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河北省承德市隆化县存瑞中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析

河北省承德市隆化县存瑞中学 2014-2015 学年高二下学期第一次 月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 2 1.已知集合 A={0,b},B={x∈Z|x ﹣3x<0},若 A∩B≠?,则 b 等于() A.1 B. 2 C. 3 D.1 或 2 2.复数 z=i?(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.命题“?k0∈R,使函数 f(x)=x +k0x(x∈R)是偶函数”的否定是() 2 A.?k∈R,函数 f(x)=x +kx(x∈R)不是偶函数 2 B. ?k0∈R,使函数 f(x)=x +k0x(x∈R)都是奇函数 2 C. ?k∈R,函数 f(x)=x +kx(x∈R)不是偶函数 2 D.?k0∈R,使函数 f(x)=x +k0x(x∈R)是奇函数 4.运行如图所示的程序框图,输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在函数() x 3 A.y=x+2 图象上 B.y=3x 图象上 C.y=3 的图象上 D.y=3x 图象上 5.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,收 集数据如下: 加工零件 x(个) 10 20 30 40 50 加工时间 y(分钟)64 69 75 82 90 经检验, 这组样本数据具有线性相关关系, 那么对于加工零件的个数 x 与加工时间 y 这两个 变量,下列判断正确的是() A.成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76) C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D.成负相关,其回归直线经过点(30,75) 6.已知质点按规律 s=2t +4t(距离单位:m,时间单位:s)运动,则其在 t=3s 时的瞬时速 度为() (单位:m/s) . A.30 B.28 C.24 D.16 7.某几何体的三视图如图,该几何体的体积为() A. B. C. 1 D.2
2 2

8.中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 4x+3y=0,则该双曲线的 离心率为()

A.

B.

C.

D.

9.“直线 l 垂直于△ ABC 的边 AB,AC”是“直线 l 垂直于△ ABC 的边 BC”的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分也非必要条件

10.已知曲线 y= A.3

﹣3lnx+1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为() B. 2 C. 1 D.

11.学习合情推理后,甲、乙两位同学各举了一个例子,甲:由“若三角形周长为 l,面积为 S, 则其内切圆半径 ”类比可得“若三棱锥表面积为 S, 体积为 V, 则其内切球半径 ”;

乙:由“若直角三角形两直角边长分别为 a,b,则其外接圆半径

”;类比可得“若

三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为 a、b、c,则其外接球半径 两位同学类比得出的结论() A.两人都对 B.甲错、乙对

”.这

C.甲对、乙错

D.两人都错

12.把正整数 1,2,3,4,5,6,…按某种规律填入下表: 2 6 10 14 1 4 5 8 9 12 13 …. 3 7 11 15 按照这种规律继续填写,那么 2015 出现在() A.第 1 行第 1510 列 B. 第 3 行第 1510 列 C. 第 2 行第 1511 列 D.第 3 行第 1511 列

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上) 13.复数 z 为纯虚数,若(1+i)z=a+i(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为. 14.若函数 f(x)=2x ﹣3mx +6x 在区间(2,+∞)上为增函数,则实数 m 的取值范围是. 15.已知函数 f(x)=x +ax +bx+a (a,b∈R)若函数 f(x)在 x=1 处有极值 10,则 b 的值 为.
3 2 2 3 2

16.已知双曲线 C:



=1,点 P 与双曲线 C 的焦点不重合,若点 P 关于双曲线 C 的

上、下焦点的对称点分别为 A、B,点 Q 在双曲线 C 的上支上,点 P 关于点 Q 的对称点 P1, 则|P1A|﹣|P1B|=.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知复数 (1)求 z; (2)求实数 a,b 的值. 18. 为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查得到了下表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15[ 25 合计 30 20 50 下面的临界值表供参考: P(K ≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 则根据以下参考公式可得随机变量 K 的值 (保留三位小数) , 你认为有多大的把握认为喜爱 打篮球与性别有关. (参考公式: K=
2 2

,若 z +az+b=1﹣i,

2

, 其中 n=a+b+c+d)

19. 已知命题 p: 抛物线 x =﹣y 与直线 y=mx+1 有两个不同交点; 命题 q: 函数 f (x) = x +2 (m﹣2)x +x﹣3 在 R 上单调递增;若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 20.空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中, 呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现 3 象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m )为 0~50 时,空 气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50~100 时,空气质量级别为 二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别为三级,空气 质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质量 状况属于中度污染;当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况 属于重度污染;当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严 重污染.1 月某日某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数 3 (单位:μg/m ) [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] 监测点个数 15 40 y 10 (Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x,y 的值,并完成频率分布直方图;
2

2

3

(Ⅱ)若 A 市共有 5 个监测点,其中有 3 个监测点为轻度污染,2 个监测点为良.从中任意 选取 2 个监测点,事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?

