腰三角形的定义; 2. 等腰三角形的性质和判定; 3.等边三角形的性质和判定. 【思想方法】 方程思想,分类讨论 【例题精讲】 例 1. 某等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和 6cm,则它的周长为( A.9cm B.12cm C.15cm D.12cm 或 15cm 例 2. 若等腰三角形中有一个角等于 50 ,则它的顶角的度数为( A. 50
? ?





B. 80

?

C. 65 或 50

?

?

D. 50 或 80

?

?

例 3. 如图,在△ ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点 M 为 BC 中点,MN⊥AC 于点 N, 则 MN 等于( ) A

6 5 12 C. 5
A.

9 5 16 D. 5
B.

N C

B

M

例 4.如图,已知△ ABC 中,∠ABC=90° ,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三 条直线 l1,l2,l3 上,且 l1,l2 之间的距离为 2 , l2,l3 之间的距离为 3 ,则 AC 的长 是( )
A

A. 2 17

B. 2 5

C. 4 2

D.7

C
l1 l2

B

l3

例 5. △ ABC 中,AB=AC,D 是 BC 边上中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足为 E、F. 求证:DE=DF.

例 6.如图,□ABCD 中, ?BCD 的平分线 CE 交边 AD 于 E , ?ABC 的平分线 BG 交 CE 于 F ,交 AD 于 G .求证: AE ? DG . A E G D

F B 【当堂检测】 C 思考与收获

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1. 若等腰三角形的一个外角为 70 ,则它的底角为__________. A 2.如图,等边△ ABC 的边长为 3,P 为 BC 上一点, 且 BP=1,D 为 AC 上一点,若∠APD=60° ,则 CD 的长为( ) 60° D 3 2 1 3 B C A. B. C. D. P 2 3 2 4 第 2 题图 3.如图,一个等边三角形木框,甲虫 P 在边框 AC 上爬行 (A、 端点除外) 设甲虫 P 到另外两边的距离之和为 d , C , 等边三角形的高为 h,则 d 和 h 大小关系是( A. d>h C. d<h B. d ? h D. 无法确定 )
B P C A

o

第 3 题图

4.已知 a、b、c 为三个正整数,如果 a+b+c=12,那么以 a、b、c 为边能组成的三 角形是:①等腰三角形;②等边三角形;③直角三角形;④钝角三角形.以上符 合条件的正确结论是 . (只填序号) 5.如图,有一底角为35° 的等腰三角形纸片,现过底 边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开分成三角形和 四边形两部分,则四边形中最大角的度数是 . 35 第 5 题图 ° .

6. 已知等腰 △ABC 的周长为 10,若设腰长为 x ,则 x 的取值范围是
2

7. 已知:如图,抛物线 y ? ax ? 2ax ? c(a ? 0) 与 y 轴交于点 C(0,4) ,与 x 轴交于点 A、B,点 A 的坐标为(4,0) . (1)求该抛物线的解析式; (2)点 Q 是线段 AB 上的动点,过点 Q 作 QE∥AC,交 BC 于点 E,连接 CQ. 当△ CQE 的面积最大时,求点 Q 的坐标; (3)若平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P,与直线 AC 交于点 F,点 D 的坐标为(2,0) .问:是否存在这样的直线 l ,使得△ ODF 是等腰三角形? 若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
Y

C

?

B

O

Q

D

A X

第 7 题图

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第 25 课时

直角三角形(勾股定理)

【知识梳理】 1. 直角三角形的定义; 2. 直角三角形的性质和判定; 3.特殊角度的直角三角形的性质. 4.勾股定理:a2+b2=c2 【思想方法】 1. 常用解题方法——数形结合 2. 常用基本图形——直角三角形 【例题精讲】 例题 1. 如图,AB∥CD, AC⊥BC,∠BAC =65° ,则∠BCD= O A D B C

度.

例题 2.如图,将一副三角板折叠放在一起,使直角的顶点重合于点 O , 则 ?AOC ? ?DOB ? . 例题 3. 如图, △ABC 是等腰直角三角形, BC 是斜边,将 △ ABP 绕点 A 逆时 针旋转后,能与 △ACP? 重合,如果 AP ? 3 ,那么 PP? 的长等于( ) A. 3 2 C. 4 2 B. 2 3 D. 3 3

例题 4. 直角三角形纸片的两直角边长分别为 6,8,现将 △ABC 如图那样折叠, 使点 A 与点 B 重合,折痕为 DE ,则 tan ?CBE 的值是( ) C 7 24 E A. B. 8 6 3 7 B A 1 D 3 例题 5. 如图,Rt△ABC 中, AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 4 , P 是 BC 上一点, 作 PE ? AB 于 E , PD ? AC 于 D ,设 BP ? x ,则 PD ? PE ? ( ) A D x x A C A. ? 3 B. 4 ? F 5 5 C.

7 24

D.

C.

第 6 题图 例题 6.在 Rt△ ABC 中, AB ? AC ,D、E 是斜边 BC 上两点,且∠DAE=45° ,将 △ ADC 绕点 A 顺时针旋转 90 ? 后,得到△ AFB ,连接 EF ,下列结论: ① △ AED ≌△ AEF ; ②△ ABE ∽△ ACD ;③ BE ? DC ? DE ; ④ BE 2 ? DC 2 ? DE 2 其中正确的是( ) A.②④ B.①④ C.②③
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7 2

D.

12 x 12 x 2 ? 5 25

E B

P
B E D C

D.①③

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思考与收获 【当堂检测】 1.如图 AD⊥CD,AB=13,BC=12,CD=3,AD=4,则 sinB= ( A. B )

5 13

B.

12 13
C

C.

3 5

D.

4 5

D 第 1 题图 A 第 3 题图

第 2 题图 2. 如图,在 Rt△ ADB 中,∠D=90° ,C 为 AD 上一点,则 x 可能是( ) A.10° B.20° C.30° D.40° 3. 如图,CD 是 Rt△ ABC 斜边上的高,将△ BCD 沿 CD 折叠,B?点恰好落在 AB 的中点 E 处,则∠A 等于( ) A.25° B.30° C.45° D.60° 4. 如图,已知等腰 Rt△ AOB 中,∠AOB=90° ,等腰 Rt△ EOF 中,∠EOF=90° , 连接 AE、BF. 求证: (1)AE=BF; (2)AE⊥BF.

第 4 题图 5. 如图,已知△ ABC 中,∠ACB=90° ,以△ ABC 的各边为长边在△ ABC 外作 矩形,使其每个矩形的宽为长的一半,S1、S2、S3 分别表示这三个长方形的面积, 则 S1、S2、S3 之间有什么关系?并证明你的结论.

第 5 题图 6. 两个全等的含 30° ,60° 角的三角板 ADE 与三角板 ABC 如图所示放置, E,A,C 三点在一条直线上,连结 BD,取 BD 的中点 M,连结 ME,MC.试判 断△ EMC?的形状,并说明理由.

第 6 题图

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第 26 课时

尺规作图

【知识梳理】 1.完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作角的 平分线,作线段的垂直平分线. 2.利用基本作图作三角形:已知三边作三角形;已知两边及其夹角作三角形;已 知两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高作等腰三角形. 3.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. 4.了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明) . 【例题精讲】 例题 1. 已知三条线段 a、 c, b、 用尺规作出△ ABC, BC = a, AC = b、 = c, (不 使 AB 写作法,保留作图痕迹).

a b c

例题 2.已知:线段 m、n (1)用尺规作出一个等腰三角形,使它的底等于 m,腰等于 n(保留作图痕迹, 不写作法、不证明); (2)用至少 4 块所作三角形,拼成一个轴对称多边形(画出示意图即可). m n

例题 3. 如图,已知 O 是坐标原点,B、C 两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1). (1)以 0 点为位似中心在 y 轴的左侧将△ OBC 放大到两倍(即新图与原图的相 似比为 2),画出图形; (2)分别写出 B、C 两点的对应点 B′、C′的坐标; (3)如果△ OBC 内部一点 M 的坐标为(x,y),写出 M 的对应点 M′的坐标.

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思考与收获 例题 4.如图,在下面的方格图中,将 △ ABC 先向右平移四个单位得到△ A 1 B1C1, 再将 △ A 1 B1C1 绕点 A1 逆时针旋转 90° 得到△ A 1 B2C2,请依次作出 △ A 1 B1C1 和 △ A 1 B2C2.

