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www.5926w.com:山东省济南市2014届高三上学期期末考试 数学(理)试题 PDF

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2014 年 1 月高三教学质量调研考试

数学(理科)试题答案
一、选择题(共 60 分) BCDCA ADABA 二、填空题(共 16 分) 13. 1007 14. DC

1 2 1 4

15. ( , ?1) 16. m ? n ? 2 ? 2 2 三、解答题(共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 解:(1)∵ f ( x) ? m ? n = (2sin x,sin x ? cos x) ? ( 3 cos x,sin x ? cos x) = 2 3 sin x cos x ? sin x ? cos x
2 2

?? ?

------------------------------------3 分

? 2sin(2 x ? ) 6
故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)∵ f ( ) ? 2sin( A ?

?

?
6

)

------------------------------------6 分 -------------------8 分

A 2

?

? 2? ) ? 2 即 sin( A ? ) ? 1 所以 A ? 3 6 6



1 3 ,可得: c ? 2 bc sin A ? 2 2
2 2 2

------------------------------------10 分

所以 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 7 ,得 a ? 18. (本小题满分 12 分)

7 ------------------------------------12 分

解: (1)由函数 f ( x) 是奇函数可知: f (0) ? 1+m ? 0 , 解得 m ? ?1 . (2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象至少有一个公共点

------------------------------2 分 ------------------------------------4 分

即方程

4x ? 1 ? 2 x ?1 ? a 至少有一个实根 2x
x x

-

-----------------------------------6 分

即方程 4 ? a ? 2 ? 1 ? 0 至少有一个实根 令 t ? 2 ? 0 ,则方程 t ? at ? 1 ? 0 至少有一个正根
x 2

------------------------------------8 分

方法一:由于 a ? t ? ? 2

1 t

∴a 的取值范围为 [2, ??) .
2

------------------------------------12 分

?? ? 0 ? 方法二:令 h(t ) ? t ? at ? 1 ,由于 h(0) ? 1 ? 0 ,所以只须 ? a , ? 0 ? ?2
解得 a ? 2 . ∴a 的取值范围为 [2, ??) . 19. (本小题满分 12 分) 解:(1)设在等比数列 ?an ? 中,公比为 q , 因为 a2 , a3 ? a5 , a4 成等差数列. 所以

2(a3 ? a5 ) ? a2 ? a4

------------------------------2 分

2(q 2 ? q 4 ) ? q ? q 3
解得

q?

1 2
n ?1

------------------------------4 分

所以 an ? ?

?1? ? ?2?

------------------------------6 分
n ?1

?1? (Ⅱ) bn ? (2n ? 1) ? ? ?2?

.

Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn 1 ?1? ?1? Tn ? 1 ?1 ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 2 ?2? ?2?
2 3 2 n ?1


n

1 1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 1 ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? ② ------------------------------8 分 2 2 ?2? ?2? ?2?
①—②,得
n ?1 n ? 1 ? 1 ?2 1 ?1? ? ?1? Tn ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? ? ? 2 ?2? ? ?2? ? ?2 ? 2 ? ? n ? ? 1 ? n ?1 ? ?1? ? 1 ? 2 ?1 ? ? ? ? ?(2n ? 1) ? ? ? ?2? ? ? ?2? ? ? 2n ? 3 ? 3? n 2 2n ? 3 所以 Tn ? 6 ? n ?1 2

------------------------------10 分 ------------------------------12 分

20. (本小题满分 12 分) ( 1)证明:取 DD1 的中点 N,连结 MN、AN、 ME , ------------------------------1 分

MN∥

? 四边形 MNAE 为平行四边形,可知 ME∥AN------------------------------4 分

1 1 CD ,AE∥ CD , 2 2

------------------------------3 分

? AN ? 平面ADD1 A1
ME ? 平面ADD1 A1

? ME ∥平面 AD1 .

------------------------------6 分

(2)解:设 AE ? m ,如图建立空间直角坐标系---------------------------7 分

A(1, 0, 0), E (1, m, 0), C (0, 2, 0), D1 (0, 0, 2) ,
???? ? ??? ? ???? ? ??? ? AD1 ? (?1, 0, 2), AE ? (0, m, 0), D1C ? (0, 2, ?2), EC ? ( ?1, 2 ? m, 0),
平 面 AD1 E 的 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 由 n1 ?

z D1 A1 N M B1 C1

??

??

???? ? AD1 ? 0 及

?? ??? ? ?? n1 ? AE ? 0 得 n1 ? (2, 0,1)

------------------------------9 分
A x

D

C y E B

?? ? ?? ? ???? ? ?? ? ??? ? 平面 D1 EC 的法向量为 n2 ? ( x, y , z ) , 由 n2 ? D1C ? 0 及 n2 ? EC ? 0
得 n2 ? (2 ? m,1,1)

?? ?