21.如图,多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是菱形,∠BCD=60°,四边形 BDEF 是正方形 且 DE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:CF∥平面 ADE; (Ⅱ)若 AE= ,求多面体 ABCDEF 的体积 V.

22.已知 f(x)=x +x +…+x﹣1(x∈(0,+∞) ,n∈N,n≥2) . (1)当 n=2,x∈(0,1]时,若不等式 f(x)≤kx 恒成立,求 k 的范围; (2)试证函数 f(x)在( ,1)内存在零点.

n

n﹣1

河北省承德市隆化县存瑞中学 2014-2015 学年高二下学 期第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 2 1.已知集合 A={0,b},B={x∈Z|x ﹣3x<0},若 A∩B≠?,则 b 等于()

A.1

B. 2

C. 3

D.1 或 2

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 B 中不等式的整数解确定出 B,根据 A 与 B 的交集不为空集,求出 b 的值即 可. 解答: 解:由 B 中不等式解得:0<x<3,x∈Z,即 B={1,2}, ∵A={0,b},且 A∩B≠?, ∴b=1 或 2, 故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.复数 z=i?(1+i) (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 化简复数 z,根据复数与复平面内点的对应关系可得答案. 解答: 解:z=i?(1+i)=﹣1+i, 故复数 z 对应的点为(﹣1,1) , 在复平面的第二象限, 故选 B. 点评: 本题考查复数的代数表示法及其几何意义,属基础题. 3.命题“?k0∈R,使函数 f(x)=x +k0x(x∈R)是偶函数”的否定是() 2 A.?k∈R,函数 f(x)=x +kx(x∈R)不是偶函数 2 B. ?k0∈R,使函数 f(x)=x +k0x(x∈R)都是奇函数 2 C. ?k∈R,函数 f(x)=x +kx(x∈R)不是偶函数 2 D.?k0∈R,使函数 f(x)=x +k0x(x∈R)是奇函数 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用特称命题的全称否定是命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的全称否定是命题,所以, 2 2 命题“?k0∈R,使函数 f(x)=x +k0x(x∈R)是偶函数”的否定是:?k∈R,函数 f(x)=x +kx (x∈R)不是偶函数. 故选:A. 点评: 本题考查全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查. 4.运行如图所示的程序框图,输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在函数() x 3 A.y=x+2 图象上 B.y=3x 图象上 C.y=3 的图象上 D.y=3x 图象上 考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图.
2

分析: 模拟程序框图的运行过程, 得出该程序运行后输出的是什么, 从而求出对应的函数 解析式. 解答: 解:模拟程序框图的运行过程,得; 该程序运行后输出的是实数对 (1,3) , (2,9) , (3,27) , (4,81) ; x 这组数对对应的点在函数 y=3 的图象上. 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图的应用问题,属于基础题. 5.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,收 集数据如下: 加工零件 x(个) 10 20 30 40 50 加工时间 y(分钟)64 69 75 82 90 经检验, 这组样本数据具有线性相关关系, 那么对于加工零件的个数 x 与加工时间 y 这两个 变量,下列判断正确的是() A.成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76) C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D.成负相关,其回归直线经过点(30,75) 考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 根据表中所给的数据,得到两变量为正相关,求出横标和纵标的平均数,得到样本 中心点,进而得到结论. 解答: 解: 由表格数据知, 加工时间随加工零件的个数的增加而增加, 故两变量为正相关, 又由 =30, = (64+69+75+82+90)=76,