A

C

B

【当堂检测】 1.小芸在班级办黑板报时遇到一个难题,在版面设计过程中需将一个半圆面三等分, 请你帮助他设计一个合理的等分方案(要求用尺规作图,保留作图痕迹)

第 1 题图 2.用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹. 为美化校园,学校准备在如图所示的三角形( △ABC )空地上修建一个面 积最大的圆形花坛,请在图中画出这个圆形花坛. A

B

C 第 2 题图 3.有一个未知圆心的圆形工件.现只允许用一块三角板(注:不允许用三角 板上的刻度)画出该工件表面上的一条直径并定出圆心.要求在图上保留画 图痕迹,写出画法.

第 3 题图

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思考与收获

第 27 课时
【知识梳理】

锐角三角函数

【思想方法】 1. 常用解题方法——设 k 法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题 1.在△ ABC 中,∠C=90° .

1 4 ,则 tanB=______;(?2)?若 cosA= ,则 tanB=______. 2 5 2 例题 2.(1)已知:cosα= ,则锐角 α 的取值范围是( ) 3
(1)若 cosA= A.0°<α<30° B.45°<α<60° C.30°<α<45° D.60°<α<90° (2)当 45°<θ<90°时,下列各式中正确的是( ) A.tanθ>cosθ>sinθ B.sinθ>cosθ>tanθ C.tanθ>sinθ>cosθ D.sinθ>tanθ> cosθ 例题 3. 1) ( 如图, Rt△ ABC 中, 在 ∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线, , ∠CAB=60° , ?CD= 3 ,BD=2 3 ,求 AC,AB 的长.

例题 4.―曙光中学‖有一块三角形状的花园 ABC,有人已经测出∠A=30° ,AC=40 米,BC=25 米,你能求出这块花园的面积吗?

例题 5.某片绿地形状如图所示,其中 AB⊥BC,CD⊥AD,∠A=60° ,AB=200m, CD=100m,?求 AD、BC 的长.

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思考与收获 【当堂检测】 1.若∠A 是锐角,且 cosA=sinA,则∠A 的度数是( ) A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图, 梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠B=450, ∠C=1200, AB=8,则 CD 的长为( ) A.

A

D

8 6 3

B. 4 6

C.

8 2 3

D. 4 2

B

第 2 题图

C

3.在 Rt△ ABC 中,∠C=900,AB=2AC,在 BC 上取一点 D,使 AC=CD,则 CD: BD=( ) A.

3 ?1 2

B. 3 ? 1

C.

3 2

D.不能确定

4.在 Rt△ ABC 中,∠C=900,∠A=300,b= 10 3 ,则 a=

,c=



5.已知在直角梯形 ABCD 中,上底 CD=4,下底 AB=10,非直角腰 BC= 4 3 , 则底角∠B= ;

6.若∠A 是锐角,且 cosA=

3 ,则 cos(900-A)= 5



7.在 Rt△ ABC 中,∠C=900,AC=1,sinA=

3 ,求 tanA,BC. 2

8.在△ ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,AB= 2 2 ,AC=BC= 2 5 ,求 AD 的长.
A

B

D

C

第 8 题图 9. 去年某省将地处 A、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学,为了方便两地 师生交往,学校准备在相距 2km 的 A、B 两地之间修一条笔直的公路,经测量在 A 地北偏东 600 方向, 地北偏西 450 方向的 C 处有一个半径为 0.7km 的公园, B 问 计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?
C

A

B

第 9 题图

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思考与收获

第 28 课时

锐角三角函数的简单应用

【知识梳理】 1. 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 i(或坡比),即坡度等于坡角的正切值. 2. 仰角:仰视时,视线与水平线的夹角. 俯角:俯视时,视线与水平线的夹角. 【思想方法】 1. 常用解题方法——设 k 法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题 1.如图,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为 A ,关于∠A 的三角函数值 与梯子的倾斜程度之间,叙述正确的是( A. sin A 的值越大,梯子越陡 C. tan A 的值越小,梯子越陡 )

B. cos A 的值越大,梯子越陡 D.陡缓程度与∠A 的函数值无关

例题 1 图 例题 2.如图,一束光线照在坡度为 1 : 3 的斜坡上,被斜坡上的平面镜反射成与 地面平行的光线,则这束与坡面的夹角 ? 是 度. A

?



C

i ? 1: 3
╭ A 例题 2 图 E 例题 3 图 B

例题 3.如图, 张聪同学在学校某建筑物的 C 点处测得旗杆顶部 A 点的仰角为 30° , 旗杆底部 B 点的俯角为 45° .若旗杆底部 B 点到该建筑的水平距离 BE=6 米, 旗杆台阶高 1 米,求旗杆顶部 A 离地面的高度(结果保留根号)

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思考与收获 【当堂检测】 1.一个钢球沿坡角 31? 的斜坡向上滚动了 5 米,则钢球距地面的高度是(单位:米) ( ) B. 5sin 31? D. 5 tan 31? 第 1 题图

A. 5cos 31? C. 5cot 31?

2.某渔船上的渔民在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60o 方向处,这艘渔船以每小时 28 海里的速度向正东方向航行,半小时后到达 B 处,在 B 处观测到灯塔 M 在北 偏东 30o 方向处.问 B 处与灯塔 M 的距离是多少海里? 北 M

60
A

?

30?
B 第 2 题图 东

3.如图所示, 小明家住在 32 米高的 A 楼里, 小丽家住在 B 楼里,B 楼坐落在 A 楼 的正北面,已知当地冬至中午 12 时太阳光线与水平面的夹角为 30? . (1)如果 A,B 两楼相距 20 3 米,那么 A 楼落在 B 楼上的影子有多长? (2)如果 A 楼的影子刚好不落在 B 楼上,那么两楼的距离应是多少米? . (结果保留根号) B 楼 30°

C
A 楼

D
F

E

G
第 3 题图

H

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思考与收获

第 29 课时

多边形及其内角和、梯形

【知识梳理】 1. 多边形内角和,外角和,对角线 2. 正多边形的内切圆和外接圆 3.利用三角形、四边形或正六边形进行简单的镶嵌设计 【思想方法】 解决此类问题时要注重观察、操作、猜想、探究等活动过程,注重知识的理解和 运用. 【例题精讲】 例题 1.一个多边形, 它的每个内角都等于相邻外角的 5 倍, 则这个多边形是( ) A. 正五边形 B. 正十边形 C.正十二边形 D.不存在. 例题 2.只用一种正多边形进行镶嵌,在下列的正多边形中,不能镶嵌成一个平面 的是( ) . A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 例题 3. (1)n 边形的内角和等于 ,多边形的外角和都等于 . (2)一个多边形的内角和等于它的外角和,那么这个多边形是 边形. 0 (3)一个多边形的每个外角都是 30 , 则这个多边形是 边形. (4)一个十边形所有内角都相等,它的每一个外角等于 度. (5)一个五边形五个外角的比是 2:3:4:5:6,则这个五边形五个外角的度 数分别是 . (6)多边形边数增加一条,则它的内角和增加 度,外角和 例题 4.半径为 2 的圆的内接正六边形边长为_______,外切正三角形的边长为 __________. 例题 5.如图,四边形 ABDC 中, ?ABD ? 120°, AB ⊥ AC , BD ⊥CD ,

AB ? 4,CD ? 5 3 ,则该四边形的面积是

. A B D

1 例题 6.一个多边形的外角和是内角和的 ,它是几边形? 5
C

例题 7.一个多边形每一个外角都等于与它相邻的内角,这种多边形是几边形?

例题 8.五角星图案中间部分的五边形 ABCDE 是一个正五边形,则图中∠ABC 的 度数是多少?
A B C E D

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思考与收获 【当堂检测】 1.填空: (1)n 边形的内角和为 720° ,则 n=______. (2)五边形的内角和与外角和的比值是______. (3)过六边形的每一个顶点都有______条对角线. (4)过七边形的一个顶点的所有对角线把七边形分成______个三角形. (5)将正六边形绕其对称中心 O 旋转后,恰好能与原来的正六边形重合,那么 旋转的角度至少是 度. 2.一个多边形的内角和是外角和的 2 倍,则这个多边形的边数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 3.只用下列正多边形地砖中的一种,能够铺满地面的是( ) A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形 4.一个五边形有三个内角是直角,另两个内角都等于 n,则 n 的值是 A.30° B.120° C.135° D.108° 5.n 边形与 m 边形内角和度数差为 720° ,则 n 与 m 的差为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 6.下列角度中,不是多边形内角和的只有( ) A.540° B.720° C.960° D.1080° 7.一个多边形的每一个顶点处取一个外角,这些外角中最多有钝角(? ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.一个多边形除了一个内角外,其余各内角的和为 1700° ,求多边形的边数.

