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广东省韶关市2014届高三调研试题(一)文科数学


韶关市 2014 届高三调研测试题(一)

数学试题(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟.

注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答 案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面面积, h 为锥体的高. 3

一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
2 1. 设集合 A ? ??2, 0, 2, 4? , B ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? B ? (

?

?



A.?0?
2. 已知 a 是实数,

B.?2?

C.?0,2?


D.?0,2,4?

a?i 是纯虚数,则 a 等于( 1? i

A.
3.若 a

1

B.

?1

C.

2

D. ? 2
).

? 20.5 , b ? log? 3, c ? log 2
B. b ? a ? c

2 ,则有( 2
C. c ? a ? b

A. a ? b ? c

D. b ? c ? a
)

4. 在区间 ? 0, 2 ? 之间随机抽取一个数 x ,则 x 满足 2 x ? 1 ? 0 的概率为( A.

3 . 4

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 3
)

5. 阅读如图的程序框图.若输入 n=5,则输出 k 的值为(

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的 6.已知椭圆与双曲线 4 12
距离之和为 10 ,那么椭圆的离心率等于( )
·1 ·

A.

3 5

B.

4 5

C.

5 4

D.

3 4
)

7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.

3? 2 8. 函数 y ? 1 ? 2 sin ( x ? ) 是( 4
A.最小正周期为 ? 的奇函数

1 2

B. 1

C.

3 2

D. 3
3 3

) B.最小正周期为 ? 的偶函数
1 正视图 2 1 2 1 侧视图

? ? C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2 ? ???? ???? ? ???? ???? 0 9. 已知向量 AB 与 A C 的夹角为 120 ,且 A B ? 2, A C ? 3 ,若
AP ? ? AB ? AC ,且, AP ? BC ,则实数 ? 的值为(
A. )

俯视图

3 7

B. 13

C. 6

D.

12 7

10. 已知函数 f ( x ) ? ? 值范围是( A. [1, ??)

?log 2 x, x ? 0
x ?3 ,

x?0

,且函数 h( x) ? f ( x) ? x ? a 有且只有一个零点,则实数 a 的取

)
B. (1, ??)

C . (??,1)

D. (??,1]

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 1, a3 ? 2 ,则 S 4=

?x ? 2 y ? 6 ? 12. 设实数 x、y 满足 ? 2 x ? y ? 6 ,则 z ? 3x ? y 的最大值是_____________. ? x ? 0, y ? 0 ?
13.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本

y =0.85x-85.71,给定下列结论: 数据(xi,yi) (i=1,2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 ?
①y 与 x 具有正的线性相关关系; ②回归直线过样本点的中心( x , y ) ;
·2 ·

③若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg; ④若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg. 其中正确的结论是 .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 4 sin ? 的圆心到直线 ? ? 离是 . 15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长
D

?
3
E

(? ? R) 的距

BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E .若 AB ? 8 , DC ? 4 则 DE ? _________.

C O B

A

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或
演算步骤. 16.(本题满分12分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间(单位:分 钟) ,并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) ,其中,上学 路上所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分组为 [0, 20) ,
x

频率/组距

[20, 40) , [40, 60) , [60,80) , [80,100] .
(1)求直方图中 x 的值; (2) 如果上学路上所需时间不少于 40 分钟的学生可申请在学校 住宿,请估计学校 1000 名新生中有多少名学生可以申请住宿.
0.0125 0.0065 0.003

时间
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

O

17. (本题满分12分) 如图,在 ?ABC 中, ?B ? 45? , AC ? 10 , cos ?C ? (1)求边 AB 的长; (2)求 cos A 的值和中线 CD 的长.
B

2 5 ,点 D 是 AB 的中点. 5
A D

C

·3 ·

18.(本题满分14分) 如图所示的多面体中, ABCD 是菱形, BDEF 是矩形, ED ? 面 ABCD , ?BAD ? (1)求证:平 面BCF / /面AED ; (2))若 BF ? BD ? a ,求四棱锥 A ? BDEF 的体积.
D E F

?
3



C B

19.(本题满分14分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3x .
3

A

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 单调区间; (2) 若函数 f ( x) 在区间[1,2]上的最小值为 4 ,求 a 的值.

20.(本题满分14分) 已知 ?an ? 为公差不为零的等差数列,首项 a1 ? a , 数列,且 k1 ? 1 , k2 ? 2 , k3 ? 5 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an (用 a 表示) ; (2)若数列 {k n } 的前 n 项和为 S n ,求 S n . 21.(本题满分14分) 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 A(0, 2) ,线段 FA 的中点在抛物线上. 设动直线
2

?an ? 的部分项 ak

1

、 ak2 、…、 akn 恰为等比

l : y ? kx ? m 与抛物线相切于点 P ,且与抛物线的准线相交于点 Q ,以 PQ 为直径的圆记为圆 C .
(1)求 p 的值; (2)证明:圆 C 与 x 轴必有公共点; (3)在坐标平面上是否存在定点 M ,使得圆 C 恒过点 M ?若存在,求出 M 的坐标;若不存在, 说明理由.

·4 ·

2014 届高三年级调研测试数学 ( 文科)参考答案和评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供 参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相 应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. CAAAB BCADB 1. 解析: B ? ? x | ?1 ? x ? 3? ,所以 A ? B ? C.?0,2?,选 C 2.解析:

a ? i (a ? i)(1 ? i) a ? 1 ? (a ? 1)i 是纯虚数,则 a ? 1 ? 0 ; a ? 1 ,选 A ? ? 1? i 2 2
0.5

3. 解析:? a ? 2 A.