故回归直线过样本中心点(30,76) , 故选:B. 点评: 本题考查线性相关及回归方程的应用,解题的关键是得到样本中心点,为基础题. 6.已知质点按规律 s=2t +4t(距离单位:m,时间单位:s)运动,则其在 t=3s 时的瞬时速 度为() (单位:m/s) . A.30 B.28 C.24 D.16 考点: 变化的快慢与变化率. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据导数的物理意义求函数的导数即可. 2 解答: 解:∵s=2t +4t, ∴s'=s'(t)=4t+4 ∴当 t=3 时,s'(3)=4×3+4=16, 故选:D 点评: 本题主要考查导数的物理意义,要求熟练掌握导数的基本运算,比较基础.
2

7.某几何体的三视图如图,该几何体的体积为() A. B. C. 1 D.2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 通过观察几何体的三视图,可得该几何体是一个四棱锥,计算即得结论. 解答: 解:根据几何体的三视图,得该几何体是一个四棱锥, 其底面为边长为 1 的正方形,高为 2, ∴该四棱锥的体积为 V 四棱锥= ×1×1×2= , 故选:B. 点评: 本题主要考查几何体的体积,注意解题方法的积累,属于基础题. 8.中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 4x+3y=0,则该双曲线的 离心率为() A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 4x+3y=0,可得 .可得该双曲线的离心率= .

解答: 解:∵中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为 4x+3y=0,即 . ∴ .

则该双曲线的离心率=

= .

故选:D. 点评: 本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题. 9.“直线 l 垂直于△ ABC 的边 AB,AC”是“直线 l 垂直于△ ABC 的边 BC”的() A.充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D.既非充分也非必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质定理进行判断即可. 解:若直线 l 垂直于△ ABC 的边 AB,AC,

∵AB∩AC=A, ∴l⊥平面 ABC,则直线 l 垂直于△ ABC 的边 BC,即充分性成立, 反正若直线 l 垂直于△ ABC 的边 BC, 则直线 l 不一定垂直于平面 ABC, 故直线 l 垂直于△ ABC 的边 AB,AC 不成立, 故“直线 l 垂直于△ ABC 的边 AB, AC”是“直线 l 垂直于△ ABC 的边 BC”的充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据线面垂直的判定定理和性质定理是 解决本题的关键.

10.已知曲线 y= A.3

﹣3lnx+1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为() B. 2 C. 1 D.

考点: 专题: 分析: 解答:

利用导数研究曲线上某点切线方程. 导数的概念及应用. 求出函数的定义域和导数,利用导数是切线的斜率进行求解即可. 解:函数的定义域为(0,+∞) ,

则函数的导数 f′(x)= ﹣ , 由 f′(x)= ﹣ = , 即 x ﹣x﹣6=0, 解得 x=3 或 x=﹣2(舍) , 故切点的横坐标为 3, 故选:A. 点评: 本题主要考查导数的几何意义的应用,求函数的导数,解导数方程即可,注意定义 域的限制. 11.学习合情推理后,甲、乙两位同学各举了一个例子,甲:由“若三角形周长为 l,面积为 S, 则其内切圆半径 ”类比可得“若三棱锥表面积为 S, 体积为 V, 则其内切球半径 ”;
2

乙:由“若直角三角形两直角边长分别为 a,b,则其外接圆半径

”;类比可得“若

三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为 a、b、c,则其外接球半径 两位同学类比得出的结论() A.两人都对 B.甲错、乙对 考点: 类比推理. 专题: 压轴题;探究型.

”.这

C.甲对、乙错

D.两人都错

分析: 本题考查的知识点是类比推理, 但归纳推理和类比推理的结论不一定正确, 我们还 要继续进一步证明结论, 由此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径, 可求得其半径 ,因此,乙同学类比的结论是错误的. 解答: 解:利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的; 把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体, 则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径, 可求得其半径 ,