9.一个零件的形状如图中阴影部分.按规定∠A 应等于 90? ,∠B、∠C 应分别是 29?和 21? ,检验人员度量得∠BDC=141? ,就断定这个零件不合格.你能说 明理由吗?

10.一个多边形,它的外角最多有几个是钝角?说说你的理由.

11.在四边形 ABCD 中,∠D=60° ,∠B 比∠A 大 20° ,∠C 是∠A 的 2 倍, 求∠A,∠B,∠C 的大小.

12. 一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗?画出所有可能的图形,并分别 说出内角和和外角和变化情况.

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第 30 课时

平行四边形

【知识梳理】 1、掌握平行四边形的概念和性质 2、四边形的不稳定性. 3、掌握平行四边形有关性质和四边形是平行四边形的条件. 4、能用平行四边形的相关性质和判定进行简单的逻辑推理证明. 【例题精讲】 例题 1.(2009 年 常 德 市 )下列命题中错误的是( ) A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.一组对边平行的四边形是梯形 例题 2. (2008 年 泰州市) 在平面上, 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O, 且满足 AB=CD.有下列四个条件: (1)OB=OC; (2)AD∥BC; (3)

AO DO ; ? CO BO

(4)∠OAD=∠OBC.若只增加其中的一个条件,就一定能使∠BAC=∠CDB 成 立,这样的条件可以是( ) A. 、 (2)(4) B. (2) C. 、 (3)(4) D. (4) 例题 3.(2009 年 威海)如图,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 边的中点,连结 DE 并延长,交 AB 的延长线于 F 点, AB ? BF .添加一个条件,使四边形 ABCD 是 平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( ) A. AD ? BC B. CD ? BF C. ?A ? ?C D. ?F ? ?CDE
D C

E

A

F B

第 3 题图 例题 4.如图,在

第 4 题图

ABCD 中,AB=6,AD=9,∠BAD 的平分线交 BC 于点 E, )

交 DC 的延长线于点 F, BG⊥AE, 垂足为 G, BG= 4 2 , ΔCEF 的周长为 则 (

A.8 B.9.5 C.10 D.11.5 例题 5. (2009 年新疆)如图, E,F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上两点, AF ? CE,DF ? BE DF∥ BE. , 求证: (1) △AFD ≌△CEB . (2)四边形 ABCD 是平行四边形.
D E C

A

F B

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思考与收获 【当堂检测】 1. (2008 年 永州市) .下列命题是假命题的是( ... )

A.两点之间,线段最短; B.过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. C.一组对应边相等的两个等边三角形全等; D.对角线相等的四边形是矩形. 2.如图,一个四边形花坛 ABCD ,被两条线段 MN,EF 分成四个部分,分别 种 上 红 、 黄 、 紫 、 白 四 种 花 卉 , 种 植 面 积 依 次 是 S1,S2,S3,S4 , 若

M N∥ A B D , EF ∥ DA∥CB ,则有( ∥ C
A. S1 ? S4
D M 黄 A 红 白 B E 紫 N

) D.都不对
D

B. S1 ? S4 ? S2 ? S3
C

C. S1S4 ? S2 S3
A

B

第 2 题图

F

第 3 题图

E 图5 C

C

3.2009 襄樊) ( 如图, 在平行四边形 ABCD 中, AE ? BC 于 E AE ? EB ? EC ? a, 且 a 是一元二次方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的根,则平行四边形 ABCD 的周长为(
2



A. 4 ? 2 2

B. 12 ? 6 2

C. 2 ? 2 2

D. 2 ? 2或12 ? 6 2

4. (2009 年南宁市)如图(1) ,在边长为 5 的正方形 ABCD 中,点 E 、 F 分别 是 BC 、 DC 边上的点,且 AE ? EF , BE ? 2 . (1)求 EC ∶ CF 的值; (2)延长 EF 交正方形外角平分线 CP于点P ,如图 2 试判断 AE与EP 的大小关 系,并说明理由; (3) 在图 (2) AB 边上是否存在一点 M , 的 使得四边形 DMEP 是平行四边形? 若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
A D A D

F B E C B E

F C

P

图(1)

图(2)

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思考与收获

第 31 课时

矩形、菱形、正方形(一)

【知识梳理】 1.矩形的性质: (1)矩形的四个角都是直角; (2)矩形的对角线相等. 2. 矩形的判定: (1)有一个角是 90° 的平行四边形; (2)三个角是直角的四边形; (3)对角线相等的平行四边形. 3. 菱形的性质: (1)四边相等; (2)对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一 组对角. 4.菱形的判定: (1)一组邻边相等的平行四边形; (2)四边相等的四边形; (3) 对角线互相垂直的平行四边形. 5.正方形的性质:正方形具有矩形和菱形的性质. 6.正方形的判定: (1)一组邻边相等的矩形; (2)有一个角是直角的菱形. 【例题精讲】 例题 1. 将平行四边形纸片 ABCD 按如图方式折叠,使点 C 与 A 重合,点 D 落到 D′ 处,折痕为 EF. (1)求证:△ ABE≌△AD′F; (2)连接 CF,判断四边形 AECF 是什么特殊四边形?证明你的结论. D


A ′ F D

B

E

C

例题 2.如图,正方形 ABCD 和正方形 A′OB′C′是全等图形,则当正方形 A′OB′C′ 绕正方形 ABCD 的中心 O 顺时针旋转的过程中. (1)证明:CF=BE; (2)若正方形 ABCD 的面积是 4,求四边形 OECF 的面积.

例题 3.如图, 将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折叠, 使点 B 落到点 B′的位置,AB′与 CD 交于点 E. (1)试找出一个与△ AED 全等的三角形,并证明. (2)若 AB=8,DE=3,P 为线段 AC 上的任意一点, PG⊥AE 于 G,PH⊥EC 于 H,试求 PG+PH 的值, 并说明理由.

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思考与收获 例题 4. 如图, 在矩形 ABCD 中, AB=12,AC=20, 两条对角线相交于点 O. OB、 以 OC 为邻边作第 1 个平行四边形 OBB1C,对角线相交于点 A1,再以 A1B1、A1C 为 邻边作第 2 个平行四边形 A1B1C1C,对角线相交于点 O1;再以 O1B1、O1C1 为邻 边作第 3 个平行四边形 O1B1B2C1……依次类推. (1)求矩形 ABCD 的面积; (2)求第 1 个平行四边形 OBB1C、第 2 个平行四 边形 A1B1C1C 和第 6 个平行四边形的面积.

【当堂检测】 1. 如果菱形的边长是 a,一个内角是 60° ,那么菱形较短的对角线长等于( A.



1 a 2

B.

3 a 2

C.a

D. 3 a )
D C B 第 3 题图 D E

2.在菱形 ABCD 中,AB = 5,∠BCD =120° ,则对角线 AC 等于( A.20 B.15 C.10 D.5 3. 如图,菱形 ABCD 的周长为 20cm,DE⊥AB, 垂足为 E, cos A ?
A 4 ,则下列结论①DE=3cm; 5
2

②EB=1cm; S菱形 ABCD ? 15cm 中正确的个数为 ③ ( )A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 4. 如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合, 折痕为 DG, AG 的长为 则 ( ) A.1 B.

C A′

4 3

C.

3 2

D.2

A

G 第 4 题图 D

B

6. 如图,在菱形 ABCD 中,∠A=110° ,E,F 分别是边 AB 和 BC 的中点,EP⊥CD 于点 P,求∠FPC 的度数. A E B F 第 5 题图 P C

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第 32 课时

矩形、菱形、正方形(二)

【例题精讲】 例题 1.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ABC ? 90?. Rt△ABC 绕点 C 顺时针方 将 向旋转 60? 得到 △DEC, E 在 AC 上,再将 Rt△ABC 沿着 AB 所在直线翻转 点 连接 180? 得到 △ABF. AD. (1)求证:四边形 AFCD 是菱形; (2)连接 BE 并延长交 AD 于 G, 连接 CG, 请问:四边形 ABCG 是什么特殊平行 四边形?为什么? A G D

E

F

B

C

例题 2.如图,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开,再把△ ACD 沿 CA 方向平移得到 △A?C?D? . (1)证明 △A?AD? ≌△CC?B ; (2) ?ACB ? 30°, 若 试问当点 C ? 在线段 AC 上的什么位置时, 四边形 ABC?D? 是 菱形,并请说明理由.

D?

D

A?

A

C?

