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2016-2017年最新审定人教A版高中数学必修五:1.1《正弦定理和余弦定理(1)》ppt(优秀课件)_图文

最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件 第一章 1.1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 “无限风光在险峰”,在充满象征色彩的诗意里,对险峰的慨叹跃然纸 上,成为千古之佳句.对于难以到达的险峰应如何测出其海拔高度呢? 能通过在水平飞行的飞机上测量飞机下方的险峰海拔高度吗?在本节中, 我们将学习正弦定理,借助已学的三角形的边角关系解决类似于上述问 题的实际问题. 1.任意三角形的内角和为________;三条边满足:两边之和________ 第三边,两边之差________第三边,并且大边对________,小边对 ________. 2.直角三角形的三边长a,b,c(斜边)满足________定理,即 ________. [答案] 1.180° 大于 小于 大角 小角 2.勾股 a2+b2=c2 1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 正弦定理的向量法证明: 证明:(向量法) 当△ABC 是锐角三角形时,如图(1)所示, 过点 A 作单位 → → → → → → 向量 i 垂直于 AB,因为AC=AB+BC,所以 i· AC=i· AB+i· BC, 所以 b· cos(90° -A)=c· cos90° +a· cos(90° -B),即 bsinA=asinB, a b a c a b c 得 = .同理可得 = ,所以 = = . sinA sinB sinA sinC sinA sinB sinC 当△ABC是钝角三角形时,如图(2)所示,也可类似证明. 对正弦定理的理解: (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等 式. (3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的 一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系. (4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化. 有关正弦定理的叙述: ①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于钝角三角形; ③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是 定值; ④在△ABC 中,sinA?sinB?sinC=a?b?C. 其中正确的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4 [答案] B [解析] 正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理可 知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故③正 确;由比例性质和正弦定理可推知④正确.故选B. 2.正弦定理的变形形式 bsinA csinA (1)a= = , sinB sinC asinB csinB b= = , sinA sinC asinC bsinC c= = . sinA sinB asinB asinC (2)sinA= = , b c bsinA bsinC sinB= = , a c csinA csinB sinC= = . a b (3)a ? b ? c=sinA ? sinB ? sinC. (4)边化角公式:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. a b c (5)角化边公式:sinA= ,sinB= ,sinC= . 2R 2R 2R a+b+c a b c (6) = = = =2R.其中,R 为△ sinA sinB sinC sinA+sinB+sinC ABC 外接圆的半径. 在△ABC 中, B=30° , C=45° , c=1, 求边 b 的长及△ABC 外接圆的半径 R. [ 解析] 已知 B=30° ,C=45° ,c=1. b c 由正弦定理,得 = =2R, sinB sinC csinB 1×sin30° 2 所以 b= = = , sinC sin45° 2 c 1 2 2R= = = 2,得 R= . sinC sin45° 2 2 2 所以,b= ,△ABC 外接圆的半径 R= . 2 2 3.解三角形 (1)定义:一般地,把三角形三个角 A、B、C 和它们的对边 a、b、c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元 素的过程叫做解三角形. (2)利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题: ①已知任意两角与一边,求其他两边和一角. ②已知任意两边与其中一边的对角, 求另一边的对角(从而 进一步求出其他的边和角). (3) 已知两边及其中一边对角,判断三角形解的个数的方 法:①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判 断解的个数. ②在△ABC中,已知a、b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此 弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数,解的个数 见下表: A 为钝角 A 为直角 a>b a=b a<b 一解 无解 无解 一解 无解 无解 A 为锐角 一解 一解 a>bsinA a<bsinA 两解 无解 a=bsinA 一解 图示已知a、b、A,△ABC解的情况. (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下: (ⅱ)A为锐角时,解的情况如下: 不解三角形,判断下列三角形解的个数. (1)a=5,b=4,A=120° ; (2)a=7,b=14,A=150° ; (3)a=9,b=10,A=60° . [ 解析] bsin120° 4 3 3 (1)sinB= = × < , a 5 2 2 ∴△ABC 有一解. bsin150° (2)sinB= =1,∴△ABC 无解. a bsin60° 10 3 5 3 3 5 3 (3)sinB= = × = ,而 < <1, a 9 2 9 2 9 5 3 ∴当 B 为锐角时,满足 sinB = 的 B 的取值范围为 9 60° <B<90° . ∴对应的钝角 B 有 90° <B<120° ,也满足 A+B<180° ,所以 △ABC 有两

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