? 20 ? 1 , b ? log? 3 ? ? 0,1? , c ? log 2

2 ? log 2 1 ? 0 ,? a ? b ? c 选 2

4.解析:区间 ? 0, 2 ? 看作总长度为 2,区间 ? 0, 2 ? 中满足 2 x ? 1 ? 0 的只是 ? , 2 ? ,长度为 ,因 2 2

?1 ?

? ?

3

3 3 为 x 是随机抽取的一个数,由几何概型计算公式知 x 满足 2 x ? 1 ? 0 的概率为 P ? 2 ? .答案: A 2 4
5. 答案:B 6. 解析: a ? 5 , c ?

4 ? 12 ? 4 , e ?

4 选B 5
3 ,高为 3 的三棱锥,由锥体的体积公式得 2

7. 解析:由三视图易知,该几何体是底面积为

1 3 3 V ? ? ? 3 ? .答案:C 3 2 2
8. 解析: y ? 1 ? 2sin ( x ?
2

3? 3? ) ? cos 2( x ? ) ? ? sin 2 x ,所以 f ( x) 是最小正周期为 ? 的奇 4 4
·5 ·

函数,选 A

9. 解析: AP ? BC ? (? AB ? AC ) ? ( AC ? AB) ? 0 得

? AB ? AC ? ? ( AB) 2 ? ( AC ) 2 ? AC ? AB) ? 0 ? ?3? ? 4? ? 9 ? 3 ? 0 ? ? ?
10. 解析:如图,在同一坐标系中分别作出 y ? f ( x) 与 y ? ? x ? a 的图象,解析:如图,在同一坐标系中分别作出 y ? f ( x) 与 y ? ? x ? a 的图象,其中 a 表示直线在 y 轴上截距,由图可知,当 a ? 1 时, 直线 y ? ? x ? a 与 y ? log 2 x 只有一个交点.,选 B O 二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 6 12. 9 13. ①②③ 14. 1 15. 2

12 7

选D

y

1 1

x

题目解析: 11. 解析:可已知可得, a1 ? a4 ? 3,? S4 ? 6 12. 解析由可行域知,当 x ? 3, y ? 0 时, zmax ? 9 13. 解析:利用概念得到①②③正确

?1 6 15. 解析:如下图: ?ABC ~ ?CDE ,得
D E A O
x o

14.解析:如下图: d ? 2 ? sin

?

d

C

B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分) 解: (1)由,………………………….4 分 则………………………….6 分 (2)上学所需时间不少于 40 的学生的频率为: ………………………….8 分 估计学校 1000 名新生中有:………………………….11 分 答:估计学校 1000 名新生中有 250 名学生可以申请住宿. …………………12 分

·6 ·

17.(本题满分12分) 解:在中,由可知,是锐角, 所以,………………………….2 分 ……5 分 由正弦定理 (2) ………………………………………………8 分 由余弦定理: ………………. …………………………………………………………………12 分 18.(本题满分14 分) 证明: (1)由是菱形
E F

………………………………3 分 由是矩形
A

D

O B

C

………………………………6 分 (2)连接, 由是菱形, 由面,

,……………………………………………10 分 则为四棱锥的高 由是菱形, , 则为等边三角形, 由;则 ,………………………………………14 分 19. (本题满分14 分) 解: (1)解:……………1分 因为,所以对任意实数恒成立, 所以在是减函数…………………4 分 (2)当时,由(1)可知,在区间[1,2]是减函数 由得, (不符合舍去)…………………6 分 当时,的两根…………………7 分
①当,即时,在区间[1,2]恒成立,在区间[1,2]是增函数,由
·7 ·

得…………………9 分

②当,即时

在区间[1,2]恒成立 在区间[1,2]是减函数

, (不符合舍去)…………………11 分
③当,即时,在区间是减函数,在区间是增函数;所以 综上,…………………14 分 无解…………………13 分

20. (本题满分14 分) 解: (1) ?an ? 为公差不为,由已知得, ,成等比数列, ∴ ,……………………………1 分 得或 ……………………………2 分 若,则 ?an ? 为 ,这与, ,成等比数列矛盾, 所以, ……………………………4 分 所以. ……………………………5 分 (2)由(1)可知 ∴ ……………………………7 分 而等比数列的公比。 ……………………………9 分 因此, ∴ ……………………………11 分 ∴ ……………………………14 分 解 :( 1 ) 利 用 抛 物 线 的 定 义 得 , 故 线 段 的 中 点 的 坐 标 为 , 代 入 方 程 得 , 解 得。 ……………………………2 分 (2)由(1)得抛物线的方程为,从而抛物线的准线方程为 ……………………………3 分 由得方程, 由直线与抛物线相切,得 ……………………………4 分 且,从而,即, ……………………………5 分 由,解得, ……………………………6 分 ∴的中点的坐标为 圆心到轴距离, ∵ 所圆与轴总有公共点. ……………………………8 分 (或 由, ,以线段为直径的方程为:

·8 ·

令得 ,所圆与轴总有公共点). ……………………………9 分 (3)假设平面内存在定点满足条件,由抛物线对称性知点在轴上,设点坐标 为, ……………………………10 分 由(2)知, ∴ 。 由得, 所以,即或 ……………………………13 分 所以平面上存在定点,使得圆恒过点. ……………………………14 分 证法二:由(2)知, ,的中点的坐标为 所以圆的方程为 ……………………………11 分 整理得 ……………………………12 分 上式对任意均成立, 当且仅当,解得 ……………………………13 分 所以平面上存在定点,使得圆恒过点. ……………………………14 分

·9 ·


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