C

B 例题 3. 如图:平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,BD=12cm, AC=6cm,点 E 在线段 BO 上从点 B 以 1cm/s 的速度运动,点 F 在线段 OD 上从 点 O 以 2cm/s 的速度运动. (1)若点 E、F 同时运动,设运动时间为 t 秒,当 t 为何值时,四边形 AECF 是 平行四边形; (2)在(1)的条件下,①当 AB 为何值时,四边形 AECF 是菱形; ②四边形 AECF 可以是矩形吗?为什么?
A F E B O C D

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思考与收获 例题 4. 已知正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F,连接 DF,G 为 DF 中点,连接 EG,CG. (1)求证:EG=CG; (2)将图①中△ BEF 绕 B 点逆时针旋转 45? ,如图②所示,取 DF 中点 G,连 接 EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立, 请说明理由. (3)将图①中△ BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段, 问 (1) 中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论? (均不要求证明)
A D A G G E E F F E D A D

B

F 第 24 题图①

C

B 第 24 题图②

C

B 第 24 题图③

C

【当堂检测】 1.已知菱形的周长为 20,两对角线之和为 14,则菱形的面积为



2. 如图所示, 把一个长方形纸片沿 EF 折叠后, D, 分别落在 D′, 点 C C′的位置. 若 ∠EFB=65° ,则∠AED′等于 ( A.70° B. 65° C. 50° D. 25° )
A D′ C′ F C E D

3.菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示, B

?AOC ? 45° OC ? 2 ,则点 B 的坐标为( ,
1) A. ( 2, , B. (1 2)



y C O

第 2 题图 B

, , C. ( 2 ? 11) D. (1 2 ? 1)
x A 第 3 题图

4.将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠,AE、EF 为 折痕,∠BAE=30° ,AB= 3 ,折叠后,点 C 落在 AD 边 上的 C1 处,并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处.则 BC 的长 为( ) A. 3

第 4 题图 5.已知四边形 ABCD,AD//BC,连接 BD. (1)小明说:―若添加条件 BD2=BC2+CD2,则四边形 ABCD 是矩形‖.你认为小明 的说法是否正确,若正确请说明理由,若不正确,请举出一个 A D 反例. (2)若 BD 平分∠ABC,∠DBC=∠BDC,tan∠DBC=1,求证: 四边形 ABCD 是正方形.
B
—◇◇

B.2

C.3

D. 2 3

第 5 题图

C

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第 33 课时

四边形综合

【例题精讲】 例题 1.如图,在矩形 ABCD 中,AE 平分∠DAB 交 DC 于点 E,连接 BE,过 E 作 EF⊥BE 交 AD 于 F. (1)求证:∠DEF=∠CBE; (2)请找出图中与 EB 相等的线段(不另添加辅助线和字母),并说明理由.
D F A B E C

例题 2.如图,矩形 ABCD 中,AB=3cm,AD=6cm,点 E 为 AB 边上的任意一点, 四边形 EFGB 也是矩形,且 EF=2BE,则 S△ AFC A D
F G E

cm2 .

B

C

例题 3.如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边 AD 的 E 点 上,BG=10. (1)当折痕的另一端 F 在 AB 边上时,如图(1).求△ EFG 的面积. (2)当折痕的另一端 F 在 AD 边上时,如图(2).证明四边形 BGEF 为菱形,并求出折 痕 GF 的长.

图(1)

图(2)

A F 例题 4.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,BD=2,E、F 分别是边 AD,CD 上的两 个动点,且满足 AE+CF=2. B (1)求证:△ BDE≌△BCF; (2)判断△ BEF 的形状,并说明理由; E H D A (3)设△ BEF 的面积为 S,求 S 的取值范围.
F

E

D

G

C

B

G

C

—◇◇

65 ◇◇—

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思考与收获 例题 5.在边长为 6 的菱形 ABCD 中,动点 M 从点 A 出发,沿 A→B→C 向终点 C 运动,连接 DM 交 AC 于点 N. (1)如图(1) ,当点 M 在 AB 边上时,连接 BN. ①求证: △ABN ≌△ADN ; ②若∠ABC = 60° ,AM = 4,∠ABN = ? ,求点 M 到 AD 的距离及 tan ? 的值; (2)如图(2) ,若∠ABC = 90° ,记点 M 运动所经过的路程为 x(6≤x≤12) . 试问:x 为何值时,△ ADN 为等腰三角形. C B C M M N D
图1

B

N

A

D
图2

A

【当堂检测】 1. 如图所示,正方形 ABCD 中,E、F 是对角线 AC 上两点, 连接 BE、BF、DE、DF,则添加下列哪一个条件可以判定 四边形 BEDF 是菱形( ) A、∠1=∠2 B、BE=DF C、∠EDF=60°D、AB=AF 2. 如图,直线 l 上有三个正方形 a,b,c ,若 a,c 的面 积分别为 5 和 11,则 b 的面积为( ) a A.4 B.6 C.16 D.55 3. 如图,矩形 ABCD 的周长是 20cm,以 AB、CD 为 边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH,若正方形 F ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm2,那么矩形 ABCD 的 面积是( ) 2 A.21cm B.16cm2 C.24cm2 D.9cm2 E
G

A E
2

1

D

B

F

第 1 题图 b c
H A

C

第 2 题图

l G
D

4.如图,已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,且 BP = A BC,则∠ACP 度数是 .

第 3 题图
D P

C

B

第 4 题图

C

5.如图,在矩形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD、BC 的

A

E

1 中点,点 G、H 在 DC 边上,且 GH= DC.若 AB=10, 2 BC=12,则图中阴影部分面积是多少?

D G H C

B

第 5 题图
—◇◇

F

66 ◇◇—

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思考与收获

第 34 课时

相似形

【知识梳理】 1、比例的基本性质,线段的比、成比例线段,黄金分割. 2、认识图形的相似,相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积比等于对应 边比的平方. 3、相似三角形的概念、性质 4、两个三角形相似的条件. 【思想方法】 1. 常用解题方法——设 k 法 2. 常用基本图形——A 形、X 形…… 【例题精讲】 例题 1.△ ABC 的三条边的长分别为 3、4、5,与△ ABC 相似的△ A′B′C′的最长边 为 15.求△ A′B′C′最短边的长.

变化:△ ABC 的三条边的长分别为 3、4、5,与△ ABC 相似的△ A′B′C′的一边长为 15.求△ A′B′C′的周长.

例题 2.如图,小正方形的边长均为 l,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ ABC 相似的是( )

A B C

例题 3.如图,在四边形 ABCD 中,E 是 AD 边上的一点,EC∥AB,EB ∥DC. (1)△ ABE 与△ ECD 相似吗?为什么? (2)若△ ABE 的面积为 3,△ CDE 的面积为 1,求△ BCE 的面积.
A

B C

E

例题 4 .在△ ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,现将它折叠,使 B 点与 C 点重合, 如图,则折痕 DE 的长是多少?

D

—◇◇

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思考与收获 【当堂检测】 1.若

2m ? n 1 m ? ,则 ? n 3 n



2.已知三个数 1,2, 3 ,请你再添上一个数,使它们能构成一个比例式,则这 个数是________. 3.已知数 3、6,请再写出一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中 项,则这个数是 .

A D B
第4题

4. 如图,D 是△ ABC 的边 AB 上的点,请你添加 一个条件,使△ ACD 与△ ABC 相似.你添加 的条件是_____ .

C

5.在比例尺为 1:8000 的南京市城区地图上,太平南路的长度约为 25 cm,它的实 际长度约为( A.320cm ) B.320m C.2000cm ) D.2000m

6.下列命题中,正确的是(

A.所有的等腰三角形都相似 B.所有的直角三角形都相似 C.所有的等边三角形都相似 D.所有的矩形都相似 7. 如图,在□ABCD 中,E 是 AB 延长线上一点,连结 DE,交 AC 于点 G,交 BC 于点 F,那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有( A. 6 对 B. 5 对 C. 4 对 D. 3 对 ) )

8. 如图,在正方形网格上,若使△ ABC∽△PBD,则点 P 应在( A.P1 处 B.P2 处 C.P3 处 D.P4 处

9.在△ ABC 中,AB=12,AC=10,BC=9,AD 是 BC 边上的高.将△ ABC 按如图所 示的方式折叠,使点 A 与点 D 重合,折痕为 EF,则△ DEF 的周长为( A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5
D



A G B E F
第7题

D C
C A

P4 P3 P2 P1 B

第8题

第9题

—◇◇

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第 35 课时

相似形的应用

【知识梳理】 1. 相似三角形的性质:对应边(高)的比、周长比等于相似比;面积比等于相似 比的平方. 【思想方法】 1. 常用解题方法——设 k 法 2. 常用基本图形——A 形、X 形…… 【例题精讲】 例题 1.如图,王华晚上由路灯 A 下 B 处走到 C 处时,测得 影子 CD?长为 1 米,继续往前走 2 米到达 E 处,测得影子 EF 长为 2 米,王华身高是 1.5 米,则路灯 A 高度等于( A.4.5 米 B.6 米 C.7.2 米 D.8 米 )

例题 2.如图,△ ABC 是一块锐角三角形余料,边 BC=120mm,高 AD=80mm,? 要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB、 AC 上,?这个正方形零件的边长是多少?