因此,乙同学类比的结论是错误的. 故选 C 点评: 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .判断一个推理过程是否 是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义, 即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊 的推理过程. 12.把正整数 1,2,3,4,5,6,…按某种规律填入下表: 2 6 10 14 1 4 5 8 9 12 13 …. 3 7 11 15 按照这种规律继续填写,那么 2015 出现在() A.第 1 行第 1510 列 B. 第 3 行第 1510 列 C. 第 2 行第 1511 列 D.第 3 行第 1511 列 考点: 数列的函数特性. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法;推理和证明. 分析: 由已知表格中,数字的填写方式,可知每 4 个数字占三列,并且第一列的第 2 行填 写第一个数,第二列的第 1 行填写第二个数,第二列的第 3 行填写第三个数,第三列的第 1 行填写第四个数,将 2015 除以周期 4 后,代入填写规则,即可得到答案 解答: 解:分析表中数据,发现正整数 1,2,3,4,5,6,… 每 4 个数分为一组,填写在连续的三列中, 第一列的第 2 行填写第一个数, 第二列的第 1 行填写第二个数, 第二列的第 3 行填写第三个数, 第三列的第 1 行填写第四个数, ∵2015÷4=503…3 故该组数字前共有 503 组,已经占用了 503×3=1509 列 2015 为该组的第三个数,出现在该组的第二列的第 3 行 故 2015 出现在第 3 行,第 1509+2=1511 列, 故选:D. 点评: 本题重点考查归纳推理, 其中根据已知表格中填写的数字, 找出数字填写的周期性 规律是解答本题的关键.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上) 13.复数 z 为纯虚数,若(1+i)z=a+i(i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为﹣1. 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 化简已知复数可得 z= 之可得. 解答: 解:∵(1+i)z=a+i, ∴z= = ∵复数 z 为纯虚数, ∴ ,解得 a=﹣1 = , , 由纯虚数的定义可得 , 解

故答案为:﹣1. 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,涉及复数的基本概念,属基础题. 14.若函数 f(x)=2x ﹣3mx +6x 在区间(2,+∞)上为增函数,则实数 m 的取值范围是 (﹣∞,2.5]. 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: 求 f′(x)=6x ﹣6mx+6,根据题意可知 f′(x)≥0 在(2,+∞)上恒成立,可设 g 2 (x)=6x ﹣6mx+6,所以讨论△ 的取值,从而判断 g(x)≥0 是否在(2,+∞)上恒成立: △ ≤0 时,容易求出﹣2≤m≤2,显然满足 g(x)≥0;△ <0 时,m 需要满足 ,这样求出 m 的范围,和前面求出的 m 范围求并集即可. 解答: 解:f′(x)=6x ﹣6mx+6; 由已知条件知 x∈(2,+∞)时,f′(x)≥0 恒成立; 2 设 g(x)=6x ﹣6mx+6,则 g(x)≥0 在(2,+∞)上恒成立; 2 ∴(1)若△ =36(m ﹣4)≤0,即﹣2≤m≤2,满足 g(x)≥0 在(2,+∞)上恒成立; (2)若△ =36(m ﹣4)>0,即 m<﹣2,或 m>2,则需: 解得 m<2.5; ∴m<﹣2 或 2<m≤2.5. ∴综上得 m≤2.5. ∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,2.5]. 故答案为: (﹣∞,2.5].
2 2 2 3 2

点评: 考查函数单调性和函数导数符号的关系, 熟练掌握二次函数的图象, 以及判别式△ 的取值情况和二次函数取值的关系. 15.已知函数 f(x)=x +ax +bx+a (a,b∈R)若函数 f(x)在 x=1 处有极值 10,则 b 的值 为﹣11. 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 2 分析: 先对函数求导 f'(x)=3x +2ax+b,由题意可得 f(1)=10,f′(1)=0,结合导数存 在的条件可求. 2 解答: 解:f′(x)=3x +2ax+b 则
2 3 2 2



当 当

时,f'(x)=3x +8x﹣11,△ =64+132>0,所以函数有极值点; ,所以函数无极值点;

则 b 的值为:﹣11. 故答案为:﹣11. 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值, 注意函数极值存在的充要条件, 考查计 算能力.