------------------------------11 分

?? n1 cos ? ? ?? n1
所以 AE ?

?? ? n2 5 ? 2m 4 5 3 43 2 ,即 20m ? 116m ? 129 ? 0 ,解得 m ? 或m ? ? (舍) ?? ? ? 2 2 10 n2 5 (2 ? m) ? 1 ? 1 15 3 2
------------------------------12 分

21. (本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) . ------------------------------1 分

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a ) ? ? f ( x) ? x ? a ? x x x
'

------------------------------3 分

(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则 f ( x) ?
'

( x ? 1) 2 故 f ( x) 在 (0, ??) 单调增加. ------------------------------4 分 x
'

(ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? ( a ? 1,1) 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? (0, a ? 1) 或 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 ;
'

故 f ( x) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加. (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 , 同理可得 f ( x) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调递增.

-----------------------------5 分

------------------------------6 分

(2) 由题意得 f ( x) ? g ( x) ? 设 F(x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F (x) ? x ?
'

1 2 x ? a ln x ? 2 x ? 0 恒成立. 2
------------------------------8 分

1 2 x ? a ln x ? 2 x , 2

a ?2? 2 a ?2 ? 0 x
-----------------------------10 分 ------------------------------12 分

所以 F(x) 在区间[e,? ?) 上是增函数, 只需 F(e) ?

1 2 1 e ? a ? 2 e ? 0 即 a ? 2e ? e 2 2 2

22. (本小题满分 14 分)

c2 a 2 ? b2 1 解:(1) 由已知可得 2 ? ? ,所以 a 2 ? 2b 2 2 a a 2
又点 M ( 2,1) 在椭圆 C 上,所以 由①②解之,得 a ? 4, b ? 2 .
2 2



-----------------------------1 分

2 1 ? ?1 a 2 b2



-----------------------------2 分

故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2

-----------------------------4 分

(2)【解法一】①当直线 l 的斜率为 0 时,则 k1 ? k2 ?

3 3 3 ? ? ; ----------------5 分 4?2 4?2 4

②当直线 l 的斜率不为 0 时,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 x ? my ? 1 , 将 x ? my ? 1 代入 则 y1 ? y2 ?

x2 y2 ? ? 1 ,整理得 (m 2 ? 2) y 2 ? 2my ? 3 ? 0 .------------------------7 分 4 2
-----------------------------9 分

?2m ?3 , y1 y2 ? 2 2 m ?2 m ?2

又 x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 , 所以, k1 ? k2 ?

3 ? y1 3 ? y2 (3 ? y1 )(3 ? y2 ) 9 ? 3( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ? ? ? 4 ? x1 4 ? x2 (3 ? my1 )(3 ? my2 ) 9 ? 3m( y1 ? y2 ) ? m 2 y1 y2

?2m ?3 ? 2 2 m ?2 m ?2 = ?2m ?3 9 ? 3m 2 ? m2 2 m ?2 m ?2 9 ? 3?

?

3m 2 ? 2m ? 5 3 4m ? 1 ? ? 2 2 4m ? 6 4 8m ? 12

-----------------------------11 分

3 2t ? 2 4 t ? 2t ? 25 1 3 当 t ? 0 时即 m ? ? 时, k1 ? k2 ? ; 4 4
令 t ? 4m ? 1 ,则 k1 ? k2 ?

当 t ? 0 时, k1 ? k2 ?

3 2 3 2t ? ? ? 2 25 4 t ? 2t ? 25 4 (t ? ) ? 2 t 7 3 3 ? k1 ? k2 ? 或 ? k1 ? k2 ? 1 12 4 4
-----------------------------13 分 -----------------------------14 分

当且仅当 t ? 5 ,即 m ? 1 时, k1 ? k2 取得最大值. 由①②得,直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 .

6 6 3+ 2 2 =5; 【解法二】①当直线 l 垂直于 x 轴时,则 k1 ? k2 ? 4 ?1 4 ?1 6 3?
②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 y2 ? ? 1 ,整理得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 4 ? 0 . 4 2

则 x 1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 4 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

又 y1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? k ( x2 ? 1) , 所以, k1 ? k2 ?

9 ? k 2 ? (3k ? k 2 ) x1 x 2 ? k 2 x1 x2 3 ? 2k ? 5k 2 3 ? y1 3 ? y2 , ? ? ? 4 ? x1 4 ? x2 4 ? 6k 2 16 ? 4( x1 ? x2 ) ? x1 x2

令 h( k ) ?

3 ? 2k ? 5k 2 2 , 由 h?(k ) ? 0 得 k ? 1 或 k ? ? 2 3 4 ? 6k

所以当且仅当 k ? 1 时 k1 ? k2 最大,所以直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 .


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