例题 3.一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为:3.5cm× 3.5cm,放映 的荧屏的规格为 2m× 2m,若放映机的光源距胶片 20cm 时,问荧屏应拉在离镜头 多远的地方,放映的图象刚好布满整个荧屏?

例题 4. 如图,已知:AD=AE,DF=EF;求证:△ ADC≌△AEB

A

D F B

E

C

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思考与收获 例题 5. 如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,E 为 DC 中点,直线 BE 交 AC 于 F, 交 AD 的延长线于 G;请说明:EF· BG=BF· EG

G D E F A 【当堂检测】 B C

1. 如图 1, 铁道口栏杆的短臂长为 1.2m, 长臂长为 8m, 当短臂端点下降 0.6m 时, 长臂端点升高________m(杆的粗细忽略不计) .

第1题

第2题

第3题

2. 如图 2 所示, ABC 中, 在△ DE∥BC, 若

AD 1 DE=2, BC 的长为________. 则 ? , AB 3

3. 如图 3 所示, 在△ ABC 中, ∠C=90° AC=3, 为 BC 上一点, , D 过点 D 作 DE⊥BC 交 AB 于 E,若 ED=1,BD=2,则 DC 的长为________. 4.如图 4,有两个形状相同的星星图案,则 x 的值为( ) A.15 B.12 C.10 D.8

第4题

第5题

5.如图 5,△ ABC 中,DE∥BC,DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E,若 AD=4, DB=?2,?则 DE:BC 的值为( ) A.

2 3

B.

1 2

C.

3 4

D.

3 5

6. AB 如图, 是斜靠在墙上的长梯, 梯脚 B 距墙脚 60cm, 梯上点 D 距离墙角 50cm, BD 长 55cm,求出梯子的长. A D B


E



C 第 6 题图

—◇◇

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第 36 课时

圆的基本性质

【知识梳理】 1.圆的有关概念: (1)圆: (2)圆心角: (3)圆周角: (4)弧: (5)弦: 2.圆的有关性质: (1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图 形,对称中心为圆心. (2)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. (3)弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两 条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是 直角;900 的圆周角所对的弦是直径. 3.三角形的内心和外心: (1)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆. (2)三角形的外心: (3)三角形的内心: 4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数.圆周角的度数等于它所对弧的度数一半. 同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 【例题精讲】 例题 1.如图,公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧) ,其跨度为 24 米,拱的半径为 13 米,则拱高为 ( ) A.5 米 B.8 米 C.7 米 D.5 3 米 例题 2.如图⊙O 的半径为 5, AB=8, 是弦 AB 上的动点, OM 不可能为 弦 M 则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5

例题 1 图 例题 2 图 例题 3 图 例题 4 图 例题 3.如图⊙O 弦 AB=6,M 是 AB 上任意一点,且 OM 最小值为 4,则⊙O 半径 为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 例题 4.如图,⊙O 的半径为 1,AB 是⊙O 的一条弦,且 AB= 3 ,则弦 AB 所对 B.60° C.30° 150° D.60° 120° 圆周角的度数为( )A.30° 或 或 例题 5.AB 是⊙O 的直径, CD⊥AB 于点 E, 弦 ∠CDB=30° ,⊙O 的半径为 3cm ,

3 C. 2 3cm D. 9cm cm B. 3cm 2 例题 6.如图, BC 是以线段 AB 为直径的 ⊙O 的切线, AC 交 ⊙O 于点 D ,过点 D 作弦 DE ? AB 垂足为点 , . F ,连接 BD、BE.(1)仔细观察图形并写出四个不
则弦 CD 的长为( )A. 同的正确结论:①___ ___,②___ _____ , ③_____ _, ④________ 不添加其它字母和辅助线) ( (2) ?A = 30° , CD =

2 3 ,求 ⊙O 的半径 r. 3
例题 6 图

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思考与收获 【当堂检测】 1.如图,⊙P 内含于⊙O,⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C,且 AB∥OP.若阴影部分 的面积为 9? ,则弦 AB 的长为( ) A.3 B.4 C.6 D.9 2.如图,△ ABC 内接于⊙O,若∠OAB=28° ,则∠C 的大小为( ) A.28° B.56° C.60° D.62°

第 1 题图

第 2 题图

第 3 题图

第 5 题图

第 6 题图

3.如图, 是⊙O 的直径, CD⊥AB 于点 E,∠CDB=30° ⊙O 的半径为 3cm , AB 弦 , 则弦 CD 的长为( ) A.

3 cm 2

B. 3cm C. 2 3cm

D. 9cm

4.⊙O 的半径为 10cm,弦 AB=12cm,则圆心到 AB 的距离为( ) A. 2cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 5.如图,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,连结 OC,若 OC=5,CD=8, 则 tan∠COE=( ) A.

3 5

B.

4 5

C.

3 4

D.

4 3

6.如图,弦 CD 垂直于⊙O 的直径 AB,垂足为 H,且 CD= 2 2 ,BD= 3 , 则 AB 的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图,小量角器的零度线在大量角器的零度线上,且小量角器的中心在大量角 器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点 P 在小量角器上对应的度数为 65° , 那么在大量角器上对应的度数为__________ ° (只需写出 0°~ 90° 的角度) .

第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 8.如图,⊙O 的半径为 5,P 为圆内一点,P 点到圆心 O 的距离为 4,则过 P 点的 弦长的最小值是_______. 9.如图,AB 是⊙0 的直径,弦 CD∥AB.若∠ABD=65° ,则∠ADC=______. 10.如图,半圆的直径 AB ? 10 ,点 C 在半圆上, BC ? 6 . (1) 求弦 AC 的长; 若 P 为 AB 的中点,PE ⊥ AB 交 AC 于点 E, PE 长. (2) 求 C E

A

P 第 10 题图

B

—◇◇

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第 37 课时

直线与圆、圆与圆的位置关系

【知识梳理】 1. 直线与圆的位置关系: 2. 切线的定义和性质: 3.三角形与圆的特殊位置关系: 4. 圆与圆的位置关系: (两圆圆心距为 d,半径分别为 r1 , r2 ) 相交 ? r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ; 内切 ? d ? r1 ? r2 ; 外切 ? d ? r1 ? r2 ; 内含 ? 0 ? d ? r1 ? r2 外离 ? d ? r1 ? r2 ;

【注意点】 A 与圆的切线长有关的计算. 【例题精讲】 E F 例 1.⊙O 的半径是 6, O 到直线 a 的距离为 5, 点 则直 线 a 与⊙O 的位置关系为( ) O A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 C D 例 2. 如图 1,⊙O 内切于 △ABC ,切点分别为 B D,E,F . ?B ? 50° , ?C ? 60° ,连结 OE,OF,DE,DF ,例题 2 图 则 ?EDF 等于( ) A. 40° B. 55° C. 65° D. 70° 例 3. 如图,已知直线 L 和直线 L 外两定点 A、B,且 A、B 到直线 L 的距离相等, 则经过 A、B 两点且圆心在 L 上的圆有( ) A.0 个 B.1 个 C.无数个 D.0 个或 1 个或无数个 例 4.已知⊙O1 半径为 3cm,⊙O2 半径为 4cm,并且⊙O1 与⊙O2 相切,则这两个 圆的圆心距为 ( ) A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或 7cm 例 5.两圆内切,圆心距为 3,一个圆的半径为 5,另一个圆的半径为 例 6.两圆半径 R=5,r=3,则当两圆的圆心距 d 满足___ ___?时,?两圆相交;? 当 d?满足___ ___时,两圆不外离. 例 7.⊙O 半径为 6.5cm,点 P 为直线 L 上一点,且 OP=6.5cm,则直线与⊙O?的 位置关系是____ 例 8.如图,PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B,⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F,切点 C 在弧 AB 上,若 PA 长为 2,则△ PEF 的周长是 _.
A
P E A
? ? O

y

l

C

F B

C O A

M

x B 例题 10 图 例题 9 图 例 9. 如图,⊙M 与 x 轴相交于点 A(2, ,B(8, ,与 y 轴切于点 C ,则圆心 M 0) 0) 的坐标是 例 10. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙A,AC 为⊙O 的直径,弦 DB⊥AC,垂足为 例题 3 图
B

例题 8 图

M,过点 D 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 E,若 AC=10,tan∠DAE= DB 的长.