16.已知双曲线 C:



=1,点 P 与双曲线 C 的焦点不重合,若点 P 关于双曲线 C 的

上、下焦点的对称点分别为 A、B,点 Q 在双曲线 C 的上支上,点 P 关于点 Q 的对称点 P1, 则|P1A|﹣|P1B|=﹣16. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设双曲线的上下焦点分别为 F, F',连接 QF,QF'.运用对称和三角形的中位线定 理,结合双曲线的定义,即可得到结论. 解答: 解:设双曲线的上下焦点分别为 F,F',连接 QF,QF'. 由点 P 关于双曲线 C 的上、下焦点的对称点分别为 A、B, 则 F 为 PA 的中点,F'为 PB 的中点, 由点 Q 在双曲线 C 的上支上,点 P 关于点 Q 的对称点 P1, 则 Q 为 PP1 的中点, 由中位线定理可得,|P1A|=2|QF|, |P1B|=2|QF'|, 由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8, 则|P1A|﹣|P1B|=2(|QF|﹣|QF'|)=﹣2×8=﹣16. 故答案为:﹣16.

点评: 本题考查双曲线的定义,考查三角形的中位线定理的运用,考查运算能力,属于基 础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知复数 (1)求 z; (2)求实数 a,b 的值. 考点: 复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: (1) (1﹣i) =1﹣2i+i =﹣2i,再由复数除法知识,分子分母同乘以 2+i,化简整 理即可. 2 (2)把 Z=1+i 代入 z +az+b=1﹣i,整理成 x+yi 形式,由复数相等知识实部、虚部分别相等, 列方程组求解. 解答: 解: (1)
2 2 2

,若 z +az+b=1﹣i,

2


2

(2)把 Z=1+i 代入 z +az+b=1﹣i,即(1+i) +a(1+i)+b=1﹣i, 得 a+b+(2+a)i=1﹣i. 所以 解得 a=﹣3;b=4 所以实数 a,b 的值分别为﹣3,4 点评: 本题考查复数的基本运算和复数相等等知识,属基本运算的考查. 18. 为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查得到了下表: 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15[ 25 合计 30 20 50 下面的临界值表供参考: 2 P(K ≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 则根据以下参考公式可得随机变量 K 的值 (保留三位小数) , 你认为有多大的把握认为喜爱 打篮球与性别有关. (参考公式: K=
2

, 其中 n=a+b+c+d)

考点: 独立性检验. 专题: 概率与统计. 分析: 根据所给的列联表得到求观测值所用的数据, 把数据代入观测值公式中, 做出观测 值,同所给的临界值表进行比较,可得答案. 解答: 解:根据所给的列联表,

得到 k =

2

=

≈8.333>7.879,

∴至少有 99.5%的把握说明喜爱打篮球与性别有关. 点评: 本题考查独立性检验的应用, 考查根据列联表做出观测值, 根据所给的临界值表进 行比较,本题是一个基础题.
2 3

19. 已知命题 p: 抛物线 x =﹣y 与直线 y=mx+1 有两个不同交点; 命题 q: 函数 f (x) = x +2 (m﹣2)x +x﹣3 在 R 上单调递增;若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 先求出命题 p,q 为真时 m 的范围,通过讨论当①p 为真 q 为假,②当 p 为假 q 为真时的情况,从而求出 m 的范围. 2 解答: 解:命题 p 为真时,方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实根, 2 所以△ =m ﹣4>0, ∴m∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) ; 2 命题 q 为真时,f'(x)=4x +4(m﹣2)x+1≥0 恒成立, 2 所以△ =16(m﹣2) ﹣16≤0, ∴m∈[1,3], 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假, 所以 p 与 q 为一真一假, (1)当 p 为真 q 为假时, ,
2

(2)当 p 为假 q 为真时,



综上所述得:m 的取值范围是 m<﹣2 或 m>3 或 1≤m≤2. 点评: 本题考查了复合命题之间的关系,考查了二次函数的性质,是一道基础题. 20.空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中, 呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现 3 象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m )为 0~50 时,空 气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为 50~100 时,空气质量级别为 二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为 100~150 时,空气质量级别为三级,空气 质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为四级,空气质量 状况属于中度污染;当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状况 属于重度污染;当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严 重污染.1 月某日某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数 3 (单位:μg/m ) [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] 监测点个数 15 40 y 10 (Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出 x,y 的值,并完成频率分布直方图;

(Ⅱ)若 A 市共有 5 个监测点,其中有 3 个监测点为轻度污染,2 个监测点为良.从中任意 选取 2 个监测点,事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?