4 ,求 3

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思考与收获 【当堂检测】 1.如果两圆半径分别为 3 和 4,圆心距为 7,那么两圆位置关系是( ) A.相离 B.外切 C.内切 D.相交 2.⊙A 和⊙B 相切,半径分别为 8cm 和 2cm,则圆心距 AB 为( ) A.10cm B.6cm C.10cm 或 6cm D.以上答案均不对 3.如图,P 是⊙O 的直径 CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点 A,如果 PA= 3 , PB=1, 那么∠APC 等于 ( ) 15 A. B. 30 C. 45 D. 60 4. 如图,⊙O 半径为 5,PC 切⊙O 于点 C,PO 交⊙O 于点 A,PA=4,那么 PC 的长等于 ( ) A A)6 (B)2 5 (C)2 10 (D)2 14
? ? ? ?

O B D C

第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 5.如图,在 10× 的网格图中(每个小正方形的边长均为 1 个单位长).⊙A 半径为 6 2,⊙B 半径为 1,需使⊙A 与静止的⊙B 相切,那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长. 6. 如图,⊙O 为△ ABC 的内切圆,∠C= 90 ,AO 的延长线交 BC 于点 D,AC =4,DC=1, ,则⊙O 的半径等于 ( )
?

5 6 7.⊙O 的半径为 6,⊙O 的一条弦 AB 长 6 3 ,以 3 为半径⊙O 的同心圆与直线
A. B. C. D. AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定

5 4

4 5

3 4

, 8.如图,在 △ABC 中, AB ? AC,?A ? 120° BC ? 2 3 ,⊙A 与 BC 相切于 点D, 且交 AB、AC 于 M、N 两点, 则图中阴影部分的面积是 (保留 π ) . 9.如图,B 是线段 AC 上的一点,且 AB:AC=2:5,分别以 AB、AC 为直径画圆, 则小圆的面积与大圆的面积之比为_______.
O1 O O2

第 8 题图

第 9 题图

第 10 题图

第 11 题图

第 12 题图

10. 如图,从一块直径为 a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为 a 和 b 的两个圆,则 剩下的纸板面积是___. 11. 如图,两等圆外切,并且都与一个大圆内切.若此三个圆的圆心围成的三角 形的周长为 18cm.则大圆的半径是______cm. 12.如图,直线 AB 切⊙O 于 C 点,D 是⊙O 上一点,∠EDC=30? ,弦 EF∥AB, 连结 OC 交 EF 于 H 点,连结 CF,且 CF=2,则 HE 的长为_________. 13. 如图,PA、PB 是⊙O 的两条切线,切点分别为 A、B,若直径 AC=12cm, A ∠P=60° .求弦 AB 的长.
P O

C

B

第 13 题图
—◇◇

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第 38 课时
【知识梳理】 1. 圆周长公式: 2. n° 的圆心角所对的弧长公式: 3. 圆心角为n° 的扇形面积公式: 4. 圆锥的侧面展开图是 积公式为:

圆的有关计算

、 . ;底面半径为 r ,母线长为 l 的圆锥的侧面

;圆锥的表面积的计算方法是: 5.圆柱的侧面展开图是: ;底面半径为 r ,高为 h 的圆柱的侧面积公式 是: ;圆柱的表面积的计算方法是: 【注意点】 【例题精讲】 【例 1】 如图, 正方形网格中, ABC 为格点三角形 △ (顶点都是格点) 将 △ABC , 绕点 A 按逆时针方向旋转 90° ,得到△ AB1C1. (1)在正方形网格中,作出 △ AB1C1; (2)设网格小正方形的边长为 1,求旋转过程中动点 B 所经过的路径长.

【例2】如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB于点E,交⊙O于点D,OF⊥AC于点F. (1)请写出三条与BC有关的正确结论; C (2)当∠D=30° ,BC=1时,求圆中阴影部分的面积. F A O E D 【例 3】如图,小明从半径为 5 cm 的圆形纸 片中剪下 40%圆周的 一个扇形,然后利用剪 下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽 (接缝处 不重叠) ,那么这个圆锥的高为( ) A.3 cm B.4 cm C. 21 cm D. 2 6 cm
R?5

B

60% 40%

(图 1)

(图 2)

【例 4】 (庆阳)如图,线段 AB 与⊙O 相切于点 C,连结 OA、OB,OB 交⊙O 于 点 D,已知 OA=OB=6 ㎝,AB= 6 3 ㎝. 求: (1)⊙O 的半径; (2)图中阴影部分的面积.

O
D

A

C

B

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思考与收获 【当堂检测】 1.圆锥的底面半径为 3cm,母线为 9 cm ,则圆锥的侧面积为(
2 2 2 2



A.6 π cm B.9 π cm C.12 π cm D.27 π cm 2.在Rt△ ABC中,∠C=90° ,AC=12,BC=5,将△ ABC绕边AC所在直线旋转一 周得到圆锥,则该圆锥的侧面积是( ) A.25π B.65π C.90π D.130π 3.圆锥的侧面展开图形是半径为8cm,圆心角为120° 的扇形,则此圆锥的底面半 径为( ) A.

8 cm 3

B.

16 cm C.3cm 3

D.

4 cm 3


4. 圆 锥 侧 面 积 为 8πcm2, 侧 面 展 开 图 圆 心 角 为 450, 则 圆 锥 母 线 长 为 ( A.64cm B.8cm C. 2 2 ㎝ D.

5. 一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为 12? , 则这个圆锥底面圆的半径为 (

2 ㎝ 4



A. 6 B. 12 C. 24 D. 2 3 o 6.如图,有一圆心角为120 、半径长为6cm的扇形,若将OA、OB重合后围成一 圆锥侧面,那么圆锥的高是( ) A. 4 2 cm B. 35 cm C. 2 6 cm D. 2 3 cm 7.已知圆锥的底面半径是2㎝,母线长是4㎝,则圆锥的侧面积是 ㎝2. 8.如图,两个同心圆的半径分别为 2 和 1,∠AOB=120° ,则阴影部分的面积为

A
120

B
o

C

B

O
D A 第 11 题图 第 6 题图 第 8 题图 第 9 题图 9.如图,Rt△ ABC 中,AC=8,BC=6,∠C=90° ,分别以 AB、BC、AC 为直径 作三个半圆,那么阴影部分的面积为 (平方单位) 10.王小刚制作了一个高12cm,底面直径为10cm的圆锥,则这个圆锥的侧面积 是 cm2. 11.如图,梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , ?C ? 90 , AB ? AD ? 4 , BC ? 6 , 以 A 为圆心在梯形内画出一个最大的扇形 (图中阴影部分) 的面积是 . 12.制作一个圆锥模型,圆锥底面圆的半径为 3.5cm,侧面母 A? C 线长为 6cm,则此圆锥侧面展开图的扇形圆心
?

角为 度. C? 13.如图, △A?BC? 是由 Rt△ABC 绕 B 点 A Rt B 顺时针旋转而得,且点 A B,C? 在同一条 第 13 题图 , 第 14 题图 ? 直线上,在 Rt△ABC 中,若∠C ? 90 , BC ? 2 , AB ? 4 ,则斜边 AB 旋转 到 A?B 所扫过的扇形面积为 . 14.翔宇中学的铅球场如图所示, 已知扇形 AOB 的面积是 36 米 2, AB 的长为 9 弧 米,那么半径 OA=______米. 15.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,半径OD⊥BC,垂 足为E,若BC= 6 3 ,DE=3. 求:(1) ⊙O的半径; (2)弦AC的长;(3)阴影部分的面积.

第 15 题图

—◇◇

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第 39 课时
【例题精讲】
? ? ?

圆的综合

?

1.如图,已知圆心角 ?BOC ? 78? ,则圆周角 ?BAC 的度数是( A. 156 B. 78 C. 39 D. 12
O 120° A B

第 6 题图 第 1 题图 第 5 题图 第 2 题图 2.如图 2 所示,圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC.则四边形 OACB( ) A.是正方形 B. 是长方形 C. 是菱形 D.以上答案都不对 3.圆锥的底面半径为 3cm,母线为 9 cm ,则圆锥的侧面积为( ) A.6 π cm2 B.9 π cm2 C.12 π cm2 D.27 π cm2 4.⊙O 半径 OA=10cm,弦 AB=16cm,P 为 AB 上一动点,则点 P 到圆心 O 的最 短距离为 cm. 5. 如图,一个扇形铁皮 OAB. 已知 OA=60cm,∠AOB=120° ,小华将 OA、OB 合 拢制成了一个圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计),则烟囱帽的底面圆的半径为( ) A. 10cm B. 20cm C. 24cm D. 30cm 6.如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为 16cm2,则该半圆 的半径为 ( ) (4 ? 5) cm B. cm A. 9 C. 4 5 cm D. 6 2 cm 7.如图,⊙O 的半径为 3cm,B 为⊙O 外一点,OB 交⊙O 于点 A,AB=OA,动 点 P 从点 A 出发,以 ? cm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立 即停止.当点 P 运动的时间为 s 时,BP 与⊙O 相切. 8.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是 E P 2 O O A B A B
D 第 10 题图 第 9 题图 9.如图,边长为 1 的小正方形构成的网格中,半径为 1 的⊙O 的圆心 O 在格点 上,则∠AED 的正切值等于 . y 10.如图,AB为⊙O直径,AC为弦,OD∥BC交AC于点D, A x AB=20cm,∠A=30°,则AD= cm O 11.半径为 5 的⊙P 与 y 轴交于点 M(0,-4) ,N(0,-10) , M

3

第 7 题图

第 8 题图

C

函数 y ?

N 12.如图,已知圆 O 的半径为 6cm,射线 PM 经过点 O , 第 11 题图 OP ? 10cm ,射线 PN 与圆 O 相切于点 Q . A,B 两点同时从 N 点 P 出发,点 A 以 5cm/s 的速度沿射线 PM 方向运动,点 B 以 4cm/s 的速度沿射线 PN 方向运动.设运动时间为 t s. Q (1)求 PQ 的长; B (2)当 t 为何值时,直线 AB 与圆 O 相切? PA O M 第 12 题图
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k ( x ? 0) 的图像过点 P,则 k = x



P

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思考与收获 【当堂检测】 1.下列命题中,真命题的个数为( ) ①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 ②如果四边形的两条对角线互相垂直,那么它的面积等于两条对角线长的积的一 半③在一个圆中,如果弦相等,那么所对的圆周角相等④已知两圆半径分别为 5, 3,圆心距为 2,那么两圆内切 A.1 B.2 C.3 D.4 2.圆 O 是等边三角形 ABC 的外接圆,圆 O 的半径为 2,则等边三角形 ABC 的 边长为( )A. 3 B. 5 C. 2 3 D. 2 5 3.如图,圆 O 的半径为 1, AB 与圆 O 相切于点 A , OB 与圆 O 交于点 C , ) OD ? OA ,垂足为 D ,则 cos ?AOB 的值等于( A. OD B. OA C. CD D. AB 4.如图, AB 是圆 O 的弦,半径 OA ? 2 , sin A ? A.

2 5 3 B
C

B.

2 13 3
B

C.4
y A

2 ,则弦 AB 的长为( 3 4 5 D. 3
C



O O D A A 第 3 题图 B

1 O 1 x

O A M 第 6 题图 B O A D B

第 4 题图 第 7 题图 5.如图,⊙O 的半径为 2,点 A 的坐标为(2, 2 3 ) ,直线 AB 为⊙O 的切线,B 为切点.则 B 点的坐标为( ) ? 3 8? ? 4 9? , ? A. ? ? B. ? 3,1 C. ? ? , ? D. ? 1, 3 ? 2 5? ? 5 5? ? ? 6.如图 4,⊙O 的半径为 5,弦 AB=6,M 是 AB 上任意一点,则线段 OM 的长可能 是( )A.2.5 B.3.5 C.4.5 D.5.5 7.高速公路的隧道和桥梁最多,如图是一个隧道的横截面,若它的形状是以 O 为圆 心的圆的一部分,路面 AB =10 米,净高 CD =7 米,则此圆的半径 OA 为( )

第 5 题图

?

?

?

?

A.5

B.7

C.

37 5

D.

37 7

8.在 Rt△ ABC 中,∠C=90° ,AC=12,BC=5,将△ ABC 绕边 AC 所在直线旋转 一周得到圆锥,则该圆锥的侧面积是( ) C A.25π B.65π C.90π D.130π 9.如图, AB 为圆 O 的直径, CD ? AB 于点 E ,交圆 O F 于点 D , OF ? AC 于点 F . B A O E (1)请写出三条与 BC 有关的正确结论; (2)当 ?D ? 30? , BC ? 1 时,求圆中阴影部分的面积. D 第 9 题图 E 10.如图, AB 是圆 O 的一条弦, OD ? AB ,垂足为 C , 交圆 O 于点 D ,点 E 在圆 0 上. O ? (1)若 ?AOD ? 52 ,求 ?DEB 的度数; (2)若 OC ? 3 , OA ? 5 ,求 AB 的长. B A C D 第 10 题图
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第 40 课时

图形的变换(一)

【知识梳理】 1、轴对称及轴对称图形的联系:轴对称及轴对称图形可以相互转化. 区别:轴对 称是指两个图形之间的位置关系,而轴对称图形一个图形自身的性质;轴对称只 有一条对称轴,轴对称图形可能有几条对称轴. 2、通过具体实例认识轴对称,探索它的基本性质,理解对应点所连的线段被对称 轴垂直平分的性质. 3、能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;探索简单图形 之间的轴对称关系,并能指出对称轴. 4、探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对 称性及其相关性质. 5、欣赏现实生活中的轴对称图形,结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜 面对称,能利用轴对称进行图案设计. 【思想方法】抓住变与不变的量 【例题精讲】 1、观察下列一组图形,根据你所发现的规律下面一个应该是什么形状?

2、如图,菱形 ABCD 中,AB=2,∠BAD=60° ,E 是 AB 的中点,P 是对角线 AC 上的一个动点,则 PE+PB 的最小值是 . 3、如图,P 在∠AOB 内,点 M、N 分别是点 P 关 AO、BO 的对称点,MN 分别交 OA、OB 于 E、F. ⑴ 若 △ PEF 的周长是 20cm,求 MN 的长. ⑵若∠AOB=30° 试 判断△ MNO 的形状,并说明理由
O M A E P F N B



4、将一张矩形的纸对折,如图所示可得到一条折痕(图中 虚线) .继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持 平行, 连续对折三次后, 可以得到 7 条折痕, 那么对折四次可得到 果对折 n 次,可以得到 条折痕.

条折痕. 如

5、做一做:用四块如图 1 的瓷砖拼成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你 在图 2、图 3、图 4 中各画出一种拼法(要求三种拼法各不相同,所画图案中的 阴影部分用斜线表示).

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思考与收获 6、已知如图, 在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC, BC=5cm,CD=6cm,∠DCB=60? , ∠ ABC=90? ,等边三角形 MNP(N 为不动点)的边长为 a cm,边 MN 和直角 梯形 ABCD 的底边 BC 都在直线 l 上,NC=8 cm ,将直角梯形 ABCD 向左翻折 180? ,翻折一次得图形①,翻折二次得图形②,如此翻折下去.(1)、将直角梯 形 ABCD 向左翻折二次,如果此时等边三角形 MNP 的边长 a≥2cm,这时两图 形重叠部分的面积是多少?(2)、将直角梯形 ABCD 向左翻折三次,如果第三次 翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积就等于直角梯形 ABCD 的面 积,这时等边三角形 MNP 的边长 a 至少应为多少?(3)、将直角梯形 ABCD 向 左翻折三次,如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等 于直角梯形 ABCD 的面积的一半,这时等边三角形 MNP 的边长 a 应为多少? P D A

M

N





C

B

【当堂检测】 1.下列图形是否是轴对称图形,找出轴对称图形的有几条对称轴.

第 1 题图 2.小明的运动衣号在镜子中的像是 ,则小明的运动衣号码是 ( ) A. B. C. D 3.在角、线段、等边三角形、平行四边形形中,轴对称图形有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.下面四个图形中,从几何图形的性质考虑,哪一个与其它三个不同?请指出这 个图形,并简述你的理由.答:图形 ;理由是 :

5.如图,ΔABC 中,DE 是边 AC 的垂直平分线 AC=6cm, ΔABD 的周长为 13cm,则 ΔABC 的周长为______cm. 第 5 题图 6.如图,AD 是△ ABC 的中线,∠ADC=45° ,把△ ADC 沿 AD 对折,点 C 落在 点 C ? 的位置,则 B C ? 与 BC 之间的数量关系是 .
C?