考点: 频率分布直方图;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据频率分布直方图,利用频率= 中各小进行对应的高,补全频率分布直方图; (Ⅱ)利用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可. 解答: 解: (Ⅰ)根据频率分布直方图,得; 0.003×50= ,∴x=100; ,求出 x、y 的值,计算直方图

又∵15+40+y+10=100, ∴y=35;… ∴直方图中(50,100]对应矩形的高为 (100,150]对应矩形的高为 (150,200]对应矩形的高为 补全频率分布直方图,如图所示; … (Ⅱ)设 A 市空气质量状况属于轻度污染 3 个监测点为 1,2,3, 空气质量状况属于良的 2 个监测点为 4,5, 从中任取 2 个的基本事件分别为 (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5)共 10 种,… 其中事件 A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为 (1,4) , (1,5) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5)共 7 种,… =0.007, =0.002; =0.008,

所以事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是 P(A)=

.…

点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了用列举法求古典概型的概率问 题,是基础题目. 21.如图,多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是菱形,∠BCD=60°,四边形 BDEF 是正方形 且 DE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:CF∥平面 ADE; (Ⅱ)若 AE= ,求多面体 ABCDEF 的体积 V.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 由已知得 AD∥BC, DE∥BF, 从而平面 ADE∥平面 BCF, 由此能证明 CF∥ 平面 ADE. (Ⅱ)连结 AC,交 BD 于 O,由线面垂直得 AC⊥DE,由菱形性质得 AC⊥BD,从而 AC⊥ 平面 BDEF,进而多面体 ABCDEF 的体积 V=2VA﹣BDEF,由此能求出多面体 ABCDEF 的体 积 V. 解答: (Ⅰ)证明:∵底面 ABCD 是菱形,∴AD∥BC, ∵四边形 BDEF 是正方形,∴DE∥BF, ∵BF∩BC=B,∴平面 ADE∥平面 BCF, ∵CF?平面 BCF,∴CF∥平面 ADE. (Ⅱ)解:连结 AC,交 BD 于 O, ∵四边形 BDEF 是正方形且 DE⊥平面 ABCD. ∴DE⊥平面 ABCD,又 AC?平面 ABCD,∴AC⊥DE,

∵底面 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, 又 BD∩DE=D,∴AC⊥平面 BDEF, ∵AE= ,∠BCD=60°,∴AD=DE=BD=1, ∴AO=CO= ,

∴多面体 ABCDEF 的体积: V=2VA﹣BDEF=2× =2× = .

点评: 本题考查线面平行证明, 考查多面体的体积的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 22.已知 f(x)=x +x +…+x﹣1(x∈(0,+∞) ,n∈N,n≥2) . (1)当 n=2,x∈(0,1]时,若不等式 f(x)≤kx 恒成立,求 k 的范围; (2)试证函数 f(x)在( ,1)内存在零点.
n n﹣1

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用;等差数列与等比数列. 分析: (1)将 n=2 带入原函数求出 f(x) ,带入不等式便得:x +x﹣1≤kx,这里要求 k 的范围,因为 x>0,所以不等式两边可同除以 x,得到 于等于 的最大值,所以转而求函数 ,所以这里只要让 k 大
2

的最大值即可. ,

(2)要证明函数 f(x)在( ,1)内存在零点,则一定有

光是异号还不行,一般的需要 f(x)在( ,1)上单调.这些条件都找到了,这道题的答 案也就接出来了. 2 2 解答: 解: (1)n=2 时,f(x)=x +x﹣1,所以由 f(x)≤kx 得:x +x﹣1≤kx; ∵x>0∴ 令 (1)=1; 所以 k≥1. (2)f′(x)=x
n﹣1

; ,则 g′(x)= >0,所以 g(x)在(0,1]上是增函数,g(x)max=g

+x

n ﹣2

+…+1=

,且在( ,1)上,0<x <1,1﹣x >0,1﹣x>0,

n

n

所以在( ,1)上 f′(x)>0;

所以 f(x)在( ,1)上是增函数,且 f(1)=n﹣1>0,



所以 f(x)在( ,1)内存在唯一的零点. 点评: 需注意的,或解这道题的关键点就是在所得不等式两边同除 x,而第二问所用的是 证明一般函数在某个区间上有零点基本方法,须记住并理解.


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