A

B

D 第 6 题图

C

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第 41 课时

图形的变换(二)

【知识梳理】 一、图形的平移 1、平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图 形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小. 注:(1)平移是运动的一种形式,是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形 在同一平面内的变换. (2)图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向,二是图形平移的距离, 这两个要素是图形平移 的依据. (3)图形的平移是指图形整体的平移,经过平移后的图形,与原图形相比, 只改变了位置,而不改变图形的大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的 依据. 2.平移的基本性质:由平移的基本概念知,经过平移,图形上的每一个点都沿 同一个方向移动相同的距离,平移不改变图形的形状和大小,因此平移具有下 列性质:经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对 应角相等. 注: 1) ( 要注意正确找出―对应线段, 对应角‖, 从而正确表达基本性质的特征. 2) ( ―对应点所连的线段平行且相等‖,这个基本性质既可作为平移图形之间的性 质,又可作为平移作图的依据. 二、图形的旋转 1.图形旋转的基本性质:对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的距 离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等; 2.中心对称图形:____________________________________ 3.平行四边形、矩形、菱形、正多边形(边数是偶数) 、圆是中心对称图形; 【思想方法】 数形结合 【例题精讲】 1.如图,在△ ABC 中,∠C=90° ,AC=2cm,把这个三角形在平面内 绕点 C 顺时针旋转 90° ,那么点 A 移动所走过的路线长是 cm. 2.将两块含 30° 角且大小相同的直角三角板如图 1 摆放.(1) 将图 2 中△ A1B1C 绕 点 C 顺时针旋转 45° 得图 2,点 P1是A1C 与 AB 的交点,求证: CP1= 2 AP1 ;(2)将 图 2 中△ A1B1C 绕点 C 顺时针旋转 30° 到△ A2 B2C (如图 3) ,点 P2是A 2C 与 AB 的交点.线段 CP1与P1P2 之间存 在一个确定的等量关系,请你 写出这个关系式并说明理由; (3) 将图 3 中线段 CP1 绕点 C 顺时针旋转 60° CP3 (图 4) 到 , 连结 P3P2 ,求证: P3P2 ⊥AB. 图1 图2
2

图3
—◇◇

图4

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思考与收获 3.把两个全等的等腰直角三角板 ABC 和 EFG(其直角边长均为 4)叠放在一起 (如图①) ,且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合.现 将三角板 EFG 绕 O 点顺时针方向旋转(旋转角 α 满足条件:0° <α<90° ),四边 形 CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②).(1)在上述旋转过程中, BH 与 CK 有怎样的数量关系?四边形 CHGK 的面积有何变化?证明你发现的结 论;(2)连接 HK,在上述旋转过程中,设 BH= x ,△ GKH 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围;(3)在(2)的前提下,是否存在某

5
一位置, 使△ GKH 的面积恰好等于△ ABC 面积的 16 ?若存在, 求出此时 x 的值; 若不存在,说明理由.
A
G(O)

C E ①

B F

4.如图 1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图 2) , 量得他们的斜边长为 10cm,较小锐角为 30° ,再将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状,但点 B、C、F、D 在同一条直线上,且点 C 与点 F 重合(在图 3 至图 6 中统一用 F 表示)

(图 1) (图 2) (图 3) 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决. (1)将图 3 中的△ ABF 沿 BD 向右平移到图 4 的位置,使点 B 与点 F 重合,请 你求出平移的距离; (2)将图 3 中的△ ABF 绕点 F 顺时针方向旋转 30° 到图 5 的位置,A1F 交 DE 于 点 G,请你求出线段 FG 的长度; (3)将图 3 中的△ ABF 沿直线 AF 翻折到图 6 的位置,AB1 交 DE 于点 H,请证 明:AH﹦DH

(图 4)

(图 5)

(图 6)

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思考与收获 【当堂检测】 1.下列说法正确的是( ) A.旋转后的图形的位置一定改变 B.旋转后的图形的位置一定不变 C.旋转后的图形的位置可能不变 D.旋转后的图形的位置和形状都发生变化 2.下列关于旋转和平移的说法错误的是( ) A.旋转需旋转中心和旋转角,而平移需平移方向和平移距离 B.旋转和平移都只能改变图形的位置 C.旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化 D.旋转和平移的定义是相同的 3. 在―党‖―在‖―我‖―心‖―中‖五个汉字中, 旋转 180o 后不变的字是_____, 在字母―X‖、 ―V‖、―Z‖、―H‖中绕某点旋转不超过 180 后能与原图形重合的是____. 4.△ ABC 是等腰直角三角形,如图,A B=A C,∠BA C=90° ,D 是 BC 上一点, △ ACD 经过旋转到达△ ABE 的位置,则其旋转角的度数为( ) A E A.90°B.120°C.60°D.45° 5.以下图形:平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、圆、 菱形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.3 个 B

D 第 4 题图

C

6.如图的图案中,可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是( )

第 6 题图 7.有以下现象:①温度计中,液柱的上升或下降;②打气筒打气时,活塞的运动; ③钟摆的摆动;④传送带上瓶装饮料的移动,其中属于平移的是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.②④ 8.如图,若将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 后得到△ A?B?C? ,则 A 点的对应点 A′ 的坐标是( ) A. (-3,-2)B. (2,2) C. (3,0)D. (2,1)

第 8 题图

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第 42 课时

视图与投影

【知识梳理】 1、 主视图、左视图、俯视图 2、 主俯长相等,主左高平齐,俯左宽相等 【思想方法】 转化:立体与平面互化 【例题精讲】 1. 下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是( ) A、三角形 B、正方形 C、任意四边形 D、正八边形 2. 用一张正多边形的纸片,在某一点处镶嵌(即无缝隙的围成一周) ,可实施的 方案有哪 6 种?每一种方案中需要的纸片各是几张? 3.如图,用灰白两色正方形瓷砖铺设地面,第 6 个图案中灰色瓷砖块数为____.

第 1 个图案

第 2 个图案

第 3 个图案

4. 用含 30? 角的两块同样大小的直角三角板拼图形,下列四种图形:①平行四边 形,②菱形,③矩形,④直角梯形.其中可以被拼成的图形是( ) A.①② B.①③ C.③④ D.①②③

5. 为创建绿色校园,学校决定对一块正方形的空地进行种植花草,现向学生征集 设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计,使正方形和所画的图弧构 成的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你 在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案. 注:两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于一种,例如:图①、图② 只算一种.











10 6.下图是某几何体的展开图. (1)这个几何体的名称是 ; (2)画出这个几何体的三视图; (3)求这个几何体的体积. ? 取 3.14) ( 7.东东和爸爸到广场散步,爸爸的身高是 176cm,东东的 身高是 156cm,在同一时刻爸爸的影长是 88cm,那么东东的影长是 8.如图(1)是一个小正方体的侧 迎 迎 面展开图,小正方体从图(2)所 接 奥 运 圣 接 奥 示的位置依次翻到第 1 格、第 2

20

cm.

格、 3 格, 第 这时小正方体朝上一 面的字是( ) A.奥 B.运 C.圣 D.火

火 图1

1

2 图2

3

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思考与收获 【当堂检测】 1.如图所示的阴影部分图案是由方格纸上 3 个小方格组成, 我们称这样的图案为 L 形. 那么在由 4× 个小方格组成的方格纸上最多可以画出 5 不同位置的 L 形图案的个数是 ( ) A.16 个 B.32 个 C.48 个 D.64 个 第 1 题图 )

2.在下面的四个几何体中,它们各自的左视图与主视图不相同的是(

正方体 A

长方体 B

圆柱 C

圆锥 D

3.如图甲,正方形被划分成 16 个全 等的三角形,将其中若干个三角形 涂黑,且满足下列条件: (1)涂黑部分的面积是原正方形面 积的一半; (2)涂黑部分成轴对称图形. 如图乙是一种涂法,请在图 1~3 中分别设计另外三种涂法. (在所设 计的图案中,若涂黑部分全等,则 认为是同一种涂法,如图乙与图丙)
4.现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片,分别放在方格纸中,方

格纸中的每个小正方形的边长均 为 1, 并且平行四边形纸片的每个 顶点与小正方形的顶点重合 (如图 1、 2、 3) 分别在图 1、 2、 图 图 . 图 图1 矩形(非正方形) 图 3 中, 经过平行四边形纸片的任 意一个顶点画一条裁剪线, 沿此裁 剪线将平行四边形纸片裁成两部 图2 正方形 分, 并把这两部分重新拼成符合下 列要求的几何图形.要求: (1)在左边的平行四边形纸片中画 一条裁剪线, 然后在右边相对应的 图3 有一个角是 135°的三角形 方格纸中, 按实际大小画出所拼成 的符合要求的几何图形; (2)裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙; (3)所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合.

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